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湘南 理工学舎

 楽しく学ぶ…線形代数

 行列式の性質

(determinant properties)

 --目 次--

1.成分に0がある行列式
2.二つの列(行)の入れ替え
3.ある列(行)の定数倍
4.ある列(行)に「他の列(行)+k」を加える
5.多重線形性
6.ある列(行)に「他の列(行)のk倍」を加える
7.二つ列(行)が等しい
8.同次の二つの行列の積の行列式
9.正則行列

 正方行列の行列式の成分にゼロがあると計算が楽になるということをはじめ、行列式の性質を利用すると計算が簡単になることが多くあります。
特に必要でないとき以外は3次行列を用いて説明します。

1.成分0を含む行列式
(matrix containing 0 in it's components)
 行列\(A\)のある行、またはある列の成分(要素)が全て「0」のとき、その行列式の値は、すなわち \(|A|=det(A)=0 \)です。
以下は「0」の配置をいくつかのパターンに分類して説明します。

(1)単位行列の行列式   (identity matrix)
\(|I|= \begin{vmatrix} 1& 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\\ \end{vmatrix} =1\)


(2)成分0を含む行列式の一般化式  
(generalization of matrix containing "0" in it's components)
\(|A|= \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ 0 & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ 0 & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix}\) \( =a_{1\ 1} \begin{vmatrix} a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


\(|A|= \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & 0 \end{vmatrix}\) \( =-a_{2\ 3} \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} \end{vmatrix} \) \( +a_{1\ 3} \begin{vmatrix} a_{2\ 1} & a_{2\ 2}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} \end{vmatrix} \)


(3)上三角行列   (upper triangular matrix)
以下の形の行列式を上三角行列式といいます。
\(|A|= \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ 0 & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ 0 & 0 & a_{3\ 3} \end{vmatrix}\) \( =a_{1\ 1} \begin{vmatrix} a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ 0 & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \( =a_{1\ 1} a_{2\ 2} a_{3\ 3} \)


(4)下三角行列 (lower triangular matrix) 
以下の形の行列式を下三角行列式といいます。
\(|A|= \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & 0 & 0\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & 0\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix}\) \( =a_{1\ 1} \begin{vmatrix} a_{2\ 2} & 0\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \( =a_{1\ 1} a_{2\ 2} a_{3\ 3} \)
・上三角行列と下三角行列を含め三角行列という。

2.二つの列(行)の入れ替え(交代性)⇒全体が\(-1\)
(alternation of swap two colums(rows))
\( \begin{vmatrix} a_{1\ 2} & a_{1\ 1} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 2} & a_{2\ 1} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 1} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \( = \color{red}{-} \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


3.ある列(行)のc 倍 ⇒全体がc 倍
("c" times a colum (row))
\( \begin{vmatrix} c\ a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ c\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ c\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \( =c \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


4.あるの列(行)に「他の列(行)の+K」を加える
([a colum (row)]+[(another colum (row))+k])
\( \begin{vmatrix} a_{1\ 2}+k_{11} & a_{1\ 1} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 2}+k_{21} & a_{2\ 1} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 2}+k_{31} & a_{3\ 1} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \( = \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \(+ \begin{vmatrix} k_{1\ 1} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ k_{2\ 1} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ k_{3\ 1} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


5.多重線形性 (multiple lineality)
\( \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & c\ a_{1\ 2\ 1}+ d\ a_{1\ 2\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & c\ a_{2\ 2\ 1}+ d\ a_{2\ 2\ 2}  & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & c\ a_{3\ 2\ 1}+ d\ a_{3\ 2\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \( = c \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2\ 1} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2\ 1} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2\ 1} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \) \(+d \begin{vmatrix} a_{1\ 1} & a_{1\ 2\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 1} & a_{2\ 2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 1} & a_{3\ 2\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


