\(e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\color{red}{o(x^2)}\)
\(e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\color{blue}{O(x^3)}\)
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0\) \(\ ,\) \( \displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)=0\)
について
以下はx の次数 n の増減とランダウ記号の偏移の様子です:
\(\color{blue}{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^n}}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{f(x)}{x^{n+1}}=\color{blue}{0}\)
\(\quad ⇒ \color{red}{ f(x)=o(x^n) \quad (x \to 0) }\)
⇒\(f(x)\)は\(x^n\) より高位の無限小
\(\color{blue} {\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{f(x)}{x^2}=\color{blue}{0}\)
\(\quad ⇒ \color{red}{ f(x)=o(x) \quad (x \to 0) } \)
⇒f(x) はx より高位の無限小である
\(\color{blue}{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1}}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{f(x)}{x}=\color{blue}{0}\)
\(\quad ⇒ \color{red}{f(x)=o(1) \quad (x \to 0) }\)
⇒f(x) は1 より高位の無限小である
\(f(x)=o(x^m)\) \(\quad\) \(g(x)=o(x^n)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{\color{red}{ f(x)+g(x)}}{ \color{blur}{x^m} }\)
\(=\displaystyle \lim_{x \to 0} (\dsfr{f(x)}{x^m}+\dsfr{g(x)}{x^m})\)
\(=\displaystyle \lim_{x \to 0} (\dsfr{f(x)}{x^m}+\dsfr{g(x)}{x^n}x^{n-m})\)
\(x \to 0\) のとき \(\dsfr{g(x)}{x^n} \to 0\) \(\quad x^{n-m} \to 0\) だから
\(=0+0 \cdot 0=0\)
\(f(x)=o(x^n)\)のとき
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{f(x)}{x^n}=0\) だから
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{ \color{red}{ x^m \cdot f(x)} }{ \color{blue}{x^{m+n}} }\)
\(=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dsfr{x^m}{x^m} \dsfr{f(x)}{x^n}) \)
\(=\displaystyle \lim_{x \to 0}\dsfr{f(x)}{x^n}=0 \)
\(f(x)=o(x^n)\)のとき
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{f(x)}{x^n}=0\) だから
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{ \color{red}{ \dsfr{1}{x^m} f(x)} } { \color{blue}{ x^{m-n}} }\)
\(=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{f(x)}{x^m x^{n-m}}\)
\(=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{f(x)}{x^{n}}=0\)
\(f(x)=o(x^m)\) \(\ ,\ \) \(g(x)=o(x^n)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{f(x)}{x^m}=0\) \(\ ,\ \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{g(x)}{x^n}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dsfr{ \color{red}{f(x)g(x)} }{\color{blue}{x^{m+n}}}\) \(=\displaystyle \lim_{x \to 0} (\dsfr{f(x)}{x^m} \dsfr{g(x)}{x^n})\) \(=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{f(x)}{x^m}\) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{g(x)}{x^n}\) \(=0 \dot 0=0\)
・\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dsfr{o(x^n)}{x^n}=0\)
\(\because x^{n+1}=o(x^n)\)
当然、次も成り立つ
・\(\displaystyle \lim_{x \to 0} o(x^n)=0\)
・上記の性質を利用すると以下のようにして簡略化できる。
\(x \to 0\) のとき：
展開の前に、\(\frac{0}{0}\)なのでロピタルの定理をから極限を確認してみよう。
\(\frac{(sinx-x)'}{(x^2)'}\)
\(=\frac{(cosx-1)}{(2x)}\) \(\quad \)
\(\frac{(cosx-1)'}{(2x')}\)
\(=\frac{-sinx}{2}\)
\(\therefore \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-sinx}{2}=0\)
\(\therefore \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sinx-x}{x^2}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{xsinx}{x}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}x\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}\)
\(=0 \cdot 1=0\)
\(\therefore xsinx\)は\(x\)より高次の無限小である。
\(=x^6+\color{blue}{ 2x^3o(x^3)}+\color{red}{ o(x^3)o(x^3) }\)
\(\color{blue}{2x^3o(x^3)} \to 2o(x^6) \to o(x^6) \)
ランダウ記号の加算は次数の小さい項でまとめる
\(=x^6+ \underline{ \color{blue}{o(x^6)}+\color{red}{ o(x^6)} }\)
\(=x^6+\underline{ o(x^6) }\)
\(f(x)= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{n}(a)}{k!}(x-a)^k\) \(+o((x-a)^n)\)
\(f(x)= \displaystyle \sum_{k=1}^{\color{red}{n}} \frac{f^{n}(a)}{k!}(x-a)^k\) \(\color{red}{-\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n}\)
\(+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n\)
\(= \displaystyle \sum_{k=1}^{\color{red}{n}} \frac{f^{n}(a)}{k!}(x-a)^k\)
\(+\color{blue}{ \frac{(x-a)^n}{n!}( f^{(n)}(c)- f^{(n)}(a)) } \)
\(= \displaystyle \sum_{k=1}^{\color{red}{n}} \frac{f^{n}(a)}{k!}(x-a)^k\)
\(+\color{blue}{ g(x) } \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{(x-a)^n}\)
\(=\displaystyle \lim_{x\to 0}\dsfr{1}{n!}( f^{(n)}(a+θ(x-a))- f^{(n)}(a)) \)
\(f^{(n)}(x)\)は\(C^n\) 級だから連続、よって\( x \to a\) のとき \(f^{(n)}(a+θ(x-a))\to f^{(n)}(a)\)である。
\(\therefore \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{(x-a)^n}=0\)
•\(n\)次のときは一般項(下線)を書き、続いてランダウ記号を書く。
•一般項の\(n\) のはじめは \(n=0\)である。(1 の場合もあるので注意、初項を見て判断する。)
•一般項の応用：\(e^x=\displaystyle\sum_{\color{red}{n=0}}^{\infty} \frac{1}{n!}x^{n}\) と書ける。
\(f'(x)=(e^x)'=e^x=f''(x)=f^{(3)}(x)\)\(=f^{(4)}(x)=f^{(n)}(x) \)
\(f'(0)=e^0=1\)
\(f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=f^{(4)}(0)\)\(=f^{(n)}(0)=e^0=1\)
\(f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{1!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots\)
\(f'(x)=cosx\)\(,\ \)\(f''(x)=-sinx\)\(,\ \)\(f'''(x)=-cosx\) \(,\ \)\(f^{(4)}(x)=sinx\)\(,\ \)\(f^{(5)}(x)=cosx\)
\(f'(0)=1\)\(,\ \)\(f''(0)=0\)\(,\ \)\(f'''(0)=-1\) \(,\ \)\(f^{(4)}(0)=0\)\(,\ \)\(f^{(5)}=1\)
\(f(x)=f(0)+f'(0)x+ \frac{1}{2!}f''(0)x^2\) \(+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3\)\(+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4\)
\(+\frac{1}{5!}f^{(5)}(0)x^5\)
\( (sin\ x)^2=(x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3))^2\)
\(=x^2+\frac{x^6}{36}+(o(x^3))^2-\frac{x^4}{3}+2xo(x^3)\)\(-\frac{x^3}{3}o(x^3)\)
項を並び換えて:
\(=x^2-\frac{x^4}{3}+\color{red}{o(x^5)+o(x^6)}\)\(\color{red}{+o(x^4)+o(x^6)}\)
ランダウ記号の項を1つまとめて：
\(=x^2-\frac{x^4}{3}+\color{red}{o(x^4)}\)
\(\color{red}{xsin\ x} =x(x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3))\)\(=\color{red}{x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)}\)
\(=x^2-\frac{x^4}{6}+xo(x^3)\) \(=x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)\)
\(\color{red}{(xsin\ x)^2}=(x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4))^2\) \(=\color{red}{x^4+\frac{x^6}{3}+o(x^6)}\)
\(=x^4-\frac{x^8}{36}+o(x^8)\)\(+2x^2\frac{x^4}{6}-2\frac{x^4}{6}o(x^4)+2x^2o(x^4)\)
\(=x^4-\frac{x^8}{36}+o(x^8) +\frac{x^6}{3}+ \frac{1}{3}o(x^8)+o(x^6)\)
\(=x^4+o(x^7)+o(x^8)+\frac{x^6}{3}+o(x^8)+o(x^6)\)
\(=x^4+\frac{x^6}{3}+o(x^6)\)
分子、分母を\(x^3\) で割るのがポイント
\(g(x)=\frac{1}{x^3}(sin-x)\)\(\quad\) \(h(x)=\frac{1}{x^3}(x^2 sinx)\) として、
g(x),h(x) が \(x \to 0\) のとき極限をもてば次式が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{sinx-x}{x^2 sinx}\) \(=\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x^3}(sinx-x)}{\frac{1}{x^3}(x^2 sinx)}\) \(=\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{h(x)}{g(x)}\) \(= \frac{ \displaystyle \lim_{x\to 0} g(x)}{\displaystyle \lim_{x\to 0} h(x)}\)
\(x \to 0\) のとき\(g(x),h(x)\) は \(\color{red}{sinx}\)の漸近展開を用いて：
\(g(x)=\frac{1}{x^3}(\color{red}{sinx}-x)\)
\(=\frac{1}{x^3}(\color{red}{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}-x)\)
\(=\frac{1}{x^3}(-\frac{x^3}{6}+o(x^3))\)
\(=-\frac{1}{6}+o(x))\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} g(x)\)\(=\displaystyle \lim_{x\to 0} (-\frac{1}{6}+o(x))\) \(=-\frac{1}{6}\)
\(h(x)=\frac{1}{x^3}(x^2 \color{red}{sinx})\) \(=\frac{1}{x^3}[x^2(\color{red}{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)})]\)
\(=\frac{1}{x^3}[x^3-\frac{x^5}{6}+o(x^5)]\)
\(=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\)
\(=1+o(x^2)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} h(x)\) \(=\displaystyle \lim_{x\to 0} (1+o(x^2))=1\)
