ラグランジュの未定乗数法

∗２変数関数の条件付き極値
∗ラグランジュの未定乗数法
∗図形的イメージと解説
∗ラグランジュの未定乗数法の証明

∗極点の候補を求めたあとの判定
 有界閉集合について

∗ 例題1：極点・極値を求める

 \(F(x,y)=x^2+2xy+y^2\)
 \(g(x,y)=x^2+y^2-1=0\)

∗ 例題2：極点・極値を求める

 \(F(x,y)=x y\)
 \(g(x,y)=x^2+4y^2-4=0\)

∗ 例題2の別解（縁付きヘッセ行列による判定）

∗ 例題3：長方形の面積最大の各辺の長さ

∗ 例題4：直方体の体積最大の各辺の長さ

ラグランジュの未定乗数法  

位置\(x,y\) にある \(f\)の値（スカラー場）をもつものがあるとすると：　
 \(\color{red}{grad\ f(x,y)}= ( \pder{f(x,y)}{x},\pder{f(x,y)}{y})\) \(=(f_x,f_y)\)
と書いて「勾配ベクトル f （グラディエーション f）」という。
「grad」はスカラー f を ベクトル（向きと大きさ持つ）に換える働きがある。(※b)
fig2 のように勾配ベクトルは等高線と直交する。またその向きは\(f\)が増加する向きである。
fig2 での４つの\(∇f\) の向きはfig1 での関数 f の増加方向である。
勾配ベクトルは電磁気学では電場、力学では重力場であり、いずれもポテンシャルの勾配であり、質点/電荷が「一番きつい勾配」を転がっていくイメージである。
（\(grad \bv{f}\)　はベクトルだから\((f_x,f_y)\)は「\( grad \bv{f} \)」 の成分であることに注意。）

ベクトル\(( \pder{f}{x},\pder{f}{y} )\) を\(\nabla\)記号をつかい、次のように表わす。
 \(\nabla f= grad\ f = (\pder{f}{x},\pder{f}{y})\)
\(\nabla\)（ナブラ）は微分作用素（または演算子）である。
(※b)（\(f\) はスカラーだが \(\nabla\)を作用させた\(\nabla f\)はベクトルである。）
勾配ベクトル \(\nabla\bv{f}\) の特徴は関数\(f\) の「等高線と直交する」に留意する。
（\(\nabla\bv{f}\) は曲面\(f\) のある点における最大傾斜の向きとなる）
 \(\nabla\) \(=(\pder{}{x},\pder{}{y} )\) \(\ →\ \) \(　\nabla f\) \(=( \underline{ \pder{f}{x},\pder{f}{y}} ) \)
注:上記の下線部はベクトルの\((x成分,y成分)\)である。
 （ \(\bv{f}=(\underline{f_x,f_y)}\) \(\ ,\ \) \(\bv{g}=(\underline{g_x,g_y})\)　）

式❶’ ❷'を ベクトルで表すと１つの式となる。

 \(f_x(a,b)=λg_x(a,b)\) :❶’　 \(f_y(a,b)=λg_y(a,b)\) :❷'

 \(\nabla \bv{f} =\color{red}{ λ }\nabla \bv{g}　\)  （式❶’ ❷'をまとめた式）
ベクトル\(\bv{f}\) は「 ベクトル\(\bv{g}\)の λ 倍に等しい」
未定乗数 \( λ\) は両ベクトルが等しくなるための係数である。
(※a):上記の通り\(f,g\) は微分可能が前提であるから「定理の条件に \(C^1\)級」を明記している。

\(g(x,y),f(x,y)\) は(a,b)近傍において\(C^1\)級とする。
(a,b)近傍において 制約関数の \(g(x,y)=0\) となる\(f(x,y)\) が存在するとする。
ここで新たな関数を\(y=\varphi(x)\)とすると, \(f(x,y)=f(x,\varphi(x) )\)となる。 →これで１変数関数になる。

 \(\varphi(a)=b　\)　→　\( f(a,b)=f(a,\varphi(a) )\)

 \(g(x,y)\) はx,y の陰関数、\(g_x(a,b)\ne 0\) または\(g_y(a,b)\ne 0\)　とする。
準備として陰関数定理ⓐを適用すると：【参照先】
 （\(\color{red}{ f'(x)=- \frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))} } \)ⓐ ）

\(g_x=\pder{g}{x}(x,\varphi(x))\) \(\ ,\ \) \(g_y=\pder{g}{y}(x,\varphi(x))\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d\varphi(x)}{dx}=(\color{red}{\varphi(x))'}\) \(=\color{red}{ -\frac{g_x(x,\varphi(x))}{g_y(x,\varphi(x))} }\)

さて\(f(x,\varphi(x))\) は x=a において極値をとるから：
以下の式が成り立ち、合成関数の連鎖律をつかい式変形していく。

\(\underline{\frac{d}{dx}(f(x,\varphi(x))}=0\) \(\quad (y=\varphi(x))\)
合成関数の連鎖律をつかい展開する
\(=\pder{f}{x} \der{x}{x}\)\(+\pder{f}{y} \der{\varphi}{x}\) \(=\pder{f}{x}\)\(+\pder{f}{y} (\varphi(x))'\)
\( (\varphi(x))'\)に上記の結果を代入
\(=\pder{f}{x}-\pder{f}{y} \color{red}{\frac{g_x(x,\varphi(x))}{g_y(x,\varphi(x))} }\)
\(=f_x-f_y \frac{g_x(x,\varphi(x))}{g_y(x,\varphi(x))} \)
変数を換える：\((x,y)→(a,\varphi(x)) →(a,b)\)
\(\underline{ =f_x(a,b)-f_y(a,b)\frac{g_x(a,b)}{g_y(a,b)} }\)
\(λ=\frac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)}\)とすると：
\(f_x(a,b)-λ g_x(a,b)=0\) :❶
同様にして：
\(f_y(a,b)-λ g_y(a,b)=0\) :❷
式❶、❷ をベクトル表示すると：
\( \nabla \bv{f}- λ \nabla \bv{g}=0\) \(\ ⇒\ \) \( \nabla \bv{f}= λ \nabla \bv{g}\)

❶❷の証明終わり

 \(F(x,y,λ)=f(x,y)-λ g(x,y)\)
\((a,b,λ)\)はF の停留点とすると次式が成り立つ。
 \(\pder{F}{x}(a,b,λ)=\pder{F}{y}(a,b,λ)=\pder{F}{λ}(a,b,λ)=0\)
関数\(F(x,y,λ)\)の(a,b,λ)における偏微分を求める。

\(\pder{F}{x}(a,b,λ)\)\(=\pder{f}{x}(a,b,λ)-λ\pder{g}{x}(a,b)=0\)  :❸
\(\pder{F}{y}(a,b,λ)\)\(=\pder{f}{y}(a,b,λ)-λ\pder{g}{y}(a,b)=0\)  :❹
\(\pder{F}{λ}(a,b,λ)\)\(=-g(a,b)=0\)　 :❺

❸、❹、❺の証明終わり
ここで式❶❷の変形式の実用的な式を紹介します

式❶❷の証明中の式を以下のように式変形する。
（ \((a,b)\)を省略して表記する）
\(f_x=f_y \frac{g_x}{g_y}\) \( \rightarrow \) \(\color{red}{ \frac{f_x}{g_x}=\frac{f_y}{g_y} }=λ\)　 ：❻　

また \(f_x g_y=f_y g_x\) が成り立つので
以下の実用的に有用な行列式が得られる。

\( \color{red}{ \begin{vmatrix} f_{x} & g_{x}\\ f_{y} & g_{y} \end{vmatrix} }\) \(=f_x g_y-f_y g_x=0 \)  :❼　
例題1 は本式を使って解答した。

有界閉集合を一言でいえば「１変数の有界閉区間と同じような役割をもつ集合」である。
例えば[-1,1]は最大値/最小値の 1/-1　の端点（境界）を含んだ閉区間であるが、一般化の集合では有界閉集合である。
以下は大雑把な説明です。
2次元\(R^2\)では、\(R^2\)の部分集合\(D\) 、その中にある点列（数列）の集まりをあつかう。
（1次元では数直線上の数列 \(a_i\) 、2次元では数列の代わりに点列 \(a_{ij}\) をあつかう）
・集合\(D\) の内部に属する点を内点という。
・集合\(D\) の境界線上にある点を境界点という。
・集合\(D\) の外部（D の補集合）に属する点を外点という。
有界とは点列のすべてが\(D\)に収まっていて外には発散いていない。（一定の円内に収まっている）
閉集合とは\(D\) の任意の点列が\(D\) の点に収束する集合、また内点と境界\(∂D\)を含んでいる集合。

\(f_x=2x+2y\) \(\ ,\ \)\(f_y=2x+2y\)
\(g_x=2x\) \(\ ,\ \) \(g_y=2y\)
式❼を使う
\(\begin{vmatrix} f_{x} & g_{x}\\ f_{y} & g_{y} \end{vmatrix}\) \(=f_x g_y-f_y g_x\)\(=(2x+2y)2y-(2x+2y)2x\)\(=\cdots\) \(=4(y+x)(y-x)=0\)
\(\therefore y=-x　\ ,\ y=x\)
これを\(g(x,y)\) に代入して
(1) \(y=-x\) のとき

\(g(x,y)=x^2+(-x)^2-1=0\) \(\ \rightarrow \ \) \(2x^2=1\) \(\ \rightarrow \ \) \(x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(y=-x=-( \pm\frac{\sqrt{2}}{2} ) \) \(=\mp \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\(\underline{ (x,y)=( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , \mp \frac{\sqrt{2}}{2} ) }\) (複号同順)

(2) \(y=x\) のとき

\(g(x,y)=x^2+(x)^2-1=0\) \(\ \rightarrow \ \) \(2x^2=1\) \(\ \rightarrow \ \) \(x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(　y=x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)　
\(\underline{ (x,y)=( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ) }\) (複号同順)

(3) 極値の評価
まとめると極点は：
\(( +\frac{\sqrt{2}}{2} , - \frac{\sqrt{2}}{2} )\) \(\ ,\ \) \(( -\frac{\sqrt{2}}{2} , + \frac{\sqrt{2}}{2} )\) \(\ ,\ \) \(( +\frac{\sqrt{2}}{2} , + \frac{\sqrt{2}}{2} )\) \(\ ,\ \) \(( -\frac{\sqrt{2}}{2} , - \frac{\sqrt{2}}{2} )\)
条件式\(g(x,y)\)は円の有界閉集合、目的関数\(f(x,y)\) は連続であるから求めた候補に極点最大値、最大値が存在する。
\(f(x,y)\) に候補点を代入して求めると：

極大値：\(f(xy)=2\)
極大点：\((x,y)=\)\(( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , \pm \frac{\sqrt{2}}{2} )\) (複号同順)
注：極大点は第1、第3 の象限にある。

極小値：\(f(x,y)=0\)
極小点：\((x,y)=\)\(( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , \mp \frac{\sqrt{2}}{2} )\) (複号同順)
注：極小点は第2、第4 の象限にある。

条件式を変形すると(各項を4で割る）
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
楕円の式です：長軸\(2a=4\) ,短軸\(2b=2\)　

\(F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)\)\(=xy-λ(x^2+4y^2-4)\)
与式を偏微分する。
\(F_x=y-2λx=0\) \(\ ,\ \)\(F_y=x-8λy=0\) \(\ ,\ \) \(F_{xx}=-2λ \) \(\ ,\ \)\(F_{yy}=-8λ \)
上式より

\(y=2λx\) :ⓐ \(\ ,\ \) \(x=8λy\) ：ⓑ
\(x=8λy=8λ(2λx)=16λ^2x\)
\(16λ^2x-x=0\)\(\ ,\ \) \(x(16λ^2-1)=0\)
\(\color{blue}{x=0}\)\(\ または\ \) \(\color{teal}{ λ=\pm \frac{1}{4} }\)

(1) \(\color{blue}{x=0}\)のとき：

\(y=2λx=0\) \(\ より\ \) \((x,y)=(0,0)\) であり、これは \(g=0\)を満足せず。
これより\(x=0\) は対象から除外する。

(2) \(\color{teal}{ λ=\frac{1}{4} }\)のとき：

\(y=2λx=2\cdot \frac{1}{4}\cdot x=\frac{1}{2}x\)
\(g=x^2+4(\frac{1}{2}x)^2-4=2x^2-4=0\) \(\ \ \) \(\therefore x=\pm \sqrt{2}\)
\(y=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\cdot (\pm \sqrt{2}) \)\(=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\therefore \color{red}{(x,y)=(\pm \sqrt{2},\pm \frac{\sqrt{2}}{2})}\)

(3) \(\color{teal}{ λ=-\frac{1}{4} }\)のとき：

\(y=2λx=2\cdot -\frac{1}{4}\cdot x=-\frac{1}{2}x\)
\(g=x^2+4(-\frac{1}{2}x)^2-4=2x^2-1=0\) \(\ \ \) \(\therefore x=\pm \sqrt{2}\)
\(y=2λx=2\cdot -\frac{1}{4}\cdot x=-\frac{1}{2}\cdot (\pm \sqrt{2}) \)\(=\mp \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\therefore \color{red}{(x,y)=(\pm \sqrt{2},\mp \frac{\sqrt{2}}{2})}\)

(4) 極値の評価：
条件式\(g(x,y)\)は楕円の有界閉集合、目的関数\(f(x,y)\) は連続であるから求めた候補に最大値、最大値が存在する。

\(f\ (\pm \sqrt{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\) \(=xy\) \(=\pm \sqrt{2}\cdot \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=1\)
\(f\ (\pm \sqrt{2},\mp \frac{\sqrt{2}}{2})\) \(=xy\)\(= \pm \sqrt{2} \cdot \mp \frac{\sqrt{2}}{2} \) \(= -\frac{2}{2}=-1\)

\(\begin{cases} 極大値&　f(xy)=1　\\ 極大点& (\pm \sqrt{2},\pm \frac{\sqrt{2}}{2})(複号同順) \end{cases}\)
\(\begin{cases} 極小値& f(xy)=-1 \\ 極小点& (\pm \sqrt{2},\mp \frac{\sqrt{2}}{2})(複号同順) \end{cases}\)

出処は以下の参照先です。（経済学に関するＨＰです。）
【参照先1】 【参照先2】
以下の行列式を「縁つきヘッセ行列」と呼んでいる。
 \(H= \begin{vmatrix} 0 　 　& g_{x} 　& g_{y}\\ g_{x} & F_{xx} & F_{xy}\\ g_{y} & F_{xy} & F_{yy} \end{vmatrix}\) \(=g_x F_{xy} g_y + g_y F_{xy} g_x - g_x g_x F_{yy} - g_y F_{xx} g_y\)
（行列式の計算「サラスの公式」【参照先】
（判定）：

・\(H \gt 0\) :(a,b)において極大である。
・\(H \lt 0\) :(a,b)において極小である。
・\(H = 0\) 　 :(a,b)での極値については不明。

さて例題2 の求めた極値の候補をこの行列式を使って極値か否か判定しみよう。
まず行列式の各成分を求めていく
\(F_{xx}=-2λ \) \(\ ,\ \)\(F_{yy}=-8λ \)
\(F_{xy}=F_{yx}=1\) \(\ ,\ \) \(g_x=2x\) \(\ ,\ \) \(g_y=8y\)

\(F_{xx}=-2λ=-\frac{1}{2}\) \(\ ,\ \)\(F_{yy}=-8λ=-2\)
\(F_{xy}=F_{yx}=1\) \(\ ,\ \) \(g_x=2x=2 \sqrt{2}\) \(\ ,\ \) \(g_y=8y=8\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\)
これを行列式に代入：
\(H= \begin{vmatrix} 0& 2\sqrt{2} & 4\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2}& -\frac{1}{2} & 1\\ 4\sqrt{2}& 1 & -2 \end{vmatrix}\) \(=16+16+16+16=64 \gt 0\) (※)

(※)
\((=(2\sqrt{2} \cdot1 \cdot 4\sqrt{2})\) \(+(4\sqrt{2}\cdot 1 \cdot 2\sqrt{2}) \) \(-(2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot -2)\) \(-(4\sqrt{2} \cdot -\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2}) )\)
解＝極大点である。

\(g_x=2x=2(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\) \(\ ,\ \) \(g_y=8y=8(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-4\sqrt{2}\)
\(H= \begin{vmatrix} 0& -2\sqrt{2} & -4\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2}& -\frac{1}{2} & 1\\ -4\sqrt{2}& 1 & -2 \end{vmatrix}\) \(=16+16+16+16=64 \gt 0\)

解＝極大点である。

\(F_{xx}=-2λ=\frac{1}{2}\) \(\ ,\ \)\(F_{yy}=-8λ=2\)
\(F_{xy}=F_{yx}=1\) \(\ ,\ \) \(g_x=2x=2\sqrt{2}\) \(\ ,\ \) \(g_y=8y=8(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-4\sqrt{2}\)
\(H= \begin{vmatrix} 0& 2\sqrt{2} & -4\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2}& \frac{1}{2} & 1\\ -4\sqrt{2}& 1 & 2 \end{vmatrix}\) \(=-16-16-16-16=-64 \lt 0\)

解＝極小点である。

\(g_x=2x=-2\sqrt{2}\) \(\ ,\ \) \(g_y=8y=8(\frac{\sqrt{2}}{2})=4\sqrt{2}\)
\(H= \begin{vmatrix} 0& -2\sqrt{2} & 4\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2}& \frac{1}{2} & 1\\ 4\sqrt{2}& 1 & 2 \end{vmatrix}\) \(=-16-16-16-16=-64 \lt 0\)

解＝極小点である。
極値点について上記(4)と同じ結果がえられた。

目的関数：\(f=xy\)　但し、\(L=x+y\)とする
制約関数：\(g(x,y)=x+y-L=0\)
を公式❸❹を使うと：
 \(F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)\)\(=xy-λ(x+y-L)\)
 \(F_x=0\) \(\ ,\ \) \(F_y=0\)
これより以下のように解いていく。

\( F_x=y-λ\) \(\ ,\ \) \( F_y=x-λ\)
\(　g_x=1\) \(\ ,\ \) \(　g_y=1\)

式❼を使う

\(\begin{vmatrix} F_{x} & g_{x}\\ F_{y} & g_{y} \end{vmatrix}\) \(=f_x g_y-f_y g_x\)\(=(y-λ)\cdot 1-(x-λ)\dot 1\)\(=y-x=0\)

\(　\therefore y=x　\) …正方形である。
\(y=x=\frac{L}{2}=ℓ\)　とする。
条件式\(g(x,y)\)は楕円の有界閉集合、目的関数\(f(x,y)\) は連続であるから求めた候補に最大値、最大値が存在する。

これを集合の記号を使い次の表し方もある：
\(\{(x,y)|x,y \ge 0,\ g=x+y-L \}\)
の有界閉集合上において連続な関数は\(f=xy\) は最大値/最小値をもつ。

最小値は \(F=0\) は明らかである。 従って
・極点 \((x,y)=(ℓ,ℓ)\)　 ・極大値　\(F_{max}=ℓ^2\)

\(F=xy=x(L-x)\)
\(F'=(x(L-x))'=L-2x\)\(=x+y-2x\)
極値は\(F'=0\)ときだから:
\( \therefore\ y=x\)   ⇒\(=\frac{L}{2}=ℓ\)　　　　

目的関数：\(V=xyh\)　
但し、\(L=x+y+h\)とする
制約関数：\(g(x,y,h)=x+y+h-L\)
から次式が成り立つ
\(F=xyh-λ(x+y+h-L)=0\)
上式を以下に偏微分する。
\( F_x=yh-λ=0\) \(\ ,\ \)　\( F_y=xh-λ=0\)
\( F_h=xy-λ=0\)　\(\ ,\ \)　\(F_λ=x+y+h-L=0\)
\( \ ( \because F_λ=-(x+y+h-L)=0 )\)
\(yh=xh=xy=λ\)
\(\therefore x=y=h　\)　　
各辺の長さ=ℓ とすると　\(ℓ=\frac{1}{3}L\)

\(\{(x,y,h)|x,y,h \ge 0,\ g=x+y+h-L \}\)
の有界閉集合上において、連続な\(V=xyh\) に最大値/最小値が存在する。
最小値は \(V=0\) は明らかである。 従って
・極点 \((x,y,h)=(ℓ,ℓ,ℓ)\)　 ・極大値　\(V_{max}=ℓ^3\) …立方体

高さh を \(h=L-x-y\) とする。
\(V=xyh=xy(L-x-y)\)
V を x と y について偏微分して
\(\pder{V}{x}=0\) \(\ ,\ \) \(\pder{V}{y}=0\)　
を満足する \(x,y\) が答えである。
\(V_x=Ly-2xy-y^2\):ⓐ　 \(\ ,\ \) \(V_y=Lx-2xy-x^2\):ⓑ
ⓐ-ⓑ=0:
\(Ly-Lx-x^2-y^2\)\(=L(y-x)-(y-x)^2\)\(=(y-x)(L-(y-x))\)
\(\therefore y=x\)   これをⓐに代入すると:
ⓐ\(=y(L-2x-y)=x(L-3x)=0\)
\(L=x+y+h=2x+h=3x\)
\(\therefore y=x=h\) …立方体