放物線:\(y=ax^2\) \(\ :ⓐ\)
点\(P(q,y(q))\) の法線の式
【参照先】
\(y-y(q)=-\frac{1}{y'(q)}(x-q)\) \(\ :ⓑ\)
が分かれば、点Pの座標、半径r が既知なので答えが求まる。
ⓐ:\(y'(q)=2ax=2aq\)
ⓐ:\(y(q)=ax^2=aq^2\)
上記をⓑに代入
\(y=-\frac{1}{y'(q)}(x-q)+y(q)\)
\(=-\frac{1}{2aq}(x-q)+aq^2\)
\(=-\frac{1}{2aq}x +\frac{1}{2a}+aq^2\)
点Aのy成分=y(0) は
\(y(0)=-\frac{1}{2aq}0 +\frac{1}{2a}+aq^2\)
\(=\frac{1}{2a}+aq^2\)
\(AB=\frac{1}{2a}+aq^2-y(q)\)
\(=\frac{1}{2a}+aq^2-aq^2\)
\(=\color{red}{ \frac{1}{2a} }\)
直線
\(AB=\frac{1}{2a}\)はx に関係なく
一定である。
これにより、円の中心A を指定すると、計算により内接点P 、さらに半径r が求まる。
例えば、\(y=ax^2\) \(, \) \(A=(0,s)\)とすると
\(y(q)=aq^2\) \(, \) \(p=(q,y(q))=(q,aq^2)\) である。
あとは次の計算をするだけで接点P と 半径r が求まる
\(AB=s-y(q)=s-aq^2=\color{red}{ \frac{1}{2}a }\)
\(q^2=\frac{1}{a}(s-\frac{1}{2}a)\)
これより内接点の座標は\((q,aq^2)\)は求まる。
次に三角形ABP を考えて
\(r^2=(AB)^2+q^2\)
次の2式が成り立ち、連立で求まられる。
\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=ax^2 :ⓐ \\
x^2+(y-r)^2=r^2:ⓑ
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)
ⓐより\(x^2=\frac{y}{a}\)をⓑに代入
\(\frac{y}{a}+y^2-2yr+r^2=r^2\)
\(\frac{y}{a}+y^2-2yr=0\)
\(y^2+(\frac{1}{a} -2r)y=0\)
２式が1点で接する連立方程式の解は重根であるから判別式=0 である。
2次一般式 \(ax^2+bx+c\)の判別式 \(D=\sqrt{b^2-4ac}\)
\(D=\sqrt{(\frac{1}{a} -2r)^2}\)\(=(\frac{1}{a} -2r)=0\)
\( \therefore r=\dsfr{1}{2}a\)
