\(cos\ x\) \(,\ \) \((1+x)^α\)\(,\ \) \(e^{-x}\)
\(tan\ x\) \(,\ \) \(sinh\ x\) \(,\ \) \(cosh\ x\)
f(x)は 開区間\(I=(a,x)\) において n回微分可能(\(C^{n}\)級 )のとき、下式が成り立つ。
テイラーの定理の式は多項式を有限個にとめて最後の項に剰余項をつけている。 \(f(x)=\color{blue}{f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+}\) \(\color{blue}{\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{(n-1)}} + \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^n \) :❶ ( \(f(x)=\color{blue}{ \displaystyle \sum_{m=0}^{n-1} \frac{f^{m}(a)}{m!}(x-a)^m}\) \(+\color{red}{ \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^n }\) ) 最終項を\(R_n\)とおく。(\(f(a)\) でなく \(f(c)\)である。) \(R_n\)のことをラグランジュの剰余項(または誤差項)という。 \(\color{red}{ R_n=\frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^n } \):❷ \(c=a+θ(x-a)\) \((0\ltθ\lt1) \) 上式の\(c\)がx とa の間に存在するとき式❶が成り立つ。
注1:点a は開区間I において任意の点である。 |
・新たな関数\(F(t)\) を導入し \(c\)の存在を確認する。( ロルの定理を使う)
・実際に\(K\)を求める。
・求めた\(K\)を式❹ に代入し\(F(t)=0\)として 式❶ を導出。
・以上より証明が終わる。
\(K=\frac{n!}{(x-a)^n}\left( f(x)-\color{blue}{f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a) }\right.\) \(\left.\color{blue}{ +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{(n-1)}} \right)\) \(\ :❸ \)
ここで新しい関数\(F(t)\)を用意する\(F(t)=f(x)-f(t)-\frac{f'(t)}{1!}(x-t)\) \(-\frac{f''(x)}{2!}(x-t)^2+\) \(\cdots-\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}(x-t)^{(n-1)} - \frac{K}{n!}(x-t)^n\) \(\ :❹ \)
\(t=a\) のとき \(F(a)=0\)
\(F(a)=f(x)-f(a)-\color{blue}{ \frac{f'(a)}{1!}(x-a) }\)
\(\color{blue}{-\frac{f''(x)}{2!}(x-a)^2+ }\)
\(\color{blue}{ \cdots-\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}(x-a)^{(n-1)}-\frac{K}{n!}(x-a)^n }\)
\(=f(x)-\color{blue}{f(x)}=0\)
例:
\(\left(-\frac{f'(t)}{1!}(x-t) \right)'\) \(=-\frac{f''(t)}{1!}(x-t)+f'(t)\)
\(\quad f(x),K=f^{(n)}(c)\)は定数扱い
\(F'(t)=\cancel{-f'(t)}-\cancel{\frac{f''(t)}{1!}(x-t)}\) \(+\cancel{f'(t)}-\frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2\) \(+\cancel{\frac{f''(t)}{1!}(x-t)} \cdots\underline{ -\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{(n-1)} }\) \(-\frac{f^{(n-1)}(t)}{(n-2)!}(x-t)^{(n-2)}\) \(+\underline{ \frac{K}{(n-1)!}(x-t)^{(n-1)} }=0\)
上式の右辺は省略している項があるが、キャンセルされる項が多く、残る項は下線部だけとなる。
\(-\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{(n-1)}+\frac{K}{(n-1)!}(x-t)^{(n-1)}=0\)
\(\therefore\)
\( K=\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!} (n-1)!=f^{(n)}(t)\)
\(f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\) \(\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{(n-1)} + \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^n \)
上式は式❶と同じです… 式❶が導かれました。…【証明終わり】
\(f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x)+\frac{f''(0)}{1!}x^2+\)
\(\cdots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{(n-1)} + \frac{f^{n}(c)}{n!}x^n \) :❺
\(R_n=\frac{f^{n}(c)}{n!}x^n\):❻
テイラーの定理の
\(n\rightarrow\infty\)のときの剰余項(式❷)について:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R_n=0 \)
が成り立つなら式❶ を拡張して無限級数で表せる。
式❶の無限級数版を「テイラー展開」、また式❺の無限級数版(\(a=0\))を「マクローリン展開」という。
テイラー級数(展開)、マクローリン級数(展開)というもことあるので注意されたし。
通常、問題などで「テイラー/マクローリン展開せよ」いっているのは「有限のテイラー/マクローリン展開」のことですね。
f(x)は 開区間\(I=(a,x)\) において 無限回微分可能(\(C^{n}\)級 )、かつ n が無限大のとき剰余項が 0 に収束するとき下式が成り立つ。
\(f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\) \(\cdots+ \underline{ \frac{f^{(n)}(a)}{n!} } (x-a)^{n} + \cdots\) :❼ |
テイラー展開式❼の\(a=0\) のとき
\(f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\) \(\cdots+\underline{ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} }x^{n} + \cdots\) :❽ |
・1次近似は:
\(f(x)=1+\frac{1}{1!}x\)
…\(f(x)\)の原点での接線の式です。
・2次近似は:
\(f(x)=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2\)
・3次近似は:
\(f(x)=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3\)
\(y=log(1+x)=logA\)のグラフの要点
\( \begin{array}{c|c|c} \hline y=logA & A=e^y & x=A-1\\ \hline -\infty & 0 & -1 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & e^1=e & e-1 \\ \hline \end{array} \)
\(sin(1)≒\frac{1}{1!}(1)-\frac{1}{6}(1)^3+\frac{1}{120}(1)^5=0.8416\)
(真値\(sin(1)=0.84147\))
•一般項の\(n\) のはじめは \(n=0\)である。(1 の場合もあるので注意、初項を見て判断する。)
•
一般項を応用すると次のように書ける。
\(\quad cos x=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \color{red}{ \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} }\)
朱記部を組み合わせ/2項係数の記号で表すと:
\({}_n \mathrm{ C }_α = \binom{ n }{ α } =\frac{α(α-1)(α-2)\cdots(α-n+1)}{n!}\)