オイラーの等式：
\( e^{i π}+ 1 ＝ 0 \)
【参考図書】Newton 「数学のせかい 教養編」
この式には「いわくありげ」な不思議な数が集まっています、まず、その演算結果が0（ゼロ）です。
0 は足し算/引き算では影響しない数。
1 はかけ算/割り算では影響しない数。
\(π\ \)は 3.14159 …の無限小数
\(e\ \)は 2.71828 …の無限小数
\(e^x\) は何回微分しても変わらない。（\(e^x\)のまま）
上の簡単な式により、虚数を通して、このような複雑な、「いわくありげ」な数の演算結果が0（ゼロ）になる。
虚数も長年否定されきた、２乗するとマイナスになる数。
英語ではimaginary number である。
0（ゼロ）も過去に長年、数字として認められなかった歴史があります。
この式は次のオイラーの公式を使い証明します。
オイラーの公式：
\( e^{iθ}=cos\ θ+i\ sin\ θ\ \)
この公式をそのまま受け入れて:
この式に
\( θ=π \)
を代入する。
\( e^{iπ}=cos\ π+ i\ sin\ π\) \(=-1+i\x 0=-1\ \)
\( \therefore e^{i π}+ 1 ＝ 0 \)
…証明終わり。
ネイピア数は次の無限級数 (式①または式②) を展開すれば求まります。
ネイピア数の定義式
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \pm \infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n \)
\(:①\)
\(e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\)\(=2.71828\cdots\)
最初に見出したのはベルヌーイであり,複利計算のためだった。
ネイピア数の最古の文献は,1618年,対数の研究にネイピアが発表した。
微分積分学での定義は:
\(e=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\)
\(:②\)
