「上/下に有界な単調増加数列は収束する」という定理があります。
この定理はそのまま受け入れて、定番の問題を解いてみましょう。

【定理】
・上に有界な単調増加数列 \( \{a_n\} \) は収束して、その極限値は \( sup\ a_n \) に等しい。　
・下に有界な単調減少数列 \( \{a_n\} \) は収束して、その極限値は \( inf\ a_n \) に等しい。　

この数列はネイピア数を与える数列なので収束は当然ですが、解く手法、技巧的なところが参考になります。
解答は長くなりますが、少し辛抱して下さい！
次の手順で解決していきます。
・数列が単調数列であるか否か
・数列が有界であるか否か

【有界の参照先】

この数列を2項定理により展開する。 【参照先】
式が長いことと技巧的なところがあるので、混乱しないように分かり易く書いていきます。

\(a_n= ( 1+ \frac{1}{n} )^n \)
\( = \displaystyle \sum_{ r = 0 }^{ n } \ {}_n \mathrm{ C }_r (1 + \frac{1}{n})^n \)
\(= {}_n \mathrm{ C }_0\cdot 1^n + {}_n \mathrm{ C }_1\cdot 1^{n-1} \frac{1}{n} + {}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2}\frac{1}{n^2}\) \(+ {}_n \mathrm{ C }_3 \cdot 1^{n-3}\frac{1}{n^3}\) \( + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \cdot 1^r \frac{1}{n^r}\) \( +\cdots +{}_n \mathrm{ C }_{n} \frac{1}{n^{n}}\)
\(= 1 + n \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^2} \) \(+ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^3} \) \( \cdots + \color{red} {\frac{1}{n^n}} \) \(\quad :❶'\)

上式の最終項＝

\( \color{red} { \frac{1}{n^n}} = \frac{n!}{n!} ( \frac{1}{n^n})\)
\(=\frac{1}{n!} \cdot 1 \cdot \frac{n \cdot (n-1)\cdots 2 \cdot 1}{n\cdot n\cdots n \cdot n} \)
\(=\frac{1}{n!} \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots \cdot \frac{n-(n-1)}{n} \)
\(=\frac{1}{n!} \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots \cdot (1-\frac{(n-1)}{n}) \)

\(❶’=\)
\(1 + 1 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}) \) \(+ \frac{1}{3!} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n}) \) \(+ \cdots + \frac{1}{n!} \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{n-1}{n}) \)
= ❶''

この式の各項は正です。　また n の増加にともない 各項は増加する。
さらに n　の増加とともに項数が増える。
そこで、 \( a_{n+1} ≥ a_n \) であることを調べ、単調増加であることを確認する。

n を n+1 に置き換えて \( a_{n+1} \) を計算する。

\( a_{n+1} ＝ 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1}) \) \(+ \frac{1}{3!} (1-\frac{1}{n+1}) (1-\frac{2}{n+1}) \)
\(+ \cdots + \frac{1}{n!} \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{n-1}{n}) \)
\(+ \underline{\frac{1}{(n+1)!} \cdot (1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1-\frac{2}{n+1}) \cdots (1-\frac{n}{n+1})} \)

各項を注視すると、明らかに \( a_n \)と比べると \( a_{n+1}\) の各項の値は大きく、また項（最終の下線部）が1つ増えている。

\(　\therefore a_{n+1} ≥ a_n \)

\( a_n \) は単調増加数列であることが確認できました。

次の関係がなりたちます（はじめは式❶''とおく）

\(a_n= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}) \) \(+ \frac{1}{3!} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n}) \) \(+ \cdots + \frac{1}{n!} \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{n-1}{n}) \)
< \(1+1+ \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}\)
< \(1+　\underline{1+ \frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{n^{n-1}} }\) ❷

・\(2^{n-1}\) と \(n!\) の大小関係は：（式❷の根拠）
  \(2^{n-1}=1\cdot2^{n-1} \lt　n!\) \(=1 \cdot 2\cdot 3\cdot \cdots (n-1) \cdot n \)

上記の逆数のとき、一例をあげると：
  \(\frac{1}{3!}=\frac{1}{3\cdot 2\cdot 1} \lt \frac{1}{2\cdot 2\cdot 1}=\frac{1}{2^2}\)　　

・式❷の下線部は等比数列です。
初項=１、公比 \(r＝\frac {1}{2}\)
 \(　S_n=\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}} \)

 詳しくは 「等比数列の和」 を参照。

これを反映すると次のようになる。

\(a_n\)\(\lt 1+\underline{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots} \) \( \underline{ \cdots+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{n^{n-1}} }\)

これより数列 \(a_n\) は上に有界です。

まとめると、 \(a_n\) は単調増加数列かつ上に有界であるから、この数列は収束する。
ここでは収束値を求めていません。

こんどは収束する値、極限値を求める例題です。 結論を先にいうと、この数列は収束します。　
累乗根なので手計算をあきらめて、電卓かエクセルなどで、n を大きくすると「1」に収束するのが推測できます。
どうして解くか … 「2項定理」と「はさみこみの定理」を使います。
\(\sqrt[n]{n}=1+h\) とおいて、「\(n\rightarrow\infty\) のとき \(h\rightarrow0\)」となることを証明すればよい。

両辺をn で割ると
\( 1\gt \frac{n-1}{2}h^2\)

移項して\(\ h \lt \sqrt{ \frac{2}{n-1} }\)
\(\therefore 0 \lt h \lt \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \)
ここで\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{2}{n-1}}=0\)

