級数の収束と発散

 --目　次--

級数とは数列の項を n の小さい順に並べて加算して得られる式：
 \(a_1+a_2+a_3+…+a_n+\cdots \) を級数という。
ある規則で並べられた数(または関数)の列を順次、加算した式のことです。
数列の数 n により有限級数と無限級数がある。
単に「級数」といえば無限級数のこと、ここでも無限級数を扱う。

無限級数：
 \(S=\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ \infty } a_n = a_1+a_2 + \cdots+a_n+\cdots\) \(：❶\)

部分和(partial sum):\(S_n\)
 無限級数の第n 項 \(a_n \)までの和、すなわち \(S_n=a_1+a_2+…+a_n\) を部分和という。
数列\(\{a_n\}\)の和：シグマ ∑(sum)を使う
 \(S_n= \{a_n\}= \displaystyle \sum_{n = 1}^{n}a_n\)\(=a_1+a_2+\cdots+a_n \)\(：❷\) と表す。

無限級数を無限個の和をとることはできないので、部分和\(S_n\) を用いて、級数の収束、発散などを論じる。
以下のように部分和の収束・発散をもって無限級数の収束・発散と定義する。
\(\begin{eqnarray} \begin{cases} 収束：\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty }a_n =\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=A ：❸\\ 発散:部分和が\pm \inftyまたは振動するとき。 \end{cases} \end{eqnarray} \)
級数が「収束」するとき「和をもつ」ともいう。

級数の初項の添字を「0」か「１」するか：
\(a_n = a_0+a_1+…\)と\(\underline{a_n = a_1+a_2+…}\) があるが、ここでは下線の「１」を使います。

身近で馴染みの級数にはテイラー展開のテイラー級数です。　その他に等比級数、フーリエ級数…などある。

ある関数の近似式である級数が収束するか否かは重要ですね。

等比数列の例と一般項を復習：
さて級数（数列の和 \(S_n\)）の一般式を「初歩の数学」から引用する :【参照先】
\( S_n =a \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1}\) \(=a\frac{1- \color{blue}{r^n}}{1-r} \)

一般式より、この級数は公比r により収束/発散が分かる。
上式の分子の\(r^n\) に注目して、\(r\lt1\)なら\(n\rightarrow \infty\)のとき、この項は「0」に収束しますね。
\(\color{red}{|r|<1 ⇒収束}\) \(\quad ∵r^n→0\)
これ以外は発散：
 \(|r|>1 ⇒発散\) \(\quad∵r^n→\infty\)
 \(r＝1 ⇒発散\)　　　\(\quad∵分母→0\)
 \(r=-1 ⇒発散（振動）\)　\(\quad∵(-1)^n→\pm に振動\)

❸の定義式： \(\displaystyle\sum_{ n= 1 }^{\infty }a_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n\) に対して「|r|<1 ⇒収束」における等比級数は：
 \(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty }a r^{n-1}\)\(=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r}\) \(=\displaystyle \underline{ \frac{a}{1-r} }\) （a:初項 r:公比）
下線部の式のときの等比級数の収束先の式(@|r|<1)です。
収束域のことはこれから学ぶ、整級数の収束半径です。収束半径を求める公式があります。

級数の一般式：
\( S_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\) \( = \frac{n}{2} \{ (2a+d(n-1)\} \)

上式より：
交差\(d≤0\)⇒「+」に発散
交差\(d<0\)⇒「-」に発散

調和級数とは：
 \(\ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\) \(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+… \):❹
この調和級数は次の一般調和級数の\(p=1\)のときある。

下式は一般調和級数という。
 \(\ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) :❺
調和級数（❹、❺）はこの後で学ぶ正項級数でもある。

式❺の一般調和級数の収束と発散は：
結論だけ示します。
（この結果をあとで「比較判定法」で使う）
収束と発散は上式の\(n\)の指数\(p\)に依存しる。
・\(p>1\) のとき:収束
・\(0<p≤1\)のとき：発散

（\(p≤0\) のときは調和級数にならない）

•\( \displaystyle \sum_{\color{blue}{n=1}}^{\infty}(a_n)=a_1+a_2+\cdots+a_n\)  ⇒\(\displaystyle \sum_{\color{blue}{n=0}}^{\infty}(a_n)=\color{blue}{a_0}+a_1+a_2+\cdots+a_n\)
•\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty } a_n =\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=A\)とすると  ⇒\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{\color{blue}{n}}=\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_\color{blue}{{n-1}}=A\)
※無限大に対し、「n=0」と「n=1」の差は無視できると考える。

c,d:定数とすると：
\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty } (c a_n +d b_n)\)は収束。
上式 \(=\displaystyle c\sum_{ n= 1 }^{\infty } a_n\) \(+\displaystyle d\sum_{ n= 1 }^{\infty } b_n\)

また逆の場合\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty } a_n\)は：
\( \begin{eqnarray} \begin{cases} \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n \ne 0なら & 発散する。\\ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0のとき & 収束と発散は場合による。 \end{cases} \end{eqnarray} \)

