楽しく学ぶ…解析力学
ネーターの定理 (2) 無限少変換の生成子
随分と難しい話になってきた。
無限少変換の生成子 ハミルトニアンの母関数がようやく登場。
恒等変換 \((identity\;transformation)\)
\((q,p)\to (Q,P)~\)という正準変換を行う時, ラグラジアンに時間の全微分を加えても, 作用積分の変分(運動方程式)は不変である。そこで
\[\begin{align}
L&=\dot{q}p-H(q,p) \\
&=\dot{Q}P-H(Q,P)+\frac{dG}{dt}
\end{align} \]
と書いて, \(G~\)を正準変換の
母関数と呼ぶのであった。上式で\(~dt~\)を払えば
\[dG=(pdq-PdQ)-(H(q,p)-H(Q,P))dt\tag{1} \]
が得られ, これと\(~G~\)の全微分
\[dG=\dd{G}{q}dq+\dd{G}{Q}dQ+\dd{G}{t}dt \]
を比較すれば,
\[p=\dd{G}{q},\quad P=-\dd{G}{Q},\quad H(Q,P)=H(q,p)+\dd{G}{t}\tag{2} \]
が得られる。
\(G~\)の独立変数は\(~G(q,Q,t)~\)であったが, \((q,P,t)~\)を独立変数とする母関数を考える。\(Q~\)と\(~P~\)の入れ替えだからルジャンドル変換して,
\[W(q,P,t)=G(q,Q,t)-\dd{G}{Q}Q=G+PQ \]
途中(2)式\(~P=-\partial G/\partial Q~\)を用いた。(1)式の\(~dG~\)を用いると,
\[\begin{align}
dW&=dG+PdQ+QdP \\
&=(pdq-\cancel{PdQ})-(H(q,p)-H(Q,P))dt+\cancel{PdQ}+QdP \\
&=pdq+QdP-(H(q,p)-H(Q,P))dt
\end{align} \]
となる。(ついでだが, 上式からも\(~G(q,Q,t)~\)とすると都合の良い理由が分かる)。これと\(~W(q,P)~\)の全微分
\[dW=\dd{W}{q}dq+\dd{W}{P}dp+\dd{W}{t} \]
を比較して
\[p=\dd{W}{q},\quad Q=\dd{W}{P},\quad H(Q,P)=H(q,p)+\dd{W}{t}\tag{3} \]
を得る。(3)式は独立変数が\(~(q,P,t)~\)の任意の母関数\(~W(q,P,t)~\)について成り立つ。ここで特殊であるが\(~W_{id}=qP~\)とすると,
\[p=\dd{W_{id}}{q}=P,\quad Q=\dd{W_{id}}{P}=q,\quad H(Q,P)=H(q,p) \]
であり何も変わらないから, これは
恒等変換\(~(identity\;transformation)~\)を表す。
無限小変換の生成子
\(\varepsilon~\)を微少パラメーターとして, 恒等変換と少しだけ異なる微少正準変換
\[W=qP+\varepsilon \mathcal{G}(q,P) \tag{4}\]
を考える。このような\(~\mathcal{G}~\)を
無限小変換の生成子(\(~generator~\))と呼ぶ。
(3)式\(~Q=\partial W/\partial P~\)より
\[\begin{align}
Q=\dd{W}{P}&=\dd{}{P}(qP+\varepsilon \mathcal{G}(q,P)) \\
&=q+\varepsilon\dd{}{P}\mathcal{G(q,P)} \\
&\simeq q +\varepsilon\dd{}{p}\mathcal{G(q,p)}+O(\varepsilon^2)
\end{align} \]
１行目で, 最初の\(~Q=\partial W/\partial P~\)は独立変数が\(~(q,P,t)~\)の任意の母関数\(~W(q,P,t)~\)について成り立つ式,
次の\(~\partial W/\partial P=\partial/\partial P(\cdots)~\)は
\[W=qP+\varepsilon \mathcal{G}(q,P) \]
に適用した式である。\(~G,W,W_{id},\mathcal{G}~\)が混じって出てくるので, くどいようだが説明を加えた。
最後の行は\(~P=p-O(\varepsilon)~\)を使って\(~\mathcal{G(q,P)}\to \mathcal{G(q,p)}+O(\varepsilon^2)~\)とした(詳細略.)。最終的には全て\(~(q,p)~\)で表したいからである。
また(3)式\(~p=\partial W/\partial q~\)より
\[\begin{align}
p=\dd{W}{q}&=\dd{}{q}(qP+\varepsilon \mathcal{G}(q,P)) \\