以上をはさみうちの定理を使い
\(n\rightarrow\infty\)のとき\(h\rightarrow0\)となる。
これより極限値は：
\(\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ n\ } \) \(\ = \displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+h) = 1 \)
である。 　

この問題により階乗と累乗の増加速度の違いが分かる。

数列\(a_n\) を分解すると：
\(\frac{2^n}{n!} \) \(=\frac{2}{1} \ \frac{2}{2}\) \(\underbrace{\frac{2}{3}\ \frac{2}{4} \cdots \frac{2}{n-1}\ \frac{2}{n}}_{各項 \lt 1}\) \(\lt \frac{2^2}{2!} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\)
数列を前半の「\(\frac{2^2}{2!}\)」と後半の「 \( (\frac{2}{3})^{n-2} \)（1未満）」に分けた。

これにより次式の如く展開される。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} \) \(=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2^2}{2!} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\right) \) \(= \frac{2^2}{2!} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} \) \(=\frac{2^2}{2!}\cdot 0=0\)

\(\therefore \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}＝0 \)
階乗の増加速度が累乗より速いことが分かった。
次の例題では上式を一般化してみよう。

例題3 とは異なる方法で証明していきましょう。（勉強のために）
\(2t\lt j\lt n\) なる \(j\) を設ける。（ \(j\) は自然数で充分大きな数）
（大小関係：\(1, 2 \cdots t\cdots 2t \cdots j \cdots n\)　）

\(t \lt \frac{1}{2}j \) \(\quad \) \(\therefore \color{red}{\frac{t}{j} \lt \frac{1}{2}}\) ➀　
また、 \(a_1,a_2, \cdots \color{red}{a_j},\cdots a_n\quad \) なる数列 \(\color{red}{a_j}\) を考える。
\(a_\color{red}{j}=\) \(\frac{t^\color{red}{{\ j}}}{j\ !}\) \(=\color{red}{J}\) とおく。 （ \(a_\color{red}{n}=\frac{ t^\color{red}{n} }{n!} \)　）
任意の小さな\(ε\ (\gt0)\)に対し、十分大きな\(k\ ( \in \mathbb{ N })\)とする。

\(J\ (\frac{1}{2})^k=a_j\ (\frac{1}{2})^k \) \(=\frac{t^\ j}{j\ !}\ (\frac{1}{2})^k \)\(\ \lt ε\)
（\(\because\) k は大きな数だから \( (\frac{1}{2})^k \rightarrow 0\)）　
\(J\ (\frac{1}{2})^k\lt ε\)　\(\quad ②\)　

\(a_n=\frac{t^n}{n!}\)\(=a_j\ \frac{t}{j+1} \frac{t}{j+2} \cdots \frac{t}{n}\)

これから式➀と②を使う。
また\(\quad\)\(n\gt m,\)\(\quad\)\(j+k=m,\)\(\quad\)\(j=m-k\)とすると。
数列\(a_n\)は以下のように展開できる:

\(a_n=\frac{t^n}{n!}\)\(=a_j\ \frac{t}{j+1} \frac{t}{j+2} \cdots \frac{t}{n}\)

\(=J\ \frac{t}{j+1}\ \frac{t}{j+2} \cdots \frac{t}{n}\) \(\lt J\ \frac{1}{2}\ \frac{1}{2}\ \cdots \frac{1}{2}\) \(=J\ (\frac{1}{2})^{n-j}\)
\(=J\ (\frac{1}{2})^k\ (\frac{1}{2})^{n-m}\) \(\lt ε \ (\frac{1}{2})^{n-m}\)\( \lt \ ε\)

（\(\because\) \( (\frac{1}{2})^{n-m}\)）は1 未満　）　
\(\therefore \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{t^n}{n!}=0 \)
これより\( t\) はどんな正の数に対しても上式が成り立つ。
すなわち階乗の増加速度が累乗より速い。

\( e= \displaystyle \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{2})^n=2.71828\ 182 \cdots \)

・無理数です。
・近似値なら電卓で、n を大きくすれば求まります。

ネイピア数 \(e\) の性質
・\(e\)は自然対数の底である。
 \(log_e\ y\) が自然対数です。 （ \(e^x=y\) ）　
・\(e^x\)は微分しても変わらない。
・またオイラーの公式に用いられている。
 詳しくは 「オイラーの公式」 を参照。

[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした

【参考図書】Newton　「数学のせかい　教養編」
世界で一番美しい数式と言われている式
それがオイラーの等式です。

\( e^{i π}+ 1 ＝ 0 \)

この式には「いわくありげ」な不思議な数が集まっています、まず、その演算結果が0（ゼロ）です。
0 は足し算/引き算では影響しない数。
1 はかけ算/割り算では影響しない数。
\(π\ \)は　3.14159 …の無限小数
\(e\ \)は 2.71828 …の無限小数
 \(e^x\) は何回微分しても変わらない。（\(e^x\)のまま）
上の簡単な式により、虚数を通して、このような複雑な、「いわくありげ」な数の演算結果が0（ゼロ）になる。
虚数も長年否定されきた、２乗するとマイナスになる数。
英語ではimaginary number である。　
0（ゼロ）も過去に長年、数字として認められなかった歴史があります。

この式の導出は次の通りです。
オイラーの公式：
\( e^{iθ}=cos\ θ+i\ sin\ θ\ \)

この式に \( θ=π \) を代入する。
\( e^{iπ}=-1+0=-1\ \)

\( \therefore e^{i π}+ 1 ＝ 0 \)