三角関数の諸公式

外接円の直径は頂点の角度とそれの対辺の長さから求められる。
三角形A B C とその対辺の長さを a b c とします。

\(\underline{ \frac{a}{sin\ A}=\frac{b}{sin\ B}=\frac{c}{sin\ C}} \) \(= 2 R \)

・R：三角形ABCの外接円の半径

2辺の長さとそのはさむ角度から他の辺の長さが求められる。
\(a^2=b^2+c^2-2bc(cos\ A) \)

\(b^2=a^2+c^2-2ac(cos\ B) \)

\(c^2=a^2+b^2-2ab(cos\ C) \)

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基本は以下の3式です。（学生（受験のかた）は暗記すべきですね）
加法定理から2倍角、半角、3倍角の公式に発展します。
微分積分では多用されます。
式(1)、(2)を覚えていれば 2倍角、半角などは導き出せます。

\(sin(A \pm B)=sinAcosB \pm cosAsinB \) … (1)

\(cos(A \pm B)=cosAcosB \mp sinAsinB \) …(2)

\(tan(A \pm B)=\frac {tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B} \) 　…(3)

 \( 式(3)のヒント(tan(A+B)=\frac {sin(A+B)}{cos(A+B)} \frac {\div (cosAcosB)}{\div (cosAcosB)} )\)

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加法定理から導出できる式です。
表し方がいろいろあります、応用するときに使い分けします。

\( sin 2A =2sinAcosA \) \(=\frac{2 tanA}{1+tan^2 A} \) (※1)
 \(\ ( sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA\) \( \ =2sinAcosA\ )\)
\( cos 2A =2 cos^2 A-1 = 1- 2sin^2A \) \(=\frac{1-tan^2A}{1+tan^2 A} \) (※2)
 \(\ ( cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA \) \( \ =cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1\ ) \)
\(tan 2A=\frac{2 tan A}{1-tan^2A}\)

（\(tan(A+A)\) \(=\frac {tan A +tan A}{1 - tan A tan A} \) ）

\( sin^2 \frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{2} \)

\( cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1+cosA}{2} \)

\( tan^2 \frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{1+cosA} \)

\( sin 3A =3 sinA-4sin^3A \)

\( cos 3A =-3 cosA+4scos^3A \)

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\(　sinAcosB=\frac{1}{2} \{sin(A+B)+sin(A-B)\} \) …①

\(　cosAsinB=\frac{1}{2} \{sin(A+B)-sin(A-B)\} \) …②

\(　cosAcosB=\frac{1}{2} \{cos(A+B)+cos(A-B)\} \) …③

\(　sinAsinB=-\frac{1}{2} \{cos(A+B)-cos(A-B)\} \)…④

上式の A と B を \(A=\frac{α+β}{2}\) ,\(B=\frac{α-β}{2}\) にして、

左辺と右辺を入れ換えると下式が得られる。

\( sinα+sinβ=2sin \frac{α+β}{2} cos\frac{α-β}{2} \)

\( sinα-sinβ=2cos \frac{α+β}{2} sin\frac{α-β}{2} \)

\( cosα+cosβ=2cos \frac{α+β}{2} cos\frac{α-β}{2} \)

\( cosα-cosβ=-2sin \frac{α+β}{2} sin\frac{α-β}{2} \)

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• \(sec\ x=\frac{1}{cos\ x} \quad\) \(cot\ x=\frac{1}{tan\ x} \quad\)

 \(cosec\ x= csc\ x=\frac{1}{sin\ x} \quad\)

• \( sin^2\ x +cos^2\ x = 1 \) 　　

• \( \frac{1}{cos^2x}=sec^2x\)\(=1+tan^2x\)

以下の式は下図の単位円を見れば理解できます。
(第1象限)　
\(sin(\frac{π}{2}-θ)=cosθ,\ cos(\frac{π}{2}-θ)=sinθ\) \(,\ tan(\frac{π}{2}-θ)=\frac{1}{tanθ} \)

(第2象限)　
\(sin(π-θ)=sinθ,\ \ cos(π-θ)=-cosθ\) \(,\ tan(π-θ)=-tanθ \)
\(sin(\frac{π}{2}+θ)=cosθ,\ cos(\frac{π}{2}+θ)=-sinθ\) \(,\ tan(\frac{π}{2}+θ)=-\frac{1}{tanθ} \)

(第3象限)　
\(sin(π+θ)=-sinθ,\ \ cos(π+θ)=-cosθ\) \(,\ tan(π+θ)=tanθ \)
\(sin(\frac{3π}{2}-θ)=-cosθ,\ cos(\frac{3π}{2}-θ)=-sinθ\) \(,\ tan(\frac{3π}{2}-θ)=\frac{1}{tanθ} \)

(第4象限)　
\(sin(-θ)=-sinθ,\ \ cos(-θ)=cosθ\) \( ,\ tan(-θ)=-tanθ \)
これより \(sinθ , tanθ\) は 奇関数、\(cosθ\) は偶関数であることがわかります。
（\(sin(2π-θ)=-sinθ,\ \ cos(2π-θ)=cosθ\) \( ,\ tan(2π-θ)=-tanθ \)）

\(sin(\frac{3π}{2}+θ)=-cosθ,\ cos(\frac{3π}{2}+θ)=sinθ\) \(,\ tan(\frac{3π}{2}+θ)=-\frac{1}{tanθ} \)

[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした