\(A= \left( \begin{array}{c}
8 & 2 \\
-2 & 3
\end{array} \right) \)
\(,x= \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2
\end{array} \right) \)
\(,b= \left( \begin{array}{c}
12 \\
4
\end{array} \right) \)
とすると、連立方程式は\( Ax=b \) と表せる。
すなわち:
\(
\left( \begin{array}{c}
8 & 2 \\
-2 & 3 \end{array}
\right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array}
\right)
=\left( \begin{array}{c}
12 \\
4 \end{array}
\right) \)
掃き出し法は次の
拡大行列係数のところで行います。
上の例と同様な操作をすると、結果は次のようになります。
\(
\left( \begin{array}{c}
1 & 0 \\
0 & 1\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array}
\right)
=\left( \begin{array}{c}
1 \\
2 \end{array}
\right) \)
\(x_1=1, \ x_2=2 \ \) となります。
上の例の操作については変数\(x_1,x_2 \ \)は機能してしていません。
1列目が\(x_1\ \)の項、2列目が\(x_2 \ \)の項として分かっていればよいことです。
そこで係数行列に定数項の列\(b \ \)を追加して以下のようにします。
\(
\left( \begin{array}{rr|r}
x_1 & x_2 & b\\
8 & 2 & 12\\
-2 & 3 & 4
\end{array}
\right)
\)
\(
\begin{array}{c}
\cdots ①\\
\cdots ②
\end{array}
\)
これを
拡大係数行列といいます。
これから拡大係数行列を掃き出し法により、係数行列を単位行列に換えていきます。
②を4倍しものに、①を足す。
\(
\left( \begin{array}{cc|c}
8 & 2 & 12\\
-8 & 12 & 16\end{array}
\right)
\)
\(
\left( \begin{array}{cc|c}
8 & 2 & 12\\
0 & 14 & 28\end{array}
\right)
\)
第1列の掃き出しという。
②を14で割る
\(
\left( \begin{array}{cc|c}
8 & 2 & 12\\
0 & 1 & 2\end{array}
\right)
\)
①に「②の-2倍」を足す
\(
\left( \begin{array}{cc|c}
8 & 0 & 8\\
0 & 1 & 2\end{array}
\right)
\)
第2列の掃き出しという。
①を8で割る。
\(
\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2\end{array}
\right)
\)
単位行列になりました。
\( [A|b] \rightarrow [E|b'] \)
解は\(x_1=1, \ x_2=2 \ \) となりまた。
掃き出しにより行を変えることを
行基本変形といいます。