・上の式を簡易表示します。
以下の例えば\(a_1\)とは行列式の\( a\) の第1列のことです。
\( \ det\ (a_1, \color{red}{ca_{21}+ d a_{22}}, a_3)\) \(= det[\ \color{red}{c}(a_1,\color{red}{a_{21}},a_3)]\) \( + det[\ \color{red}{d} (a_1,\color{red}{a_{22}} ,a_3)] \) \( \cdots (※1) \)

・線形性とは
以下の性質があるとき、線形性があるという。
・\(f(cx)=cf(x) \cdots(※2)\)
(上の式では\(c\)が関数 \(f\)の前にだせる) 
・\(f(x+y)=f(x)+f(y)\cdots(※3)\)

・多重線形性とは
線形性を変数を複数ベクトルに拡張したもので、ベクトル列に「2番目の成分 \( a_2\)」 を
「\( c\ a_{2\ 1} + d\ a_{2\ 2} \)」として 式(1)がなり立つとき多重線形性があるという。
上の式(※2)、(※3)の関数\(f\)とは行列式のことです。
一般に変数が2つの場合を双線形性といいます。

6.ある列(行)に他の列(行)の定数のk倍を加える⇒変わらない
([a colum (row)]+[(another colum (row))x k]⇒no-change)
\( \begin{vmatrix} a_{1\ 2} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}+c\ a_{1\ 2}\\ a_{2\ 2} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}+c\ a_{2\ 2}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}+c\ a_{3\ 2} \end{vmatrix} \) \(= \begin{vmatrix} a_{1\ 2} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 2} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)

この性質は「行基本変形」で多用されていますね!
この変形を利用すると行列の式の見た目は違うが、行列式の値は同じです。

上記の2項(列(行)の入れ替え)、3項(定数倍)は、行列の値が変化するため次の対処すること。
・階段行列を求める操作には影響しないので、そのままでよい。
・行列式の簡略化をする場合は、変形に応じた対処をする。
 (例えば、列(行)を入れ換えたら、行列式を(-1)倍する)

参考として、この性質を行に関しての式に書いてみます。
\( \begin{vmatrix} a_{1\ 2}+c a_{3\ 2} & a_{1\ 2}+ca_{3\ 2} & a_{1\ 3}+ca_{3\ 2}\\ a_{2\ 2} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}+\ a_{2\ 2}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}+\ a_{3\ 2} \end{vmatrix} \) \(= \begin{vmatrix} a_{1\ 2} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 2} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} \)


7.二つ列(行)が等しい⇒\(0\)(ゼロ) ([two colum (row) are equal]⇒\(0\))
\( \begin{vmatrix} a_{1\ 2} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\ a_{2\ 2} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\ a_{3\ 2} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3} \end{vmatrix} =0\)

8.二つの行列の積の行列式
(determinant of matrix product)
次の式が成り立ちます。
2つの同じ次数の正方行列 A、B について:
\( |A B |=det (A B) = |A||B|\) \(=det (A)\ det (B) \)

9.正則行列 (regular matrix)
正則行列の定理を記載します。
正方行列A が正則行列であることと、次のことは同値である。
①正方行列A の基本変形を施して階段行列は最終に単位行列になる。
②連立1次方程式\(Ax=0\)は自明な解のみをもつ。
③n 次正方行列Aの階数はn である。
④ \( det(A) \neq0 \)

 行列が正則か否かについて上記④が多く使われます。
行列式を計算し、0 か否かだけで正則行列が判別できるからでしょう!

④の表現を替えてみるみる:
行列A が正則行列 \(\Leftrightarrow \ det(A) \neq0 \)
これを以下に証明します。
(8項の \( det (A B) = det (A)\ det (B) \) を使います。)
2つの同じ次数の正方行列 A、B について:
\( A B = I\) のとき (注)
\(det (A)\ det (B)=det(A B)=det(I)=1\)

従って\( det(A) \neq0 \) …証明終わり。
(注):このB は逆行列です。「 正則行列であれば逆行列が存在する」ことを利用いています。



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[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした