楽しく学ぶ…解析力学
正準変換と母関数 座標変換を一般化
一般化座標では座標変換は自由だったが, 正準座標でも同様に変換可能だろうか？
正準変換と母関数
静止を, 力の釣り合いからポテンシャル極小へ変えることにより, 座標は原点からの距離のみではなくともよくなった。
変分原理は一般化座標に同じ方程式を与える。これをラグランジュの方程式は座標変換に対して共変であると言った。専門用語ではラグランジュ方程式は点変換に対して共変と呼ぶ。
一般化座標と一般化運動量の組み合わせである正準座標の場合も同じように自由に変換できるのであろうか？
また教科書では母関数についての説明が必ず出てくる。応用例も示されてはいるが, 有用性が今ひとつ分からない。当記事では後のほうになるがネーターの定理の証明で用いた。なお量子力学に最も近い古典力学といわれる「ハミルトン・ヤコビの方程式」の導出にも登場する。
ハミルトンの方程式での変数変換 ラグランジュの方程式と同様な変換が可能か？
解析力学が便利で実際に使われるのは, 様々な座標に対してラグランジュの運動方程式が同じ形(共変)だからである。
造物主の意志にかなった聖典的な理論形式(モーペルテュイ)であるハミルトンの(正準)方程式でも, 同様に様々な変数(座標と運動量)に対して共変となることができるのであろうか？
変数\(~(q,p)~\)における正準方程式は
\[\dot{q}=\dd{H}{p},\quad \dot{p}=-\dd{H}{q} \]
である。いま変数が\(~(q,p)\to (Q,P)~\)へと変わったとき, すなわち
\[Q=Q(q,p),\quad P=P(q,p) \]
のときにどのようになるか調べてみよう。先ず\(~\dot{q},\dot{p}~\)を計算する。\(q,p~\)は\(~Q,P~\)の関数でもあるわけだから。
\[\begin{align}
\dot{q}&=\dd{H}{p}=\dd{H(Q(q,p),P(q,p))}{p} \\
&=\dd{H}{Q}\dd{Q}{p}+\dd{H}{P}\dd{P}{p} \\
\dot{p}&=-\dd{H}{q}=-\dd{H(Q(q,p),P(q,p))}{q} \\
&=-\dd{H}{Q}\dd{Q}{q}-\dd{H}{P}\dd{P}{q} \\
\end{align} \]
\(\dot{Q}~\)は上記\(~\dot{q},\dot{p}~\)を使って
\[\begin{align}
\dot{Q}&=\frac{d}{dt}Q(q,p) \\
&=\dd{Q}{q}\dot{q}+\dd{Q}{p}\dot{p}\\
&=\dd{Q}{q}\left(\cancel{\dd{H}{Q}\dd{Q}{p}}+\dd{H}{P}\dd{P}{p}\right)-\dd{Q}{p}\left(\cancel{\dd{H}{Q}\dd{Q}{q}}+\dd{H}{P}\dd{P}{q}\right)\\
&=\dd{H}{P}\left(\dd{Q}{q}\dd{P}{p}-\dd{Q}{p}\dd{P}{q}\right)
\end{align} \]
となる。同様にして,\(\dot{P}~\)を得る。\(\dot{Q}~\)を並べて書くと,
\[\begin{align}
\dot{Q}&=\dd{H}{P}\left(\dd{Q}{q}\dd{P}{p}-\dd{Q}{p}\dd{P}{q}\right) \\
\dot{P}&=-\dd{H}{Q}\left(\dd{Q}{q}\dd{P}{p}-\dd{Q}{p}\dd{P}{q}\right)
\end{align} \]
つまり,
\[\dd{Q}{q}\dd{P}{p}-\dd{Q}{p}\dd{P}{q}=1 \]
のとき, 座標変換後の\(~\dot{Q},\dot{P}~\)も正準方程式を満たすことになる。行列様式で書けば,
\[\begin{vmatrix}
\partial_qQ & \partial_pQ \\
\partial_qP & \partial_pP \\
\end{vmatrix}=1 \]
これは変換\(~(q,p)\to (Q,P)~\)のヤコビアンである。
運動量が混じった位相空間に於ける変換は何でも良いというわけではなく, \(~(q,p)\to (Q,P)~\)変換のヤコビアンが１という制限が付く。
このような変換を
正準変換と呼ぶ。
逆に言えば, 正準変換とは位相空間において, 変換のヤコビアンが１となるような変換で, 変換後もハミルトンの正準方程式が成り立つ。
母関数 変換を生み出す関数
\((q,p)\to(Q,P)~\)を先に決めなくとも, 正準変換する関数を見つけることができる。
\((q,p)\to (Q,P)~\)という正準変換を行った時, 作用も
\[\int\left(p\dot{q}-H(q,p)\right)dt \to \int\left(P\dot{Q}-H(q(Q,P),p(Q,P))\right)dt \]
と変化する。
正準方程式は作用が低留値を取る条件から導かれたが, 上式においても, \((q,p)\to (Q,P)~\)のヤコビアンが１の時は, 変換後の\(~H(Q,P)~\)も正準方程式を満たすのであった。
上式２つのラグラジアン(被積分項)が等しければ, 上式の矢印は等号になるが, この２つのラグラジアンが同じであることはあり得ない。
ではどういう場合に等号が成り立つのであろうか？それは, \((q,p)\to (Q,P)~\)と変換した時のラグラジアンが
\[p\dot{q}-H(q,p)=P\dot{Q}-H(q(Q,P),p(Q,P))+\frac{dG}{dt} \]
の関係を満たすときであり, いわゆる「表面項」が付け加えられた場合である。付け加えた項を積分しても
\[\int_{t_1}^{t_2}\frac{dG}{\cancel{dt}}\cancel{dt}=G(t_2)-G(t_1) \]
は両端\(~t_1~\)と\(~t_2~\)だけで値が決まってしまい, 位相空間のどんな経路を辿ったかには全く依存せず、変分の停留性とは無関係だからである。
\(G~\)を正準変換の
母関数\(~(Genarating\;function)~\)と呼ぶ(解析力学 前野昌弘)。なお教科書の多くは母関数を\(~W~\)と記してある。
独立変数の組合わせは４通りがあるが, \(G(q,Q,t)~\)は最も基本的な組み合わせであり, 独立変数を変えるときは\(~G~\)をルジャンドル変換して求める。上述の書ではそれを\(~W~\)で記述してある。
正準変換と独立変数
正準変換前後のハミルトニアンを改めて書くと,
\[\begin{align}
L&=\dot{q}p-H(q,p) \\
&=\dot{Q}P-H(Q,P)+\frac{dG}{dt}
\end{align} \]
\[(\dot{q}p-H(q,p))-(\dot{Q}P-H(Q,P))=\frac{dG}{dt} \]
\(~dt~\)を払えば
\[dG=(pdq-PdQ)-(H(q,p)-H(Q,P))dt \]
これと\(~G~\)の全微分
\[dG=\dd{G}{q}dq+\dd{G}{Q}dQ+\dd{G}{t}dt \]
を比較して
\[p=\dd{G}{q},\quad P=-\dd{G}{Q},\quad H(Q,P)=H(q,p)+\dd{G}{t}\tag{1} \]
を得る。母関数(一つとは限らない)の中でも\(~G(q,Q,t)~\)が最も扱いやすいのは分かるだろうか？
なお(1)式は今後よく出てくるので覚えておこう。
位相空間面で\(~\theta~\)回転させる これでも分かり易いとは言えないが, 実例があった方が良いだろう。
\(p~\)と\(~q~\)を(位相空間内で)\(~\theta~\)だけ回転させる変換は
\[\begin{align}
Q&=qcos\theta + psin\theta \\
P&=-qsin\theta+pcos\theta
\end{align} \]
である。行列で書けば
\[
\begin{pmatrix}
Q \\
P
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
cos\theta & sin\theta \\
-sin\theta & cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q \\
p
\end{pmatrix}
\]
である。先ずこれが正準変換になっているかどうかを確かめよう。変換のヤコビアンは,
\[\dd{Q}{q}\dd{P}{p}-\dd{Q}{p}\dd{P}{q}=cos^2\theta+sin^2\theta=1 \]
であるから, 確かに\(~(q,p)\to (Q,P)~\)は正準変換である。この母関数を求めてみよう。計算すべきは\(~p\dot{q}~\)と\(~P\dot{Q}~\)である。
\[\begin{align}
P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}&=p\dot{q} \\
(-qsin\theta+pcos\theta)(\dot{q}cos\theta+\dot{p}sin\theta)+\frac{dG}{dt}&=p\dot{q} \\
(p\dot{p}-q\dot{q})cos\theta sin\theta-p\dot{q}(1-cos^2\theta)-q\dot{p}sin^2\theta+\frac{dG}{dt}&=0 \\
\frac{1}{2}\frac{d(p^2-q^2)}{dt}cos\theta sin\theta-\frac{d(pq)}{dt}sin^2\theta+\frac{dG}{dt}&=0
\end{align} \]
であるから,
\[G=-\frac{1}{2}(p^2-q^2)cos\theta sin\theta+pqsin^2\theta \]
が求まる。先ほどのことで, 作用が（表面項を除いて）不変となる。