&=P+\varepsilon\dd{}{q}\mathcal{G(q,P)}\\
&\simeq P +\varepsilon\dd{}{q}\mathcal{G(q,p)}+O(\varepsilon^2)
\end{align} \]
無限少正準変換\(~W=qP+\varepsilon \mathcal{G}(q,p)~\)の各変数の関係を改めて書くと(\(~\mathcal{G}~\)の変数が変わっていることに注意),
\[Q=q+\varepsilon\dd{\mathcal{G}}{p},\quad P=p-\varepsilon\dd{G}{q}\tag{5} \]
のようになる。
ネーターの定理 これがエミー・ネーターの証明法か？
(1) 空間併進
無限小変換の生成子\(~\mathcal{G}~\)を\(~P~\)(運動量)とおいてみよう。このときの正準変換の母関数は
\[W=qP+\varepsilon P \]
となる。(3)式\(~Q=\partial W/\partial P~\)より
\[Q=\dd{W}{P}=\dd{}{P}(qP+\varepsilon P)=q+\varepsilon \]
空間併進\(~q\to Q=q+\varepsilon~\)を生成する母関数は\(~W=qP+\varepsilon P~\)である。すなわち
空間併進の生成子は運動量である。
(2) 空間回転
今度は生成子\(~\mathcal{G}~\)を軌道角運動量\(~\Vec L(L_1,L_2,L_3)=\bm{r}(x_1,x_2,x_3)\x \bm{P}(P_1,P_2,P_3)~\)の\(~z~\)成分
\[L_3=x_1P_2-x_2P_1\]
とおいてみよう。このときの正準変換の母関数は
\[W=x_1P_1+x_2P_2+\varepsilon(x_1P_2-x_2P_1) \]
である。ここが納得いかない読者は, 先ず母関数を上式のように置いて, それが空間回転を表していることを確かめよ。
(3)式\(~Q=\partial W/\partial P~\)より
\[\begin{align}
Q_1&=\dd{W}{P_1}=\dd{}{P_1}(x_1P_1+\cancel{x_2P_2}+\varepsilon(\cancel{x_1P_2}-x_2P_1))=x_1-\varepsilon x_2 \\
Q_2&=\dd{W}{P_2}=\dd{}{P_2}(\cancel{x_1P_1}+x_2P_2+\varepsilon(x_1P_2-\cancel{x_2P_1}))=x_2+\varepsilon x_1
\end{align} \]
ところで\(~xy~\)平面を\(~z~\)軸の周りに\(~\varepsilon~\)だけ回転させると,
\[\left\{
\begin{array}{l}
x'=xcos\varepsilon-ysin\varepsilon\cong x-\varepsilon y \\
y'=xsin\varepsilon+ycos\varepsilon\cong y+\varepsilon x \\
z'=z
\end{array}
\right.\]
であった。つまり生成子\(~\mathcal{G}=L_3=x_1P_2-x_2P_1~\), 母関数\(~W=x_1P_1+x_2P_2+\varepsilon(x_1P_2-x_2P_1)~\)による正準変換は\(~x_1x_2~\)平面における微少回転を表す。
空間回転の生成子は角運動量である。
(3) 時間併進
時間が\(~\varepsilon~\)だけ経過したとき, 座標の\(~q~\)の変化は,
\[q(t+\varepsilon)-q(t)=\varepsilon \dot{q}=\varepsilon\dd{H}{p}\tag{6} \]
である。最初の等号は距離=時間×速度, 2番目の等号は正準方程式\(~\dot{q}=\partial H/\partial p~\)である。
(5)式の最初の式で\(~\mathcal{G}=H~\)と置いてみると
\[Q(t+\varepsilon)=q(t)+\varepsilon\dd{H}{p} \]
となるが, これは(6)式と同じく, 時間併進\(~t\to T=t+\varepsilon~\)を表している。同様にして,
\[p(t+\varepsilon)-p(t)=\varepsilon \dot{p}=-\varepsilon\dd{H}{q}\tag{7} \]
(5)式の２番目の式で\(~\mathcal{G}=H~\)と置いてみると
\[P(t+\varepsilon)=p(t)-\varepsilon\dd{H}{p} \]
となり, (7)式と同じ結果を得る。以上より
時間併進の生成子はハミルトニアンである。
