ここでは面積分に進む前の準備として面積ベクトル、面素ベクトル、面素などについて学びます。

 fig1のように平面\(π\) に閉曲線C(ここではAｘBの平行四辺形) で囲まれた面積が\(S\)の平面の図形 があるとします。
・この平面\(π\) に垂直で紙面のうらから表に向かう線を法線という。
・法線と同じ向きの単位ベクトルを単位法線ベクトル \(\bv{n}\)という。
ここで大きさが面積\(S\) と同じで\(n\) 方向にあるベクトルを 面積ベクトル \(\bv{S}\)といいます。
イメージとして、あるベクトル\(\bv{S}\)の存在が前提、そして単位法線ベクトル\(\bv{n}\)、その後に 面積ベクトル\(\bv{S}\)が登場します。
　　　（\(|\bv{S}|=S=|\bv{A}|\x |\bv{B}|sinθ\))

 \(\bv{S}=\bv{n}S\) \(\ \scriptsize {:❶-1}\)
また面積ベクトルはベクトル AとBの外積でもある。
 \(\bv{S}=\bv{A} \x \bv{B}\)
fig1の回転方向にともなう右ねじの方向に進む方向が正の方向です。

 ベクトルFの成分をx,y,z の3軸成分に分けること考える。
Fがx,y,z の3軸となす角をそれぞれα,β,γ として、F の各座標軸の正写像 \(F_x,F_y,F_z\)がベクトルFの成分です。
 \(F_x=Fcosα\) \(\ ,\ \) \(F_y=Fcosβ\) \(\ ,\ \) \(F_z=Fcosγ\)
すなわち
 \(\bv{F}=(Fcosα,Fcosβ,Fcosγ)\)　 \(\ \scriptsize {:❷-１}\)
次にベクトル\(\bv{F}\) の大きさのみを1に変換(正規化)した単位ベクトル\(\bv{f}\):
 \(\bv{f}=\dsfr{F}{|\bv{F}|}\)
このベクトル\(\bv{f}\)の成分は:
大きさが1 だから次のように簡単表示できる
  \( \bv{f}=(\ul{cosα}, \quad \ul{cosβ} ,\quad \ul{cosγ}) \)　\(\ \scriptsize {:❷-2}\)
このベクトル成分表示の各項を方向余弦といいます。
同様にして単位法線ベクトル\(\bv{n}\)の 方向余弦は以下です。
 \(\bv{ｎ}=(cosα,cosβ,cosγ)\)　\(\ \scriptsize {:❷-3}\)

次に面積ベクトル\(\bv{S}\)を 方向余弦 により表わします。

・これは面積ベクトルの３面(xyz座標軸が作る面)への正写像です。
・fig1 は Sのx-y平面への写像した例です。

 \(\bv{S}=(Scosα, Scosβ,Scosγ)\)　\(\ \scriptsize {:❷-4}\)
\(\bv{S}\)を大きさ1 に変換(正規化)した単位ベクトル\(\bv{s}\)にすれば
 \(\bv{s}=(cosα,cosβ,cosγ)\)　\(\ \scriptsize {:❷-5}\)
と簡易表示できますね。

 直交座標の空間内の曲線の点を動点である位置ベクトル\(\bv{r}(t)\)を用いて表してみます。
この位置ベクトルが座標原点\(O\) を起点として媒介変数の変化に応じて \(\bv{r}(t)\)が変化して曲線を描きます。
\(\qquad \)\(\bv{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\)
次の微分を考える：

\(\dsfr{dr(t)}{dt}\)\(=r'(t)\)\(=\displaystyle \lim_{Δt \to 0} \dsfr{r(t+Δt)-r(t)}{Δt}\)

これは曲線上のある点\(P_n\)の接線ベクトルです。

曲線のある点の近似は接線です。
曲線のある範囲(長さ)においてその分割数n を無限に大きくして、Δtを無限に小さく \(Δt \to 0\) の極限の次式 は曲線の長さを与える。

曲線の長さ \(ℓ\)
\(\qquad\) \(ℓ=\dsi_{a}^{b} \sqrt{(\dsfr{dx}{dt})^2+(\dsfr{dy}{dt})^2+(\dsfr{dz}{dt})^2}\ dt\) \(\ \scriptsize {:❸-1}\)
 ☞ 曲線の長さの【参照先】

 曲面上のある点Pの微小片の接平面はその曲面を近似しています。
そして微小部における点Pの2つ接線ベクトルが張るのが接平面です。
この微小面積の領域における接平面の総和が求める面積になります。

 直交座標の3次元空間における曲面の点P の位置ベクトル\(\bv{r}\) を媒介変数u,ｖ を使い表します。
 \(\bv{r}=\bv{r}(u,v)\)

(直交座標成分表示では： \(\bv{r}=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) )

曲面の面積は次式で与えられる

\(S＝\dsii_S \underline{dS}\) \(=\dsii_D \underline{ |\pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} | \ dudv } \) \(\ \scriptsize {:❹-1}\)

