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湘南理工学舎

 楽しく学ぶ…初歩の数学

   数列の和(2)

(sequence sum)

 --目 次--
\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2\)の証明
\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 \)の証明
\( \ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1} \)の証明
これまで数列の和について学んできましたが、最後にシグマ計算の公式の証明して、数列を終わりにします。
忙しい人はここはパスしてもいいです。
シグマ計算の公式の証明なので「数列の和」を使うことになります。
(1)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)

証明にある数式を使い、階差数列の和と同じように図式に展開します。
ある式とは以下の2つ、どちらか1つ使います。ここでは2番目の式❶を使います。
 \( (K+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1 \)

 \(\underline{ k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1 }\) ❶


突然 この式が登場しますが、この式により以下のようにして公式を導き出すことができます。

図式(縦形足し算)のように式❶ の\(k\) に n, n - 1, n - 2 , … 3 , 2 , 1 と順に代入して合計をとります。
・例えば最上位にある \(-(n-1)^3\) に対し、 下の段には\(+(n-1)^3\) がある。
・足し算により、この2つはキャンセルされて抹消できる。
\( \require{cancel}\ \begin{array}{cccccc} n^3 &-&\cancel{(n-1)^3}&=&3n^3-3n+1\\ \cancel{(n-1)^3}&-&\cancel{(n-2)^3}&=&3(n-1)^3-3(n-1)+1\\ \cancel{(n-2)^3}&-&\cancel{(n-3)^3}&=&3(n-2)^3-3(n-2)+1\\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \cancel{3^3} &-&\cancel{2^3} &=&3\times3^3-3\times3+1\\ \cancel{2^3} &-&\cancel{1^3} &=&3\times2^3-3\times2+1\\ \cancel{1^3} &-&0^3 &=&3\times1^3-3\times1+1\\ \hline n^2 & & & = & 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2- 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \end{array} \)
左辺は各項がキャンセルしあって残りるは \(\ n^2\ \)のみです。
右辺はきれいに(3つの)∑項に分かれました。
よって最下段の合計は:
\( n^3=3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2- 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)

となります。 下記のようにして式変形して\( k^2 \)の和が求まります。
  \( 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2=n^3+3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)

\(=n^3+3\times \frac{1}{2}n(n+1)-n \)

\(= \frac{1}{2} \{2n^3+3n(n+1)-2n\} \)

\(= \frac{1}{2} \{2n^3+3n+1)n\} \)

\(= \frac{1}{2}(2n+1)(n+1)n\)

\( \therefore \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)


(2) \(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \)

\( k^3 \)は\( k^2\)と同様な方法で証明できます。
使う式は:
 \( (K+1)^4-k^4 = 4k^3+6k^2+4k+1 \)

前記の\( k^2\)と同様に\(K\) に n, n-1, n-2 … 3, 2, 1 と順に代入して合計をとります。
今回、図式は省略しますが、合計(縦形の足し算の結果)は下式となります。
\( (n+1)^4-1^4= \underline{ 4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^3 } +6 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2\) \( +4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)

この式を次のように展開していきます。

\( \underline{4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^3 } =(n+1)^4-1^4 -6 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2\) \(-4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k - \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)

\(= \{(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-1\}\) \(- 6\{ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\}\)

\(= (n^4+4n^3+6n^2+4n)\) \(- 6\{ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\}\) \(-4\{\frac{1}{2}n(n+1)\}-\{n\} \)

\(= (n^4+4n^3+6n^2+4n) \) \(-(2n^3+3n^2+n) \) \(-(2n^2+2n)\)\(-n\)

\(=n^4+2n^3+n^2\)\(=n^2(n^2+2n+1)\) \(=n^2(n+1)^2\)

これより以下に公式が導出できます。

\( \therefore \underline{ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^3 } =\left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \)


(3) \( \ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1} = \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \ \ (r \neq 1) \)

この式は等比数列の和の式から導出できます。
ここ\(\Rightarrow\)【数列の和-等比数列】を参照して下さい。


coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした

証明に使用した式:
\( k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1 \) ❶

なぜ突然この式が出てきたかと考え、疑問に思う人がいるかもしれません。
式❶はたんなる3次式です。
証明のために「でてくる・うまく当てはめられる・適用される」式があります。
様々な場面で同様なことがあります。
これは偉大な先人達が苦労して、導き出した成果です。
これはそのまま受け入れて、私たちは先を進みましょう!
人生は有限です。