\(=\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{n} a_n - \displaystyle \sum_{ n= 1 }^{n-1}a_n=a_n\)

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n\)\(\quad (a_n≥0)\)
\(=a_1-a_2+a_3-\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots\)

\(a_n\)が正の数、\((-1)^{n-1}\) より 各項は「+」、「-」に交互になる級数である。
「+」、「-」に振動しながら収束、または発散していくイメージである。
【定理】：交項級数の収束
 交項級数の\(a_n\)が 「\(a_n≥a_{n+1}\)（単調減少）」であり、「\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0\)」を満たすとき収束する。

正項級数の部分和\(S_n\)が上に有界であることから部分和\(S_n\)は単調増加数列である。
数列の収束の 定理「有界な単調増加数列は収束する」より、この正項級数は収束することが分かる。 【参照先】

正項級数\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}　a_n=A\)　 \(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}　b_n=B\)において\(a_n≤b_n\)とすると：
(a)\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}　b_n\)が収束すれば\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}　a_n\)も収束する。
(b)\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}　a_n\)が発散すれば\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}　b_n\)も発散する。

•ここでの\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}b_n\)を優級数という。
•既に収束と発散が分かっている級数と比較する意味で「比較判定法」と呼んでいる。

与式\(=\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty} \frac{1}{n^\frac{3}{2}}\)

3項（調和関数）の式❺: \(\ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \)のpを比較：

\(p=2>1\)でるから与式の級数は収束する。

\(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty}b_n=\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty}\frac{1}{n^2}\)とすると：
3項（調和関数）により、\(p=2>1\)でるから上式は収束する。

また、 \(\frac{1}{2+n^2} ≤ \frac{1}{n^{2}}\) \(\quad \therefore a_n≤b_n\)
比較判定法より：
\(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty}a_n\) は収束する。

正項級数において\(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty}a_n\)において
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=r\)\(\quad 0≤r≤\infty\)

が存在するとき：
 ・\(r<1\)なら収束   ・\(r>1\)なら発散   ・\(r=1\)のときは判定不可

正項級数において\(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty}a_n\)において
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=r\)\(\quad 0≤r≤\infty\)

が存在するとき：
 ・\(r<1\)なら収束   ・\(r>1\)なら発散   ・\(r=1\)のときは判定不可

級数の各項の絶対値をとった級数 \(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty} |a_n|\)が収束するなら、\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty} a_n\)は絶対収束するという。

また\(\displaystyle \sum_{ n = 1 }^{\infty} a_n\)は収束するが絶対収束しない級数を条件収束するという。

【定理】　絶対収束する級数の各項の順序を入れ換えても同じ数値に収束する。

【定理】　絶対収束する級数の\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty} a_n\)は収束する。

【定理】　絶対収束する２つの級数\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty} a_n\)\(\quad \displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty} b_n\)について。

\(c_n=a_1b_n +a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\)とおく
（この多項式は添字の和が一定（\(n+1\)）である）
級数 \(\displaystyle \sum_{ = 1 }^{\infty}c_n \)は収束し 次式が成り立つ
\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{\infty}c_n=\left(\sum_{ n= 1 }^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{ n= 1 }^{\infty}b_n\right) \)

交項級数です、直感的に収束するのが分かりますね。
交項級数の定理を使い：
\(a_n=\frac{1}{n}\)は単調減少、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0\) であるから与式の級数は収束する。

\(a_n\)は非負➝与式は正項級数➝ダランベールの判定法を使う。
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}\) \(=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{n^n}\) \(=\frac{(n+1)^{n+1}}{n!(n+1)}\frac{n!}{n^n}\)
\(=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)}\) \(=\frac{(n+1)^{n}}{n^n}\) \(=(1+\frac{1}{n})^n\)

ダランベールの判定式は：
\(r=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\) \(=\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\)　（※）
（※）: ネピア数 \(e=2.718\) の定義式と同じなりました。【参考先】
\( \therefore r\gt 1\)　なので発散する。

数列\(a_n\)にある n乗に注目し、コーシーの判定法を使う。
\(r=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\) \(=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2n-3}{4n-5} \right)^n }\) \(=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n-3}{4n-5}\) \(=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{3}{n}}{4-\frac{5}{n}}\)
\(=\frac{2-0}{4-0}\) \(=\frac{1}{2}\)

\( \therefore r\lt 1 \)　なので収束する。

式(a)は正項級数である調和級数である

また\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\)の\(p=1\)であるから発散する。
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) \(=\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{1}{n}\right|\)

式(b)は交項級数である
 例題3より収束する。

また、絶対値にすると式(a)と同じになる。
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|(-1)^{n-1}\frac{1}{n} \right| \) \(=\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\)

まとめると
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n} \) は収束し、 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|(-1)^{n-1}\frac{1}{n} \right| \) は発散するので
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n} \) は条件収束している。