豆知識 |2進数・16進数とコンピュータ| 湘南理工学舎

さて2進から話していきましょう！

2 進数

(Binary)

---2進の話は少し長くなるけど辛抱です---

身近な10進数(Decimal) と比較しながら2進数を説明します

2進数と10進数の桁の重み

はじめに10進数を考えます

10進数2桁

"14" を例にします。

"1 4" の "4" は1の桁($\cl{10^0}$), その上の"1" は10の桁($\cl{10^1}$) です。
下の赤字 $\cl{10^{□}}$ が桁の重みです
$\quad \underbrace{\phantom{0}1\phantom{0}}_{\cl{\l{10^1}}} \underbrace{\phantom{0}4\phantom{0}}_{\cl{\l{10^0}}}$$\ \sc{:❶}$

∴ $ \sc{❶}=1\x \cl{10^1}+4\x \cl{10^0}$$=10+4=14$

2進数4桁(4bit)

(14) を2進に変換
(表1の2進4桁の項も参照して下さい)

2進は"0" と "1" だけで数を表すので 10進と比べ 桁上りの頻度は多く, 桁数も増えます。
10進の "14" は 2進では " $\l{1110}$ " です。この変換は次の 桁の重み計算式 ❷ から求とまります。
桁の重み(4桁): $ \s{\cl{2^3}=8},\ \cl{2^2}=4,$ $\ \s{\cl{2^1}=2, \ \cl{2^0}=1}$
$ \underbrace{\phantom{0}1\phantom{0}}_{\ul{\cl{\l{2^3}}}} \underbrace{\phantom{0}1\phantom{0}}_{\cl{\l{2^2}}}$ $\underbrace{\phantom{0}1\phantom{0}}_{\ul{\cl{\l{2^1}}}}$ $\underbrace{\phantom{0}0\phantom{0}}_{\cl{\l{2^0}}}$$\ \sc{:❷}$

$= 1\x \ul{\cl{2^3} }+1\x \cl{2^2}$ $+ 1\x \ul{\cl{2^1}} +0 \x \cl{2^0} $

$2^0$ だけ0です。それ以上の桁は立っています。
だから$2^1, 2^2, 2^3$ の桁の重みを加算するだけです。

$=8+4+2+0=14$

ビット(bit)とバイト(byte)とは

・1ビットとは2進数の1桁を表す。(※１)
・表1は2進数の4bitを表している。
・ 4bitに4bitを加えると8bit (8桁)になる。
・この8bit を1バイト という。(2進数の8桁のこと)
【8bitの表の参考先】
・2バイトとは 16bit のことで 2進数の16桁です。
注(※1): 1bitはコンピュータが扱う最小単位でもある

表1は10進の 0～15 を 2進(4桁(4bit)), 16進(後述)で表したものです。
2進の4桁の最大数1111 は10進の (15) です。
10進の増加に対する2進の桁上がりに注目すれば 2進が分るはずです。

【表1】 2進4桁(4bit)と10進,16進

$\begin{array}{cccc|c|c} \hline \s{２} &\s{進} &\s{数} & &\s{10進}&\sc{16進} \\ \hline \sc{4桁} &\sc{3桁} &\sc{2桁} &\sc{1桁}&\sc{2桁}&\sc{1桁} \\ \hline 0 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &1 &0 &2 &2\\ 0 &0 &1 &1 &3 &3\\ 0 &1 &0 &0 &4 &4\\ 0 &1 &0 &1 &5 &5\\ 0 &1 &1 &0 &6 &6\\ 0 &1 &1 &1 &7 &7\\ 1 &0 &0 &0 &8 &8\\ 1 &0 &0 &1 &9 &9\\ 1 &0 &1 &0 &10 &A\\ 1 &0 &1 &1 &11 &B\\ 1 &1 &0 &0 &12 &C\\ 1 &1 &0 &1 &13 &D\\ 1 &1 &1 &0 &14 &E\\ 1 &1 &1 &1 &15&F\\ \hline \end{array} $

…この表(4bit)の続きは表4(8bit)です。

次は桁上がりです

2進数と10進数の桁上がり

10進数の桁上がり

10進は「 100←99 , 10←9 」のときが桁上がりです。
$ \ul{100\ \sc{\nwarrow} 99} ,\ 98,\ 97 \dots \ul{ 10\ \sc{\nwarrow} 9} ,\ 8,\ 7 \dots $

10進数についての説明はいらないですね。

2進数の桁上がり

2進の数の増え方は:( ()内は10進)
1111(15)←…1000(8)←111(7)… ←100(4)← 11(3)← 10(2)← 01(1) ←00(0)
2進数の桁上がりは:
下記は「2進数(10進数)」である。
$\ul{ \cl{1\ 000} \sc{(8)}\ \sc{\nwarrow} \cl{111}\sc{(7)} }$ $\ \ul{ \cl{1\ 00} \sc{(4)}\ \sc{\nwarrow} \cl{11}\sc{(3)} }$ $\ \ul{ \cl{1\ 0} \sc{(2)}\ \sc{\nwarrow} \cl{01}\sc{(1)} }$

2進の桁上がりは頻繁におこり, また桁数も大変多くなります。
…2進数は以上です。

これから16進数を学びます
今度は逆に10進より桁上がりは少なく、桁数も少なくなります。

16 進数

(Hexadecimal)

" 16進は "1～9" までは10進と同じ, "10～15" まではアルファベット "A～F" に対応します。
$\s{F_{(15)}}$の上は, 桁上がりして$\s{10_{(16)}}$のなります。

【表2】16進と10進

$ \begin{array}{c|ccccccc} \hline 16進& \cl{10}& \cl{\s{F}}& \cl{\s{E}}& \cl{\s{D}}& \cl{\s{C}}& \cl{\s{B}}& \cl{\s{A}}& 9\cdots& 2& 1 \\ \hline 10進& 16& 15& 14& 13& 12& 11& 10& 9 \cdots& 2& 1\\ \hline \end{array} $

これから「16進数には末尾に"h"」を, 「2進数には末尾に"b"」をつけて表示します。

なぜ, 16進がコンピュータのプログラムに使われるのか…

まずは, 2進4桁(bit)と16進の1桁の各数が1対1の対応をしているからです。

☆2進4桁の最大$1111b$(15)は 16進1桁の最大$Fh$(15)と同じである。

桁上がりのタイミングが同じ, 10進の15→16 のとき, 2進数と16進が同時に桁上がりする。

☆2進 : $\ul{1}0000b\ \sc{\nwarrow} \ 1111b$
☆16進: $\ul{1}0h\ \sc{\nwarrow} Fh $

2進の8桁(bit)が16進なら2桁で済み, 見やすく合理的。

☆$1111 1111b=FFh_{(255)}$

16進数の桁の重み

$ \underbrace{\phantom{0}F\phantom{0}}_{\cl{\s{16^1}}} \underbrace{\phantom{0}F\phantom{0}}_{\cl{\s{16^0}}}$$\ \sc{:❸}$
$\s{=15\x 16^1+15\x16^0=240+15=}255$

1から数えて255です, 0から数えると256です。
"255" に"0" の数を加えると "256"「ニゴロ」となり, 1バイト分のデータ量(情報量)になる。
256 通りの情報を識別でできる, これをビットパターンという。
ビットパターンは "0"と"1" の組合せのことで, ビットパターン数$P_n$は:
$P_n=2^n$$\quad :\small{❹}$ (nはビット数)
4ビットなら$P_n=2^4=16$ (順列計算)です。

16進数の桁上がり

次のとき桁上がりする。
$\ul{ \cl{100h}\sc{(256)}\ \sc{\nwarrow} \cl{FFh}\sc{(255)} }$ $\ul{ \cl{10h}\sc{(16)}\ \sc{\nwarrow} \cl{Fh}\sc{(15)} }$

2進,10進,16進数の表示

必要に応じて 2進・10進・16進数を次のように表記します。

10進数の表示:

"20" の横の添え字が 10進を示している。
20 $\st{d}$, または $20\sc{(10)}$
$\st{d}$の語源は "decimal number"
★ここではデフォルトとして10進数をそのまま表記します。

2進数の表示:

"100" の横の添え字が 2進を示している。
$\quad \ul{100\st{b}}$, $\ \ul{100\sc{(2)}},\ \ul{(100)_{2}}$
$\st{b}$の語源は "binary number"

16進数の表示:

16進数の場合は分野により表示方法が様々あります。
(この裏を返せば, コンピュータでは16進が主流ということですね)

数学, その他一般では以下が多い:

$ \ul{ 10\st{h} }$ (16d), $ \ul{ \s{\cl{0}FF} \st{h} } $(255d)
英字で始まるときは「$\cl{0}$」をつける
$\st{h}$の語源は "hexadecimal"。

ソフトウェアの分野ではもっと表示方が増える。
"0FFh=255" を例にすると:

「0FFh」: アセンブリ言語,その他
「&#x FF」: html,xml(Web用)
「0x FF」 : C言語
「&h FF」: basic(マイクロソフト)
「￥x FF」: C++, Java
「$ FF」: basic(マイクロソフト以外の)

2進数,16進数とコンピュータ

さて以下は2進の「上4bit」「下4bit」の桁の重みです。
(上記では「下4bit」だけでした)

【表3】2進数8bitの桁の重み
上4 bit 下4 bit

$ \begin{array}{c|cccc|cccc} \hline \sc{2進桁重み}& 2^7& 2^6& 2^5& 2^4& 2^3& 2^2& 2^1& 2^0\\ \hline \sc{10進}& 128& 64& 32& 16& 8& 4& 2& 1\\ \hline \end{array} $

下4bit:$\ \small{2^3=8}$$,\ \small{2^2=4}$ $, \ \small{2^1=2}$ $,\ \small{2^0=1}$
上4bit:$\ \small{2^7=128}$$,\ \small{2^6=64}$ $, \ \small{2^5=32}$ $,\ \small{2^4=16}$

これで以下の表が理解できる準備ができました。
下表は0～255までを2進数と16進数で表しています。
255 は2進/16進では 1111 1111$\st{b}$ / 0FF$\st{h}$ の 8bit のデータ数を示します。
マイコンでは0 も情報です, 従い8bitの情報量は 256(=255+1）通りです。
すなわち8ビットのビットパターン数は 256 です。

(ビットパターン数は式❹ の$P_n=2^8=256$と同じです。)

8bit を1byte(バイト) と言います。

次に8ビットのビットパターンに対応する10進と16進の表示を見てみよう。
8ビットのビットパターン数は "256" です。

ビットパターン

【表4】8ビットのビットパターン
$\begin{eqnarray} \p{0} \p{0}& 上\ 4\ bit\p{0} \p{0}&\p{0}& 下\ 4\ bit& & & \sc{=}10進&\sc{=}16進 \end{eqnarray} $
$\begin{eqnarray} 2^7&\ 2^6&\ 2^5&\ 2^4& \ & 2^3&\ 2^2&\ 2^1&\ 2^0&\\ \hline \end{eqnarray} $

\(\begin{eqnarray} 0\p{0}& 0\ &0\ &0\ \p{0} &0\ &0\ &0\ &0\ \sc{=}\p{0} 0& \sc{=}\ 0\\ 0\p{0}& 0\ &0\ &0\ \p{0} &0\ &0\ &0\ &1\ \sc{=}\p{0} 1& \sc{=}\ 1\\ 0\p{0}& 0\ &0\ &0\ \p{0} &0\ &0\ &1\ &0\ \sc{=}\p{0} 2& \sc{=}\ 2\\ \ \p{0}& \sc{↓}& &\p{0} \p{0}& \p{0}& \p{0}& \sc{↓} &\p{0} \sc{=}\p{0}\ \sc{↓} &\sc{=}\ \sc{↓}\\ 0\p{0}& 0\ &0 &0\ \p{0} &1\ &0\ &0\ &1\ \sc{=}\p{0} 9& \sc{=}\ 9\\ 0\p{0}& 0\ &0 &0\ \p{0} &1\ &0\ &1\ &1\ \sc{=} 10& \sc{=}\ \sc{A}\\ 0\p{0}& 0\ &0 &0\ \p{0} &1\ &0\ &1\ &1\ \sc{=}11& \sc{=}\ \sc{B}\\ \ \p{0}& \sc{↓}& &\p{0} \p{0}& \p{0}& \p{0}& \sc{↓} &\p{0} \sc{=}\p{0}\ \sc{↓} &\sc{=}\ \sc{↓}\\ 0\p{0}& 0\ &0 &0\ \p{0} &1\ &1\ &1\ &1\ \sc{=}15& \sc{=}\ \sc{F}\\ 0\p{0}& 0\ &0 &1\ \p{0} &0\ &0\ &0\ &0\ \sc{=}16& \sc{=}10\\ 0\p{0}& 0\ &0 &1\ \p{0} &0\ &0\ &0\ &1\ \sc{=}17& \sc{=}11\\ \ \p{0}& \sc{↓}& &\p{0} \p{0}& \p{0}& \p{0}& \sc{↓} &\p{0} \sc{=}\p{0}\ \sc{↓} &\sc{=}\ \sc{↓}\\ 1\p{0}& 0\ &0 &0\ \p{0} &0\ &0\ &0\ &0\ \sc{=}128& \sc{=}80\\ \ \p{0}& \sc{↓}& &\p{0} \p{0}& \p{0}& \p{0}& \sc{↓} &\p{0} \sc{=}\p{0}\ \sc{↓} &\sc{=}\ \sc{↓}\\ 1\p{0}& 1\ &1 &1\ \p{0} &0\ &0\ &0\ &0\ \sc{=}240& \sc{=}\s{F}0 \\ \ \p{0}& \sc{↓}& &\p{0} \p{0}& \p{0}& \p{0}& \sc{↓} &\p{0} \sc{=}\p{0}\ \sc{↓} &\sc{=}\ \sc{↓}\\ 1\p{0}& 1\ &1 &1\ \p{0} &1\ &1\ &1\ &0\ \sc{=}254& \sc{=}\s{FE}\\ 1\p{0}& 1\ &1 &1\ \p{0} &1\ &1\ &1\ &1\ \sc{=}255& \sc{=}\s{FF} \end{eqnarray} \)

ここで 8 bitを超えるビットパターン数を求てみましょう(代表的な数)
10bit : (2進10桁)

"11 1111 1111$\st{b}$=3FFh=1023
ビットパターン数は 1,024 です。

$3\ul{FF}h=3\x16^2+\ul{255}$$=3\x256+255=1023$
($\ul{FF}h=15\x16^1+15\x16^0=\ul{255}$)
ビットパターンは$1023+1=1024$となる。

ビットパターンは10bitのフルの値3FFに+1を足した値である。
$\ul{3FFh+1=400h}$$=4\x 16^2=4\x256=\ul{1024}$

これから先は式❹を使い求める
12bit : (2進12桁)
$\quad P_{12}=2^{12}=4,096$

16bit : (2進16桁)
$\quad P_{16}=2^{16}=65,536$

覚えよう
4bit 増える毎にビットパターンは16倍になる
4bitのビットパターン=$\ul{16}$($=2^4$) からスタートすると：

8bit: $\ul{16}\x 16=\color{red}{\st{256}}$
12bit: $\color{red}{256}\x 16=\color{blue}{\st{4,096}}$
16bit: $\color{blue}{4096}\x 16=\st{6,5536}$

2進数の小数

小数を含む2進数の表示
例えば, 整数部4ビット, 小数部3ビットと決めておくと
2進数「1 0 1 1 . 0 1 1」を10進表示する方法:

$ \begin{array}{c|cccc|ccc} \hline \sc{2進桁重み}& 2^3& 2^2& 2^1& 2^0& 2^{-1}& 2^{-2}& 2^1{-3} \\ \hline \sc{10進では}& 8 & 4& 2& 1& 0.5& 0.25& 0.125\\ \hline \sc{1011.011}& 1 & 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ \hline \end{array} $
$\underbrace{ 8\x 1 +2\x 1+ 1\x1}_{11}$ $+ \underbrace{0.25\x 1+ 0.125\x1}_{0.375}$ $=11 . 375$

逆に10進数「110 . 375」を2進数に変換する方法:

10進から2進への変換は少し手間がかかります。
11.375に近いて小さい2進の桁の重みを探しと…$2^3=8$です。
次は3.375近いて小さい…$2^1=2$です。
あとは以下を見てください。

$11.375-\ul{8}\sc{(=2^3)}=3.375$
$3.375-\ul{2}\sc{(=2^1)}=1.375$
$1.375-\ul{1}\sc{(=2^0)}=0.375$
$0.375-\ul{0.25}\sc{(=2^{-2})}=0.125$
$0.125-\ul{0.125}\sc{(=2^{-3})}=0$

上記の下線部は "ビットが立っている桁の重み" です, これらを加算します。
$2^3,2^1,2^0,2^{-2},2^{-3}$$\to \ul{1 0 1 1 . 0 1 1}$

2進数・16進数とコンピュータ

はじめに

桁の重みの概要(10進/2進/16進)

2 進数

2進数と10進数の桁の重み

10進数2桁

2進数4桁(4bit)

ビット(bit)とバイト(byte)とは

2進数と10進数の桁上がり

10進数の桁上がり

2進数の桁上がり

16 進数

なぜ, 16進がコンピュータのプログラムに使われるのか…

16進数の桁の重み

16進数の桁上がり

2進,10進,16進数の表示

10進数の表示:

2進数の表示:

16進数の表示:

2進数,16進数とコンピュータ

ビットパターン

2進数の小数

例題

例題1

例題2

[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした

2進数・16進数とコンピュータ

はじめに

桁の重みの概要(10進/2進/16進)

2 進 数

2進数と10進数の桁の重み

10進数2桁

2進数4桁(4bit)

ビット(bit)とバイト(byte)とは

2進数と10進数の桁上がり

10進数の桁上がり

2進数の桁上がり

16 進 数

なぜ, 16進がコンピュータのプログラムに使われるのか…

16進数の桁の重み

16進数の桁上がり

2進,10進,16進数の表示

10進数の表示:

2進数の表示:

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2進数,16進数とコンピュータ

ビットパターン

2進数の小数

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例題1

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[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした

2 進数

16 進数

例題