以下が定義です、はじめはチョット不思議に思うが、極大・極小はミクロ的な概念です。
（最大値・最小値はマクロ的な概念）
\(x=a\) 近傍において関数\(f(x)\)は連続とする。
（微分可能とはいっていないことに注意する。）(※1)

\(0\lt |x-a|\lt ε\) のとき、\(f(a)\gt f(x)\)のとき
  （x が a の近傍で\( f(a)\gt f(x)\)のとき　）
・\(f(a)\)は\(x=a\) で極大、\(f(a)\)を極大値、\(x=a\)を極大点という。

\(0\lt |x-a|\lt ε\) のとき、\(f(a)\lt f(x)\)のとき
  （x が a の近傍で\( f(a)\lt f(x)\)のとき　）
・\(f(a)\)は\(x=a\) で極小、\(f(a)\)を極小値、\(x=a\)を極小点という。

・極値とは極大値、極小値を総称、極点(または極値点)とは極大点、極小点を総称。
・\(f'(a)=0\)となる点\(a\) を停留点（または臨界点）という。極値の極点は停留点である。
・変曲点は\(f''(a)=0\)となる点で、その点の前後で\(f''(x)\)の正負の符号が変化する点である。
変曲点の前後では、接線傾きの変化が「正から負」または「負から正」に変わる。

(※1)
下図の関数は\(x=0\)において微分可能ではないが\(x=0\)において極小である。
（同様に\(y=|x^2-1|\)も尖がっている極小値を持っている）

与式の関数 f(x)とし、以下で求めたものを下表に記入する。
➀ 関数 f(x) の1回微分 f '(x) を求める。
② f '(x)= 0　なる x= a を求める。 f (a)は極値の候補である。
③ a　の前後のf'(-a)、f'(+a)　の極性（正負）を調べる。
④ 関数の2回微分 f ''(x)を求める。
（f ''(x)=0 ときは変曲点になりうることに注目しよう！）
⑤調べたことを以下の増減表に記入して極値を見極める。

 増減表のサンプル
\(　\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x &\cdots& a_1 &\cdots& a_2 &\cdots& a_3 &\cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & – & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) &\nearrow&極大&\searrow&変曲&\searrow&極小&\nearrow \\ \hline f''(x) & - & - & – & 0 & + & + & + \\ \hline \end{array} \)

\(f''(x)=0\) の前後で f '' の符号が変っていれば変曲点である。
変曲点とは\(f''(x)=0\)となる点で、その点の前後で\(f''(x)\)の正負の符号が変化する点である。
変曲点の前後では、接線傾きの変化が「正から負」または「負から正」に変わる。
（上に凸な曲線、下に凸曲線が入れ替わる点である）

\(f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x+2)(x-2)\)

\( f'(x)=0 \) に対し \( x=-2, \ x=2 \) …極値候補の位置

\(f(-2)=21 ,\) \(\ f(2)=-11\) …極小、極大の候補

二回微分を求める （変曲点などの解析）

\(f''(x)=6x\)

\( f''(x)=0 \) に対し \( x=0 \) …変曲点候補の位置

\( f(0)=5 \) …変曲点候補の値
各極値候補 x=-2, 0, 2 の前後に対し、式 ❷、❸ の「正か負」を調べる。
(例えばx=2に対し　x<2, x>2　のときの極性を調べる）
\(　\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & - & + & + & + \\ \hline f''(x) & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 変曲点 & \searrow & 極小　& \nearrow \\ \hline \end{array} \)

f ' , f '' の符号、変化の状況の結果から、上述した候補通り、極大、極小、変曲点となりました。
すなわち 極大点=(-2,21), 極小点＝(2,-11), 変曲点＝(0,5)
　 特に変曲点候補の前後ではf 'の符号（接線の傾き）が変ったので変曲点と判断できる。

\( f'(x)=(x e^{-2x^2})'\) \(=1\cdot e^{-2x^2} + x\cdot (-4x) e^{-2x^2}\) \(=(1-4x^2)e^{-2x^2}\)

\(=(1+2x)(1-2x) e^{-2x^2}\)

