連立1次方程式:
\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \)
の解を求めるクラメルの公式の求めます。
求める前に準備をします。
次は連立方程式の一般式です。
\( a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + a_{i3} x_3= b_i\)
次は連立方程式の係数行列式です。
\(A=
\begin{pmatrix}
a_{1\ 1}&a_{1\ 2}&a_{1\ 3}\\
a_{2\ 1}&a_{2\ 2}&a_{2\ 3}\\
a_{3\ 1}&a_{3\ 2}&a_{3\ 3}
\end{pmatrix}
\)
連立方程式が自明な解（ただ1つの解）を持つ条件は行列式｜A｜が正則「0」でないことです。
詳しくは「
ここを」参照。
連立方程式を行列で表すと：
\(
\begin{pmatrix}
a_{1\ 1}&a_{1\ 2}&a_{1\ 3}\\
a_{2\ 1}&a_{2\ 2}&a_{2\ 3}\\
a_{3\ 1}&a_{3\ 2}&a_{3\ 3}
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}
\)
\(=
\begin{pmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{pmatrix}
\)
いよいよ、これからクラメルの公式の証明をします。
係数行列A の行列式 ｜A｜≠「0」 と仮定する。
（これは行列｜Ａ｜が正則であることと同値）
そうすると行列A には逆行列が存在します。
すなわち下式が成立します。
\( A^{-1}=\) \( \frac{1}{| A |} \tilde{ A } \)
【参照先】
連立方程式は：
\(Ax=b\)
と表せる。
この両辺に\(A^{-1}\)をかけると
\(A^{-1}Ax=A^{-1}b\)
これより
\(x=A^{-1}\ b\)
\(=
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}
\)
\(= \frac{1}{| A |} \tilde{ A } b \)
（\(\tilde{ A }\)：A の余因子行列）
\(= \frac{1}{| A |}\)
\(
\begin{pmatrix}
\tilde{a}_{11} &\tilde{a}_{21} &\tilde{a}_{31}\\
\tilde{a}_{12} &\tilde{a}_{22} &\tilde{a}_{32}\\
\tilde{a}_{13} &\tilde{a}_{23} &\tilde{a}_{33}
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{pmatrix}
\)
\(= \frac{1}{| A |}\)
\(
\begin{pmatrix}
\tilde{a}_{11}b_1 + \tilde{a}_{21}b_2 + \tilde{a}_{31}b_3\\
\tilde{a}_{12}b_1 + \tilde{a}_{22}b_2 + \tilde{a}_{32}b_3\\
\tilde{a}_{13}b_1 + \tilde{a}_{23}b_2 + \tilde{a}_{33}b_3
\end{pmatrix}
\)
これより一般式は：
❶
\(x_j= \frac{1}{| A |}\)
\( ( \tilde{a}_{1j}b_1 + \tilde{a}_{2j}b_2 + \tilde{a}_{3j}b_3 )\)
余因子行列の中の余因子を記載しておきます。
\(\tilde{a}_{11}= (a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}) \)
\(\tilde{a}_{21}=-(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{32})\)
\(\tilde{a}_{31}= (a_{12} a_{23}-a_{13} a_{22}) \)
\(\tilde{a}_{12}=-(a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{22}= (a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{32}=-(a_{11} a_{23}-a_{13} a_{21}) \)
\(\tilde{a}_{13}= (a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{23}=-(a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{33}= (a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) \)
これから ｊ=1 のとき、すなわち \(x_1\)を求めます。
式❶の右辺の（）内は：
\(\tilde{a}_{11}b_1 + \tilde{a}_{21}b_2 + \tilde{a}_{31}b_3\)
\(= (a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32})b_1 \)
\(-(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{32})b_2 \)
\(+(a_{12} a_{23}-a_{13} a_{22})b_3 \)
余因子展開を行列式にまとめると：
（実際に手を動かして確認してみてください。）
\(=
\begin{vmatrix}
b_1 & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
b_2 & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\
b_3 & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}
\end{vmatrix}
\)
また、A の行列式は
\(|A|=
\begin{vmatrix}
a_{1\ 1}&a_{1\ 2}&a_{1\ 3}\\
a_{2\ 1}&a_{2\ 2}&a_{2\ 3}\\
a_{3\ 1}&a_{3\ 2}&a_{3\ 3}
\end{vmatrix}
\)
です。
