図から分るように(初項\(a_1= 1\)の部分和):
\( 1-r^2=(1-r)S_n \)
\(\therefore S_n= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1}=\frac{1-r^n}{1-r} \quad (3)\)
(a=1の場合)
次に上式の
一般式を作ります。
等比数列の一般項は
\( a_n= ar^{n-1}\) ②
\( \rightarrow a_k= ar^{k-1}\) ②'
これを使い以下のようにして一般式が求まる。
初項\(a\)、公比\(r\)の等比数列\( \{ a_n \} \)の第n部分和\(S_n\):
\( S_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_k= \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}a r^{k-1} \)
\( =a \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1} =a\frac{1-r^n}{1-r} \)
\( (r \neq 1) \)
\( \underline{ S_n =a \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1} =a\frac{1-r^n}{1-r} \quad (4) }\)
注:上式の条件は \((r \neq 1) \)です。
\( r=1\)の時は:
\(
S_n
= \overbrace{ a+a+a \cdots + a }^{ n個 }
\)
より \( S_n= n a \)
となります。
(1) 初項3、交比2の等比数列の項数8までの和を求めよ。
\(\displaystyle S_6=\sum_{k = 1}^{8} a_k= \displaystyle \sum_{k = 1}^{8} 3 \cdot 2^{k-1}\)
\( = 3 \cdot \frac{1-2^8}{1-2} =765\)
確認:
\(3+6+12+24+48+96+192+384\)\(=765\)