\(dS=|\dspder{r}{u} \x \dspder{r}{v}|dudv \) \(\ \scriptsize {:❹-2}\)

\(dS(\Delta S)\)は後述しますが、面素または面要素,面積素などという。

 fig2の平行四辺形の「各点の座標」,「ベクトルB,C」,領域Dの「面積S」 の順に求めていきます。
\(\quad \scriptsize{点Pを起点にして反時計回りで記載}\)

\(r(u,v)\) \(\ , \) \(r(u+Δ,v)\) \(\ , \) \(r(u+Δu,v+Δv)\) \(\ , \) \(r(u,v+Δv)\)
\(\bv{B}=r(u+Δu,v)-r(u,v)\) \(\ , \) \(\bv{C}=r(u,v+Δv)-r(u,v)\)

次のようにして面積を求める

\(ΔS=|\bv{B}\x \bv{C}|\) \(=|[r(u+Δu,v)-r(u,v)] \times [r(u,v+Δv)-r(u,v)]| \)
\(=|\dsfr{r(u+Δu,v)-r(u,v)} {\color{blue}{Δu}}\) \(\times \dsfr{r(u,v+Δv)-r(u,v)} {\color{blue}{Δv}}|\color{blue}{ΔuΔv}\)
\(Δu,Δv \to 0\) にして:
\(=|\pder{r}{u} \x \pder{r}{v}|dudv \)
\(\therefore dS=|\dspder{r}{u} \x \dspder{r}{v}|dudv \) \(\ \scriptsize {(❹-2)}\)

よって

\(S＝\dsii_S \underline{dS}\) \(=\dsii_D \underline{ |\pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} | \ dudv } \) \(\ \scriptsize {(❹-1)}\)

 図の面素\(dS,\Delta S\)(※1)を構成する接線ベクトル \(\bv{\bv{B}},\bv{\bv{C}}\) は:

\(\bv{B}=\dspder{\bv{r}}{u}\Delta u\) \(,\quad \) \(\bv{\bv{C}}=\dspder{\bv{r}}{v}\Delta v\)
 (偏微分の項はベクトルの傾き)
\(\Delta S=|\bv{B} \x \bv{C}|\)\(=|\dspder{r}{u}\Delta u \x \dspder{r}{v}\Delta v|\) \(=|\dspder{r}{u} \x \dspder{r}{v}|\Delta u \Delta v\) (※1)

\(\Delta u\)\(,\) \(\Delta v\) を 0 に近付けると：
\(dS=|\dspder{r}{u} \x \dspder{r}{v}|du dv\)
これより

\(S＝\dsii_S \underline{dS}\) \(=\dsii_D \underline{ |\pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} | \ dudv } \) \(\ \scriptsize {(:❹-1)}\)

導出(1)より簡潔に導き出せましたね。
この導出には次を前提にしてます。

(※1)外積の性質から\(\Delta u\ \Delta v \) は正のスカラーだから絶対値の外に出せる。
外積の結合法則 \(k\bv{A}\x \bv{B}=k(\bv{A}\x\ \bv{B})\)(\(k\):スカラー)

•接ベクトルが張る接平面の単位法線ベクトル

\(\bv{n}=\dsfr{1} {| \pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} |} \pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} \) \(\ \scriptsize{❹-3}\)

•曲面\(r=(x,y,z(x,y))\)として
　\(r_x=\pder{r}{x},r_y=\pder{r}{y},r_z=\pder{r}{z}\)とする。
　曲線の勾配はその面に対して垂直だから：

•方向余弦から\(前項の(\scriptsize {❷-3}と同じ)\)

\(\bv{ｎ}=(cosα,cosβ,cosγ)\)　\(\ \scriptsize {:❷-3}\)

 曲面は\(z(x,y)\), 位置ベクトルは\(\bv{r}=(x,y,z(x,y)) \)のとき面積分は下式で与えられる。

\(S＝\dsii_S dS\) \(=\dsii_D \sqrt{(\pder{z}{x})^2+ (\pder{z}{y})^2 + 1\ }\ dxdy\) \(\ \scriptsize {:❺-1}\)

曲面表示\(r(u,v) \to z(x,y)\) に変えて：
\( |\pder{\bv{r}}{x} \x \pder{\bv{r}}{ｙ} | \ dxdy \)を求める。
\(\quad\) \(\bv{r}=(x,y,z(x,y))\)
\(z_x=\pder{z}{x}\),\(z_y=\pder{z}{y}\)
\(\quad\) \(\pder{\bv{r}}{x}=(1,0,z_x)\)
\(\quad\) \(\pder{\bv{r}}{y}=(0,1,z_y)\)

\(\pder{\bv{r}}{x} \x \pder{\bv{r}}{y}\) \(=\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ z_x \end{array} \right) \) \( \x \) \( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ Z_y \end{array} \right) \) \(=\left( \begin{array}{c} -z_x\\ -z_y\\ 1 \end{array} \right) \)
\(\therefore\) \(|\pder{\bv{r}}{x} \x \pder{\bv{r}}{y}|\)\(=\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}\)
\(　\dsii_S dS\) \(=\dsii_D \sqrt{(\pder{z}{x})^2+ (\pder{z}{y})^2 + 1\ }\ dxdy\) \(\ \scriptsize {(❺-1)}\)

下式の左辺 \(\bv{dS}\) を面素ベクトルといいます。
 \(\bv{dS}=\bv{n} dS\) \(\ \scriptsize {:❻-1}\)
\(\scriptsize {❹-2、❹-4}\)から

曲面:\(\bv{r}=(u,v)\)として:
\(\bv{dS}=\bv{n} dS\) \(=\dsfr{ \pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} } {| \pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} |} \) \(|\dspder{r}{u} \x \dspder{p}{v}|du dv\) \(=\pder{\bv{r}}{u} \x \pder{\bv{r}}{v} du dv\)　\(\ \scriptsize {:❻-2}\)

 法線ベクトル\(\bv{n}\),面素ベクトル\(\bv{dS}\)にも上述の「ベクトルの方向余弦」があります。
面素ベクトル\(\bv{dS}\)は法線ベクトル\(\bv{n}\)と同じ方向を向いている。
法線ベクトル\(\bv{n}\)がx,y,z の3軸となす角をそれぞれα,β,γ とすると、 \(\bv{n}\)は方向余弦により表せる。

\(\bv{n}=(cosα,sinβ,sinγ)\)　 \(( \scriptsize {❷-１より})\)
\(\bv{dS}=\bv{n} dS\)\(=(cosα,cosβ,cosγ)dS\)\(=(cosα dS ,cosβ dS,cosγ dS)\)
\(\bv{dS}\)の成分は次の座標軸平面に分かれ(左から) y-z軸平面,z-x軸平面,x-y軸平面に正写像される。
（ \(\bv{dS}\) は微小な平行四辺形、その写像も\(n\)と同様である。）
\(\therefore \) \(\bv{dS}=(\underbrace{cosα dS}_{yz写像} ,\underbrace{cosβ dS}_{zx写像},\underbrace{cosγ dS}_{xy写像})\)
余弦(cos)の負となる対応のため絶対値がつく
\(dydz=|cosα|dS\)\(, \ \) \(dzdx=|cosβ| dS\)\(, \ \) \(dxdy=|cosγ| dS\) \(\ \scriptsize {:❻-3}\)
\(\bv{dS}=( \pm cosα dS, \pm cosβ dS, \pm cosγ dS )\) \(=( \pm dydz, \pm dzdx, \pm dxdy)\)　\(\ \scriptsize {:❻-4}\)　　
dydz, dzdx, dxdy は面素ｄSの成分です　
ここでは媒介変数u,v を使うのでヤコビアン\(J\)により変数変換します。
 ☞ ヤコビアンの【参照先】
\(dxdy=J_{xy}\ dudv=\left|\dspder{(x,y)}{(u,v)} \right|dudv\)【※】
\(dydz=J_{yz}\ dudv=\left|\dspder{(y,z)}{(u,v)} \right|dudv\)
\(dzdx=J_{zx}\ dudv=\left|\dspder{(z,x)}{(u,v)} \right|dudv\)
　\(\cdots \cdots \scriptsize {:❻-5}\)

ヤコビアンの例:\(J_{xy}\)【※】
\(J_{xy}=\pder{(x,y)}{(u,v)}\) \(= \begin{vmatrix} \pder{x}{u} & \pder{x}{v} \\ \pder{y}{u} & \pder{y}{v} \end{vmatrix} \) \(=\pder{x}{u}\pder{y}{v} - \pder{x}{v} \pder{y}{u}\)

\(\bv{dS}=( \pm dydz, \pm dzdx, \pm dxdy)\) \(=( J_{yz} dudv, J_{zx} dudv, J_{xy} dudv)\) \(\ \scriptsize {:❻-6}\)　　
　

最後に面素をまとめてみます。
式❹-2では:

曲面:\(\bv{r}=(u,v)\)として:
\(dS=|\dspder{r}{u} \x \dspder{r}{v}|du dv\)\(\ \scriptsize {(❹-2)}\)

式❺-1では

曲面:\(z(x,y)\), \(\bv{r}=(x,y,z(x,y)) \)として
\(dS=\sqrt{(\pder{z}{x})^2+ (\pder{z}{y})^2 + 1\ }\ dxdy\) \(\ \scriptsize {(❺-1)}\)

別表示すると
\(dS=|\dspder{r}{x} \x \dspder{r}{y}|dx dy\) \(\ \scriptsize {(❺-1')}\)

式❻-3 を変形して

\(dydz=|cosα|dS\)\(, \ \) \(dzdx=|cosβ| dS\)\(, \ \) \(dxdy=|cosγ| dS\)
\(dS=\dsfr{1}{|cosα|}dydz\)\(=\dsfr{1}{|cosβ|}dzdx\)\(=\dsfr{1}{|cosγ|}dxdy\) \(\ \scriptsize {:❼-1}\)