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湘南 理工学舎

 楽しく学ぶ…線形代数

 クラメルの公式)

(cramer's rules and simultaneous linearv equations)

 --目 次--
1.クラメルの公式の導出
2.クラメルの公式
3.例題

  今回は、前回学んだ行列式の性質から余因子を導入し、今まで学んだ「連立1次方程式の解法」を余因子を用いて解決することを目標にし ます。
必要に応じて以下を参照にして下さい。
行列式の性質
余因子と逆行列
連立1次方程式を解く(1)
連立1次方程式を解く(2)

1.クラメルの公式の導出

連立1次方程式

  \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{array} \right. \end{eqnarray} \)

の解を求めるクラメルの公式の求めます。

求める前に準備をします。

次は連立方程式の一般式です。
 \( a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + a_{i3} x_3= b_i\)

次は連立方程式の係数行列式です。
  \(A= \begin{pmatrix} a_{1\ 1}&a_{1\ 2}&a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1}&a_{2\ 2}&a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1}&a_{3\ 2}&a_{3\ 3} \end{pmatrix} \)

連立方程式が自明な解(ただ1つの解)を持つ条件は行列式|A|が正則「0」でないことです。
詳しくは「ここを」参照。

連立方程式を行列で表すと:

  \( \begin{pmatrix} a_{1\ 1}&a_{1\ 2}&a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1}&a_{2\ 2}&a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1}&a_{3\ 2}&a_{3\ 3} \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} \) \(= \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} \)


 いよいよ、これからクラメルの公式の証明をします。
係数行列A の行列式 |A|≠「0」 と仮定する。
 (これは行列|A|が正則であることと同値)
そうすると行列A には逆行列が存在します。

すなわち下式が成立します。
 \( A^{-1}=\) \( \frac{1}{| A |} \tilde{ A } \)  【参照先】

連立方程式は:
 \(Ax=b\) 
と表せる。 この両辺に\(A^{-1}\)をかけると
 \(A^{-1}Ax=A^{-1}b\)

これより
 \(x=A^{-1}\ b\)

 \(= \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} \) \(= \frac{1}{| A |} \tilde{ A } b \)

 (\(\tilde{ A }\):A の余因子行列)

 \(= \frac{1}{| A |}\) \( \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11} &\tilde{a}_{21} &\tilde{a}_{31}\\ \tilde{a}_{12} &\tilde{a}_{22} &\tilde{a}_{32}\\ \tilde{a}_{13} &\tilde{a}_{23} &\tilde{a}_{33} \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} \)

 \(= \frac{1}{| A |}\) \( \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11}b_1 + \tilde{a}_{21}b_2 + \tilde{a}_{31}b_3\\ \tilde{a}_{12}b_1 + \tilde{a}_{22}b_2 + \tilde{a}_{32}b_3\\ \tilde{a}_{13}b_1 + \tilde{a}_{23}b_2 + \tilde{a}_{33}b_3 \end{pmatrix} \)

これより一般式は:
❶ \(x_j= \frac{1}{| A |}\) \( ( \tilde{a}_{1j}b_1 + \tilde{a}_{2j}b_2 + \tilde{a}_{3j}b_3 )\)

余因子行列の中の余因子を記載しておきます。
\(\tilde{a}_{11}= (a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}) \)
\(\tilde{a}_{21}=-(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{32})\)
\(\tilde{a}_{31}= (a_{12} a_{23}-a_{13} a_{22}) \)
\(\tilde{a}_{12}=-(a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{22}= (a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{32}=-(a_{11} a_{23}-a_{13} a_{21}) \)
\(\tilde{a}_{13}= (a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{23}=-(a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31}) \)
\(\tilde{a}_{33}= (a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) \)

これから j=1 のとき、すなわち \(x_1\)を求めます。

式❶の右辺の()内は:
 \(\tilde{a}_{11}b_1 + \tilde{a}_{21}b_2 + \tilde{a}_{31}b_3\)

 \(= (a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32})b_1 \) \(-(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{32})b_2 \) \(+(a_{12} a_{23}-a_{13} a_{22})b_3 \)

余因子展開を行列式にまとめると:
(実際に手を動かして確認してみてください。)
 \(= \begin{vmatrix} b_1 & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ b_2 & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ b_3 & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)

また、A の行列式は
  \(|A|= \begin{vmatrix} a_{1\ 1}&a_{1\ 2}&a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1}&a_{2\ 2}&a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1}&a_{3\ 2}&a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) 
です。

2.以下の式❷、❸、❹がクラメル公式です。
一般式❶の:
\(x_j= \frac{1}{| A |}\) \( ( \tilde{a}_{1j}b_1 + \tilde{a}_{2j}b_2 + \tilde{a}_{3j}b_3 )\)

に対して、クラメルの公式による3元一次連立方程式の解は以下の通りです。

❷ \(x_1=\frac{1}{| A |}\) \( \begin{vmatrix} b_1 & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ b_2 & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ b_3 & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)

同様にして
・j=2 のときの \(x_2\)
・j=3 のときの \(x_3\)
を求めます。

❸ \(x_2=\frac{1}{| A |}\) \( \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & b_1 & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & b_2 & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & b_3 & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


❹ \(x_3=\frac{1}{| A |}\) \( \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2}& b_1 \\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2}& b_2 \\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2}& b_3 \end{vmatrix} \)


3.例題:次の連立方程式を解きなさい。
  \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x_1-3x_2+x_3=1 \\ 3x_1+2x_2+x_3=1 \\ -x_1-5x_2+x_3=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray} \)

サラス【参照先】の式より行列式の値を求める。

\(|A|= \begin{vmatrix} 3 & -3 & 1\\ 3 & 2 & 1\\ -1&-5 &-3 \end{vmatrix} \) \(=20\)


\(|A_1|= \begin{vmatrix} \color{red}{1} & -3 & 1\\ \color{red}{1} & 2 & 1\\ \color{red}{-3}&-5 &-3 \end{vmatrix} \) \(=20\)

 次の式は計算せずに「0」です。(∵1と2行目が同じ) 【参照先】
\(|A_2|= \begin{vmatrix} 3 &\color{red}{1} & 1\\ 3 &\color{red}{1} & 1\\ -1&\color{red}{-3} &-3 \end{vmatrix} \) \(=0\)

\(|A|= \begin{vmatrix} 3 & -3 &\color{red}{1}\\ 3 & 2 &\color{red}{1}\\ -1&-5 &\color{red}{-3} \end{vmatrix} \) \(=-40\)


\(\therefore x_1=\frac{|A_1|}{|A|}=\frac{20}{20}=1\) \(,\ x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{0}{20}=0\) \(,\ x_3=\frac{|A_3|}{|A|}=\frac{-40}{20}=-2\)

coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした