上図のx y 直交座標において原点O を中心として点 P(x,y) を角度θ だけ回転させたときの点 P'(x',y') とすると下式が成り立つ。
\((x,y)=( r\ cosα,r\ sinα )\)
\((x',y')= (r\ cos(α+θ),r\ sin(α+θ) )\)
以下は加法定理を使い式展開する。
\(x'=r\ cos(α+θ)=r\ (cosα\ cosθ -sin α\ sinθ)\)
\(\quad =r\ cosα\ cosθ -r\ sinα\ sinθ \)
\(\underline{x'= x\ cosθ-y\ sinθ}\)
\(y'=r\ sin(α+θ)=r\ (sinα\ cosθ +cosα\ sinθ)\)
\(\quad =r\ sinα\ cosθ + r\ cosα\ sinθ \) \(= y\ cosθ+x\ sinθ \)
\( \underline{y'= x\ sinθ+y\ cosθ} \)
上式を以下の行列の積の形に変形します。
\(\begin{bmatrix}x'= ax + cy \\ y'=bx + dy \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)
☞ 行列の積の
【参照先】
すなわち：
\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ& cosθ\end{bmatrix}\)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)
この式の中の
\(R(θ)=\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ& cosθ\end{bmatrix}\)\(:❶\)
を
回転行列といいます。 （反時計回り（CCW）が正）
時計回転り（cw）は負、下式です。
\(R(-θ)=\begin{bmatrix} cos(-θ) & -sin(-θ) \\ sin(-θ)& cos(-θ)\end{bmatrix}\)
\( \quad =\begin{bmatrix} cosθ & sin(θ) \\ -sin(θ)& cos(θ)\end{bmatrix}\)\(:❷\)
ここでの目的は xy座標での点P(x,y) を新しい座標(x',y') で表す…すなわち座標変換を行うことです。
座標変換とはある座標上の点の位置を別の座標で見るとどういった位置になるのか。
具体的に新座標での位置(x',y') が 「元の座標(x,y) と変換係数(ここでは座標変換行列)を介したもの」で
表すことです。
ここでは点の位置ですが, ベクトルでも同じです。
座標変換では上記で求めた回転行列の \(R(θ)\) と\(R(-θ)\) を座標変換行列として使います。
原点が同じで、元の xy 座標より角度 θ を CCW方向に回転した新座標です。
新座標での点 P' は元の座標の点 P と合じ点にいます。それが fig2 です。
座標表示は 新座標= P'(x', y')、 元の座標＝ P ( x, y) です。
この状態(fig2)から(fig3)を経由して, 新座標を角度θ、逆回転(CW方向)させ元の座標と同じすれば(fig4)、
P と P’ の角度は θ となります、注意すべきは、逆転させたので、回転行列は\(R(-θ)\)となります。
回転座標の場合は上記の回転行列\(R(-θ)\) を
座標変換行列として使います。
すなわち目的の式は：
\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\)
\( =\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ& cosθ\end{bmatrix}\)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)
\(=R(-θ)\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)\(:❸\)
これを展開すると：
\(x'=x\ cosθ +y\ sinθ\)
\(y'=-x\ sin θ +y\ cosθ\)
となります。
目的であった、新座標での成分が元の座標成分で表示できました。
