座標の回転と回転行列

上図のx y 直交座標において原点O を中心として点 P(x,y) を角度θ だけ回転させたときの点 P'(x',y') とすると下式が成り立つ。
\((x,y)=( r\ cosα,r\ sinα )\)

\((x',y')= (r\ cos(α+θ),r\ sin(α+θ) )\)

\(x'=r\ cos(α+θ)=r\ (cosα\ cosθ -sin α\ sinθ)\)
\(\quad =r\ cosα\ cosθ -r\ sinα\ sinθ \)

\(\underline{x'= x\ cosθ-y\ sinθ}\)

\(y'=r\ sin(α+θ)=r\ (sinα\ cosθ +cosα\ sinθ)\)
\(\quad =r\ sinα\ cosθ + r\ cosα\ sinθ \) \(= y\ cosθ+x\ sinθ \)

\(　\underline{y'= x\ sinθ+y\ cosθ} \)

上式を以下の行列の積の形に変形します。
\( \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) \( = \begin{bmatrix} ax + cy \\ bx + dy \end{bmatrix} \)

すなわち：

\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\) \(=\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ& cosθ\end{bmatrix}\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

この式の中の
\(R(θ)=\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ& cosθ\end{bmatrix}\)\(:❶\)

を回転行列といいます。　（反時計回り（CCW）が正）

時計回転り（cw）は負、下式です。
\(R(-θ)=\begin{bmatrix} cos(-θ) & -sin(-θ) \\ sin(-θ)& cos(-θ)\end{bmatrix}\)

\( \quad =\begin{bmatrix} cosθ & sin(θ) \\ -sin(θ)& cos(θ)\end{bmatrix}\)\(:❷\)

  ここでの目的は xy座標での点P(x,y) を新しい座標(x',y') で表す…すなわち座標変換を行うことです。
原点が同じで、元の xy 座標より角度 θ を CCW方向に回転した新座標です。
新座標での点 P' は元の座標の点 P と合じ点にいます。それが fig1 です。
座標表示は　新座標= P'(x', y')、 元の座標＝ P ( x, y)　です。
この状態(fig1)から新座標を角度θ、逆回転(CW方向)させ元の座標と同じすれば(fig3)、
P と P’ の角度は θ となります、注意すべきは、逆転させたので、回転行列は\(R(-θ)\)となります。

回転座標の場合は上記の回転行列\(R(-θ)\) を座標変換行列とし使います。
すなわち目的の式は：

\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\) \(　=\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ& cosθ\end{bmatrix}\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

\(=R(-θ)\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)\(:❸\)

これを展開すると：
\(x'=x\ cosθ +y\ sinθ\)

\(y'=-x\ sin θ +y\ cosθ\)

となります。
目的であった、新座標での成分が元の座標成分で表示できました。

補足すると、上記のことは座標変換しても、変換係数を介しての変換なので、2次元空間でのベクトル、点の位置などの情報量は保存されます。

　上図(fig5,6)を参照し, 下式を見て下さい。
\(x=rcosα\)\(\ ,\ y=rsinα\) \(:ⓐ\)

\(x'=rcos(α-β)\) \(\ ,\ y'=rsin(α-β)\)

\(x'=rcos(α-β)\) \(=r(cosα cosβ+sinα sinβ)\)
\(= \ul{rcosα}\ cosβ+ \ul{rsinα}\ sinβ \)
\(=\ul{x}\ cosβ+ \ul{y}\ sinβ\)\(:ⓑ\)

同様にして
\(y'=rsin(α-β)\) \(=r(sinα\ cosβ-cosα\ sinβ)\)
\(=-x\ sinβ + y\ cosβ\)　\(:©\)

これを行列式を使い,式ⓑ,©をまとめると:
\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\) \( =\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ& cosθ\end{bmatrix}\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

\(=R(-θ)\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

上式の\(❸\) と同じになりました。