\( f'(x)=0 \) のとき \( \underline{x=-\frac{1}{2}} ,\ x=\frac{1}{2} \) …極値候補の位置

\( f(\underline{-\frac{1}{2}} )=-\frac{1}{2} e^{-2 ( \frac{1}{2})^2} \) \( = -\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} } \)

\( =-\frac{1}{\sqrt{e}}\) …極小値の候補

\( f''(x)=(x u)''\)\(= ((x u)')'\) \(=( (1-4x^2)e^{-2x^2} )'\) \(=( (1-4x^2)u )'\)

\(=(1-4x^2)'u + (1-4x^2) u'\)

\(=-8x u + (1-4x^2)(-4x) u \) \(=(-8x-4x+16x^3)u\) \(=4x(4x^2-3)u\) \(=4x(4x^2-3)e^{-2x^2}\)

\(=4x(2x+\sqrt{3})(2x-\sqrt{3})e^{-2x^2}\)

\( f''(x)=0 \) に対し \( x=\underline{ -\frac{\sqrt{3}}{2} }, \ 0 , \ \frac{\sqrt{3}}{2} \) …変曲点候補の位置

\( f(\underline{ -\frac{\sqrt{3}}{2} })= -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-2 (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 } \)

\(= -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{3}{2} } \) \(= -\frac{\sqrt{3}}{2 e \sqrt{e} } \) …変曲点候補の値

\(\underline{　f(x)=x \frac{1}{e^{2x^2}} }\) のイメージ

x=0　のとき y=0　
f(x) の符号はx で決まる。
分母は ｅの\(x^2\)乗の指数関数なので：
分母は分子より高位の無限大（分母が早く無限大にいく）
\(\therefore　x→-∞ \quad y → 0\)
（+∞も同じだが、今回の領域外）

各極値候補 x=p1, p2, p3 の前後に対し、式 ❷、❸ の「正か負」を調べる。
(例えばx=p1に対し　x<p1, x>p1　のときの極性を調べる）
\(　\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline & & p1 & & p2 & & p3 & \\ x & \cdots & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \cdots & -\frac{1}{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline f''(x) & - & 0 & + & + & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & 変曲 & \searrow & 極小 & \nearrow & 変曲 & \nearrow \\ \hline \end{array} \)

定理1：極値の候補
微分係数　f '(a)=0 となる x=a の点は極値の候補となる。

定理2：関数の増減
(ⅰ) f '(a)>0 ならば、f(x)は区間 I で狭義の単調増加(※)である。
(ⅱ) f '(a)<0 ならば、f(x)は区間 I で狭義の単調減少(※)である。
これより関数の１回微分により\(a\)近傍での関数の増加・減少が分かる。
(※)【参照先】

定理3：極大と極小の判定
定理1 の続き、f '(a)=0 のとき：
(ⅰ)極大
 x <a のとき f '(x)>0、 また x>a のとき f '(x)<0  ならば:
f(x) は x=a　で極大値である。 （このとき f '' の符号は負）　

(ⅱ)極小
 x<a のとき f '(x)<0、 また x>a のとき f '(x)>0 ならば:
f(x)は x=a　で極小値である。 （このとき f '' の符号は正） 　　　　

変曲点：
\(f''(a)=0\)となる点\(a\)で、その点の前後で\(f''(x)\)の正負の符号が変化する点である。

距離\(ℓ\)を時間\(t\)で微分と速度\(v\)が得られる。
 \(f'(t)=v(t)=\frac{dℓ}{dt}\)
速度\(v\)を時間\(t\)で微分すると加速度\(α\)が得られる。
 \(f''(t)=α(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{dℓ}{dt})=(\frac{dℓ}{dt})''\)
加速とは:\(v(t)\)が増加。　 減速とは\(v(t)\)が減少とする。

横軸を時間t、縦軸を距離ℓ とすると、曲線は以下のようになる。
加速の減少と減速の増加→\(f''(t)\lt 0\)→ 上に凸の曲線
減速の減少と加速の増加→\(f''(t)\gt 0\)→ 下に凸の曲線