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湘南理工学舎

 楽しく学ぶ…線形代数

 線形独立と線形従属

(linear independent and linear dependency)

 --目 次--
線形結合
自明な解とは
線形独立と線形従属
線形独立と線形従属の具体例
線形独立の表現の一意性
 はじめに図形的な意味を述べておきます。
線形独立は1次独立、線形従属は1次従属ともいいます。
線形従属なベクトル \(a, b \)とは:互いに平行なベクトルの組です。
線形独立なベクトル\(a, b\) とは:互いに平行でないベクトルの組です。
\(a\)と\( b\) のベクトルが一定角で交差している、例えば直交座標(または斜交座標も)の\(\ x,y\ \)の座標軸は線形独立です。
座標軸は長さを測る定規や物差しです。それが他から影響されてはこまりますよね。
3次元の場合は3つのベクトル \(a,b,c\) に対して\(a, b\)が平行でなく、\(a, b\)が作る平面にベクトル\(c\) がないこと。
さらに\(a, c\) と \(b\)について、 \(b, c\) と \(a\) についても同様であるときは線形独立である。 

線形結合

n次元線形空間(※) \(R^n\)においてベクトルが与えられ、ベクトルをスカラー倍(定数倍)して足し合わせたものを線形結合(または1次結合)という。
(※1)【参照先】
\(R^2\)(2次元)を例にして説明します。
ベクトル\(\ a\)と\(\ b\)、スカラ\(\ c_1\)と\(\ c_2\)とすると:
•\(c_1\ a+c_2\ b\ \)は:「\(\ a,b\)の線形結合」という。
•\(d=c_1\ a+c_2\ b\ \)は:「\(\ d\)は\(a,b\)の線形結合」で表されるという。

線形結合の例:

ベクトル:\(a= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right) \) \(, b= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \)

スカラー(定数): \( \ c_1=3, \ c_2=2\)のとき:
\(\ d=c_1a+c_2b\) 

\(\ = 3 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right) \) \(+2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \) \(= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 13 \end{array} \right) \)

線形結合を行列の積で表す:

\( d_1=c_{11} a_1 + c_{21} a_2 + c_{31} a_3 \)

\( d_2=c_{12} a_1 + c_{22} a_2 + c_{32} a_3 \)

\( (d_1,d_2) = (a_1,a_2,a_3) \left( \begin{array}{c} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right) \)

ベクトル\(d_1,d_2\)は\(a_1,a_2,a_3\)の線形結合で表している。

またスカラーの行列部を\(K\)とおけば:
\( (d_1,d_2)=(a_1,a_2,a_3)K\) と書ける。
自明な解とは

 ベクトルの線形独立・従属に関して突然「自明な解」が登場しました。
それは、対象としているベクトルが線形独立か線形従属であるかは、その線形結合式が「自明な解」でるか否かにより判別されるからです。
ここで「自明な解」について確認しておきます。
(そのあとで「線形独立と線形従属」の説明をします)
自明とは「明確な、当たり前」などの意味ですが、ここでは下記のとおり「自明な解」として定義しています。
線形独立とは「線形結合の関係式」または「同次連立1次方程式」において右辺の定数項が0である条件は解の全てが 0 のときだけ
これを「自明な解」であるという。 これを以下の連立方程式で考える。

同次連立1次方程式を解く 
(同次連立…とは右辺の定数項が0の式)
線形結合式を同次連立1次方程式で表す。
(線形結合の結果が0の式)
\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{1} c_1+b_{1} c_2=0 \\ a_{2} c_1+b_{2} c_2=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} \)

この式が成り立つのが、\(c_1=c_2=0 \ \)のときだけ、これを「自明な解」という。
どれか1つ0でなくても成り立つときは「自明な解ではない」、または「非自明な解」という。

この方程式の解が「自明な解」であることと「ベクトル\(a\) と\(b\) が互いに線形独立」であることは同値である。

線形独立と線形従属

3次元線形空間 \(R^3\)の 0 でないベクトル\(a_1,a_2,a_3\)と
スカラー\(\ c_1,c_2, c_3\) について
\(c_1a_1+c_2a_2+c_3a_3=0\) 

の線形結合の関係式がるとき:
「自明な解」のとき線形独立(1次独立)という。
(\(c_1=c_2=c_3=0\)のときだけ、成り立つとき)

「自明な解でない」とき線形従属(1次従属)という。
(\(c_1,c_2,c_3\)のどれか1つ0でないとき)
例えばスカラー\(c_1,c_2,c_3 \) が0 でないとき
\(a_3=-\frac{c_1}{c_3}a_1 -\frac{c_2}{c_3}a_2 \)
これは\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\)が同一平面であることを意味する。


線形独立と線形従属の具体例

(1) \( a_1= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \) \(a_2= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right) \) のとき:

\( c_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) + c_2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c_1+c_2 \\ c_1+5c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} c_1+c_2=0 \\ c_1 + 5c_2=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} \)
この方程式を解くと:
\(c_1=c_2 \) , \(c_2=0\)
\( \therefore c_1=c_2=0 \), これより線形独立である。

(ベクトル\(a_1,a_2\)は計算しなくても、2つのベクトルを描けば、図形的に平行でないので線形独立です)
(1)の別解(行列の正則の性質を使う)

\( c_1,c_2\)を未知数とした同次連立1次方程をたてる。
\( \left( \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 &5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

\( = A \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

行列の性質から:【参照先】
行列\(A\)の行列式 \(|A|=detA \neq 0\)なら行列\(A\)は正則行列であり、逆行列\(A^{-1}\)が存在する。

\( detA = \left| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 &5 \end{array} \right| \quad =4 \neq 0 \)

\(A^{-1}\)を左からかけて:

\( =A^{-1} A \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

\( \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)=0 \)

\(\ c_1=c_2=0 \ \)のみが解、すなわち「自明な解」です。
従って線形独立です。
  
(2) \( a_1= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) , \ \) \(a_2= \left( \begin{array}{c} -3 \\ -6 \end{array} \right) \) のとき:

\( c_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) + c_2 \left( \begin{array}{c} -3 \\ -6 \end{array} \right) \)

\(\quad = \left( \begin{array}{c} c_1-3c_2 \\ 2c_1-6c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

\( c_1 - 3 c_2 =0 \ ⇒\ c_1=3c_2 \)

\( 2 c_1 - 6 c_2 =0 \ ⇒\ c_1=3c_2 \)

\(c_2=1, c_1=3\)であり、これを与式に代入すると0となる。

これより「自明な解」はなく1次従属である。
(2)の別解(行列の階数(rank)(※1)を使う) rankの【※1参照先】
\( c_1,c_2\)を未知数とした同次連立1次方程をたてる。

\( \left( \begin{array}{c} 1 & -3 \\ 2 &-6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

\( A= \left( \begin{array}{c} 1 & -3 \\ 2 &-6 \end{array} \right) \)

このベクトルの行列の\(A\)の階数\(rank(A)\)、次元\(n=2\)として:

\(rank(A) = n=2\) :線形独立(※2)
・行列A のrank が自分の次数と同じ。
・これと同値なことは行列A が正則行列であること。
 または \(det A\ne 0\)であること。

\(rankA < n=2\):線形従属

階数は行掃き出し法により求める

行掃き出し法の結果は:

\( A= \left( \begin{array}{c} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \)

\(rankA=1 (< n=2) \)

従って線形従属である。

このとき解の一意性 (\(c_1,c_2 \ \)の解は無数ある)
(※2):線形独立のとき:
ベクトルの行列\(A\)の階数\(rank(A)\)がその次数 n と等しいことは、
その行列は行変形をして単位行列に持ち込める。
\( \left( \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)

これにより次式が導かれる。
\( 1 \cdot C_1=0 \rightarrow C_1=0\)
\( 1 \cdot C_2=0 \rightarrow C_2=0\)

線形独立の表現の一意性
ベクトル\(b \ \)が線形独立なベクトル \(a_n \ \)の線形結合として表現されている。

1つ目は係数\(c_n \ \)を用いて表現:
\( (1)\ b=c_1 a_1+c_2 a_2 + \cdots +c_n a_n \)

2つ目は係数\(c'_n \ \)を用いて表現:
\( (2)\ b=c'_1 a_1+c'_2 a_2 + \cdots +c'_n2 a_n \)

の2通りで表現できたとする。
次式「式(2)-式(1)」 を考える。
\( (c'_1-c_1) a_1 + (c'_2 -c_2)a_2 +\)\( \cdots +(c'_n-c_n) a_n =0\)
上式は 0 であり、スカラーC のダッシュ 「無」と「有」は等しい。
\( (c'_1-c_1),(c'_2 -c_2),\cdots (c'_n-c_n)=0\)
でなければならない。
すなわち2通りは矛盾している。1通りである。
表現の一意性とは式(1)も(2)も同じ、従って係数についても\(c_n=c'_n\)である。
すなわち線形独立な線形結合式の表し方は1通りであることをいっています。
  

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[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした