左辺は各項がキャンセルしあって残りるは \(\ n^2\ \)のみです。
右辺はきれいに（３つの）∑項に分かれました。
よって最下段の合計は：
\( n^3=3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2- 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)
となります。 下記のようにして式変形して\( k^2 \)の和が求まります。
\( 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2=n^3+3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)
\(=n^3+3\times \frac{1}{2}n(n+1)-n \)
\(= \frac{1}{2} \{2n^3+3n(n+1)-2n\} \)
\(= \frac{1}{2} \{2n^3+3n+1)n\} \)
\(= \frac{1}{2}(2n+1)(n+1)n\)
\( \therefore \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)
(2) \(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \)
\( k^3 \)は\( k^2\)と同様な方法で証明できます。
使う式は：
\( (K+1)^4-k^4 = 4k^3+6k^2+4k+1 \)
前記の\( k^2\)と同様に\(K\) に n, n-1, n-2 … 3, 2, 1 と順に代入して合計をとります。
今回、図式は省略しますが、合計（縦形の足し算の結果）は下式となります。
\( (n+1)^4-1^4= \underline{ 4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^3 } +6 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2\)
\( +4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)
この式を次のように展開していきます。
\( \underline{4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^3 } =(n+1)^4-1^4 -6 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^2\)
\(-4 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k - \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} 1 \)
\(= \{(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-1\}\) \(- 6\{ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\}\)
\(= (n^4+4n^3+6n^2+4n)\) \(- 6\{ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\}\)
\(-4\{\frac{1}{2}n(n+1)\}-\{n\} \)
\(= (n^4+4n^3+6n^2+4n) \) \(-(2n^3+3n^2+n) \) \(-(2n^2+2n)\)\(-n\)
\(=n^4+2n^3+n^2\)\(=n^2(n^2+2n+1)\) \(=n^2(n+1)^2\)
これより以下に公式が導出できます。
\( \therefore \underline{ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n} k^3 } =\left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \)
(3) \( \ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1} = \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1}
= \frac{1-r^n}{1-r} \ \ (r \neq 1) \)
