数学用語1

2つ以上の正の整数に共通する約数のこと。
例：6と18の公約数：1, 2, 3, 6
最大公約数 (greatest common divisor):上の例の”6”です。

2つ以上の正の整数に共通する倍数を公倍数。
例：2と3の公倍数：6, 12, 18, …
最小公倍数 （Least common multiple)：上の例で"6"です。

素数とは"1"より大きい整数で、1と自分自身でしか割り切れない数（整数）。
例：2, 3, 5, 7, 11, …97,101,…

真偽の判断の対象となる文章または式、または客観的な真偽が必ず決まる文などのことです。
例えば、「1+1 = 2」は真の（＝正しい）命題で、「3は5よりも大きい」は偽の（＝正しくない）命題です。
下図において「AならばBである」=「\(A⇒B\)」の命題に対して：
 「BならAである」=「\(B⇒A\)」が逆
 「AでなければBではない」=「\(\overline{A}⇒\overline{B}\)」が裏
 「BでなければAではない」=「\(\overline{B}⇒\overline{A}\)」が対偶

注：場合により「定理、問題、課題」などのこととして使われている。

・q[太陽系] は p[地球]（であるため）の 必要条件。
・p[地球] は q[太陽系]（であるため）の 十分条件。

【地球は十分条件】\(p⇒q\)【太陽は必要条件】
（矢印の先が必要条件）
参考 {太陽系の惑星は：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星}

奇数は「5」の必要条件。
「5」は奇数の十分条件。
「5」は奇数の必要条件ではない。

必要条件かつ十分条件のとき必要十分条件(if and only if)という。
必要十分条件は：
p⇒q　と q⇒p の両方が成り立つときです。
すなわちp とq が同値のときです。
集合P とQ が等しい時：p はq の必要十分条件である。
矢印は双方向：　P⇔Q　

2の倍数の集合A と偶数の集合B である。
 A とB は同値(A=B)であるから　A はB であるための 必要十分条件です。
 すなわち A ⇔ B　です。

数学での「任意の…」とは日常語とすこし異なります。　
「すべての数」、「勝手な数」と同じ意味で使われます。
英語ではany, allで使われています。
これを知っていると次の数学的帰納法の理解の助けになります。

【例１】整数は、「割り算について閉じていない」とは、整数どうしの四足演算のなかで、割り算での答えが整数にならないときがあるから閉じていない。
 （除算以外の四則演算については閉じている）

【例2】\(x\)の定義域の閉区間[ 0 , 5 ]とは：\( 0 \leqq\ x \leqq\ 5 \) (端点を含んでいる）

【例3】\(x\)の定義域の開区間（ 0 , 5 ）とは：\( 0 \lt\ x \lt\ 5 \) (端点を含んでいない）

例えば\( y=\frac{2}{x}\)の関数について、上の閉区間[ 0 , 5 ]では微分不可能です。
∵ 閉区間なので\(x\)は0 を含んでいる。
（x=0 →分母が0 で不定形となる）
しかし開区間（ 0 , 5 ）なら微分可能となる。
丸括弧 （ 開 ）と角括弧 [ 閉 ] はある場面では重要になる。

【注】：特別な意味をもつ括弧としての波括弧 { }:
　　

「ならば」を使った推論。
(1)AならばB
(2)BならばC
この両方の(1)、(2)が成り立るとき
A＝C が成り立つことを結論とする証明 。

互いに素とは2つの整数の公約数が"1"のみであること。

互いに素の例：
1 と3、5 と7 、9 と14、 …

互いに素でないの例：
2と4、5と10、9と18、 …

互いに素に関連する性質

(1)連続する整数（2と3、9と10 など）は互いに素である。
(2)互いに素な a,b に対し、ある整数 k があり、a k が b の倍数ならば、k は b の倍数である。
2 と 3 の例： k=6として、a k= 12 ➝ これは b=3 の倍数です。これより k（=6） は b（=3）の倍数となる。

数（または式）A が 2つの数 a、b の積で表しているとき（\(A=a \times b\)） 、a, b　をA の因数（または約数）という。
例えば：
➀\(3axy+9xy^2\)
②\(=3\cdot a \cdot x\cdot y+3\cdot 3x\cdot y\cdot y\):各因数表示
③\(=3xy(a+3y)\)：「因数分解」
➀から③にすることを「因数分解」という。
逆に③から➀にすることを「式の展開」という。

多項式\(f(x)\)は\(f(a)=0\)となるとき\((x-a)\)の因数をもつ。
すなわち、\(f(a)=0\)なる a を探せば、多項式は\((x-a)\)で割り切れる。
因数分解などに応用できます。

文章の流れ、勉強の内容などにより次の意味を識別しなければなりません。
(1)恒等的（いかなる場合でも）に成り立つ等式。これを強調したい場合に使われいます。
 以下の式は恒等式です。
（下式は公式だが、強調を表現したいときに使われます）
 　\( sin^2\ A + cos^2\ A　 \equiv 1 \)
 　\( log\ A + log\ B　 \equiv 　log\ A\ B \)
(2)２つ整数 A ，B が、M を法（割る数）とした割り算の余りが等しい時の式を合同式という。
 「mod」は除算の余りを示す。
 （５と９は４で割ると、残りは１等しい）
 例：\( 5\equiv 9 \ mod4 ,\quad 7 \equiv 4 \ mod3 \)

(3)図形AとBは幾何学的に合同：\(　A \equiv B \)
(4)A と B は 同値である。(A,Bには式また事実）

これ以上、約分ができない分数。
正の分数 \( \frac{b}{a} \) (a,bは自然数)において，
a と b とが互いに素 （1以外に共通因数をもたない）のとき \( \frac{b}{a} \) を既約分数という。
例：\(\frac{2}{4}\) は既約分数ではないが、約分して \(\frac{1}{2}\) は既約分数である。
正の有理数は既約分数の形に書くことができる。

総和(summation):
\(a_1, a_2, \cdots a_{n-1}, a_n\) の部分和ともいう。
\(　\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = a_1+ a_2+ \cdots a_{n-1}+ a_n\)
記号 \(\sum\) はギリシャ文字のシグマ。

総乗(total power)：
\(　\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i = a_1\times a_2\times \cdots a_{n-1}\times a_n\)
記号 \(\prod\) はギリシャ文字のパイ。

 従来の一般的な数学の本は、できるだけ簡潔に完成されています。　展開も無駄を省いて論理的にまっすぐ目的に進めている。
同じ説明の繰り返しはしていません。　読んだことは理解されたとして、同じことは繰り返しません。
（紙面数の制約もあったでしょうね）
 しかし読者はどこか見逃したなどと迷い、前に戻り何度も読み返す必要があります。
また数学固有の、説明されてない、数学語があります。
これらが数学を難しくしている要因と参考文献に書かれています。
同感しています、でも最近は読者にわかりやすく書かれている本も増えています。
本を購入する前、読む前にはこれらも考慮するといいですね！