はじめに行列 A の余因子行列による
逆行列の式を定義します。
\( A^{-1}=\) \( \frac{1}{| A |} \tilde{ A } \)
これから、この式の導出をおこないます。
暫く辛抱してついて来て下さい!
次の行列A に対して：
\(A =
\begin{pmatrix}
a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\
a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}
\end{pmatrix}
\)
行列 A の1 列目を2 列目と同じにした行列 B を用意します。
（列の入れ替え）
\(B =
\begin{pmatrix}
\color{red}{a_{1\ 2}} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
\color{red}{a_{2\ 2}} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\
\color{red}{a_{3\ 2}} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}
\end{pmatrix}
\) \(=0\)
行列 A 、B の第1列による余因子展開は：
・❶
\( det(A)=a_{11} \tilde{a}_{11}\)
\( + a_{21} \tilde{a}_{21}\)
\( + a_{31} \tilde{a}_{31}\)
・❷
\(det(B)=\color{red}{a_{12}} \tilde{b}_{11}\)
\(+ \color{red}{a_{22}} \tilde{b}_{21}\)
\(+ \color{red}{a_{32}} \tilde{b}_{31}\)
\(\ = 0 \)
ここで\(\underline{ \tilde{b}_{ij} }\)について説明します。
行列 B の行列 A との違いは 1 列目だけ、
第２列と第３列は同じなので行列A、B の第 １ 列による余因子は同じです。
すなわち；
・❸
\(\tilde{a}_{11}= \tilde{b}_{11}\)
\(,\tilde{a}_{21}= \tilde{b}_{21}\)
\(,\tilde{a}_{31}= \tilde{b}_{31}\)
よって、
\( \tilde{a}_{i 1}= \underline{ \tilde{b}_{i 1}} \)
です。
これより、式❷は以下のように表せる
・❹
\(a_{12} \tilde{a}_{11}\)
\( + a_{22} \tilde{a}_{21}\)
\( + a_{32} \tilde{a}_{31}\)
\(=0\)
式❹は、行列Aの
第2列の成分と列による
余因子の積の和です。
下の２つの行列に
朱記で表示しました。
２番目の行列は行列A の( i, j )成分に対しての余因子の行列です。
\(A =
\begin{pmatrix}
a_{1\ 1} & \color{red}{a_{1\ 2}} & a_{1\ 3}\\
a_{2\ 1} & \color{red}{a_{2\ 2}} & a_{2\ 3}\\
a_{3\ 1} & \color{red}{a_{3\ 2}} & a_{3\ 3}
\end{pmatrix}
\)
\(\tilde{A} =
\begin{pmatrix}
\color{red}{\tilde{a}_{11}} & \tilde{a}_{12} & a_{13}\\
\color{red}{\tilde{a}_{21}} & \tilde{a}_{22} & a_{23}\\
\color{red}{\tilde{a}_{31}} & \tilde{a}_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\)
（※a）
さて式 ❹ は
行列\(A\) の第2列、行列 \(\tilde{A}\) の第1列の積とその和です。
式 ❹ のように「積の和」となるような演算の場合は：
[行ベクトル]x[列ベクトル]形…すなわち下のような形です。
・❺
\(
\begin{pmatrix}
\tilde{a}_{11},&\tilde{a}_{21},&\tilde{a}_{31}
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
a_{12} \\
a_{22} \\
a_{32}
\end{pmatrix}
\)
\(=a_{12} \tilde{a}_{11}\)
\( + a_{22} \tilde{a}_{21}\)
\( + a_{32} \tilde{a}_{31}\)
\(=0\)
この式が「0」になるとは、どんなことか、はじめに戻ると：
行列 A の
第 1 列( i )を第 2 列( j )と同じ
（列の入れ替え）にした式を展開した結果でした。…このことを念頭
（※2）において下さい。
この行列演算の実現のために、「行列の積の性質」から余因子行列の
転置行列を用意すれば
解決できます。
転置行列は
\({}^{ｔ}\tilde{A}\)と表します。
解決の前に
式❺を一般化しておきます。（それが式❻です。）
\(A=a_{ij}\)
、その第\((i,j)\)
余因子を
\(\tilde{a}_{ij} \)
とします。
・❻
\(
\begin{pmatrix}
\tilde{a}_{1i},&\tilde{a}_{2i},&\tilde{a}_{3i}
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
a_{3j}
\end{pmatrix}
\)
\(=a_{1j} \tilde{a}_{1i}\)
\( + a_{2j} \tilde{a}_{2i}\)
\( + a_{3j} \tilde{a}_{3i}\)
\(=0\)
注：上記は\( i\neq j\)のときの結果。
\( i=j\)のときの結果は\(det(A)\)です。
これから解決として上式を３次正方行列の積に展開します。
式❻も列の置き換えによる式であることを留め置いて下さい。
例えば式❺は「第
１列と第
２ 列が同じ」の時のA の行列式の値は、下の式❼の行列の積の結果では（
１、２）成分となります。
式❼の朱記部（１行と２列）の❼の演算結果は（１、２）成分になる。
・❼
\({}^{ｔ}\tilde{A} A\)
\(=
\begin{pmatrix}
\color{red}{\tilde{a}_{11}} &\color{red}{\tilde{a}_{21}} &\color{red}{\tilde{a}_{31}}\\
\tilde{a}_{12} &\tilde{a}_{22} &\tilde{a}_{32}\\
\tilde{a}_{13} &\tilde{a}_{23} &\tilde{a}_{33}
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
a_{11} & \color{red}{a_{12}} & a_{13}\\
a_{21} & \color{red}{a_{22}} & a_{23}\\
a_{31} & \color{red}{a_{32}} & a_{33}
\end{pmatrix}
\)
式❼は式❻を「行列の積」に形にしたものです。
ここで
\({}^{ｔ}\tilde{A}\)
を
余因子行列といます。
・上記の行列式（※a）を転置した行列。
・または行列A の（ｉ、ｊ）成分の余因子を（ｊ 、ｉ）成分として並べた行列。
\({}^{ｔ}\tilde{A}\) \( \Longrightarrow \color{red}{ \tilde{A} }\)
これから単に
\(\tilde{A}\)
と表します。
念頭(※2)から式❼の結果の行列の各成分は：
\(i \neq j \) のときは「0」です。
\(i = j \) のときは\(det(A)\) です。
