\(=
\begin{vmatrix}
\color{red}{a_{1\ 1}} & \color{red}{a_{1\ 2}} & \color{red}{a_{1\ 3}}\\
{0} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\
{0} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}
\end{vmatrix}
\)
\(-
\begin{vmatrix}
\color{red}{a_{2\ 1}} & \color{red}{a_{2\ 2}} & \color{red}{a_{2\ 3}}\\
{0} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
{0} & a_{3\ 2} & a_{3\ 3}
\end{vmatrix}
\)
\(+
\begin{vmatrix}
\color{red}{a_{3\ 1}} & \color{red}{a_{3\ 2}} & \color{red}{a_{3\ 3}}\\
{0} & a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
{0} & a_{2\ 2} & a_{2\ 3}
\end{vmatrix}
\)
前回の「
成分に0を含む行列式の一般化
」より、上式は以下のように簡単な式になります。
\(=\color{red}{a_{1\ 1}}
\underbrace{
\begin{vmatrix}
a_{2\ 2} & a_{2\ 3}\\
a_{3\ 2} & a_{3\ 3}\\
\end{vmatrix}
}_{(1)}
\)
\(-\color{red}{a_{2\ 1}}
\underbrace{
\begin{vmatrix}
a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
a_{3\ 2} & a_{3\ 3}
\end{vmatrix}
}_{(2)}
\)
\(+\color{red}{a_{3\ 1}}
\underbrace{
\begin{vmatrix}
a_{1\ 2} & a_{1\ 3}\\
a_{2\ 2} & a_{2\ 3}
\end{vmatrix}
}_{(3)}
\)
(1),(2),(3)を余因子といいますが、さらに次のように表記を変えます。
\(=a_{11} \overbrace{det(A_{11})}^{(1)'} +a_{21} \overbrace{det(A_{21})}^{(2)'}\) \(+a_{31} \overbrace{det(A_{31})}^{(3)'} \)
\(=a_{11} \overbrace{\ \tilde{a}_{\ 1\ 1\ }}^{(1)''} +a_{21} \overbrace{\ \tilde{a}_{\ 2\ 1\ }}^{(2)''}
+a_{31}\overbrace{\ \tilde{a}_{\ 3\ 1\ }}^{(3)''}\)
\((1)=\quad det(A_{11})=\tilde{a}_{11}\)
\((2)=- det(A_{21})=\tilde{a}_{21}\)
\((3)=\quad det(A_{31})=\tilde{a}_{31}\)
\(\color{red}{\tilde{\ a\ }_{\ i\ j} }：\)
行列 A の\((\ i,j\ )\)余因子といいます。
「 a チルダ」と呼び、
行列式の
第 i 行と第 j 列を除いた2次行列式の値です。
例えば、
\(\tilde{\ a\ }_{\ 3\ 1}\)（\(=(3)''\)）
は上式の
\((3)\)（\( =(3)' \)）
のことです。
下式は余因子の一般式です。
\(\underline{ \tilde{\ a\ }_{\ i\ j}= (-1)^{i+j} \ det(\ A_{\ i\ j}) }\)
上式の符号部の
\((-1)^{i+j}\)
のイメージ図。
\(
\begin{pmatrix}
+ & - & +\\
- & + & -\\
+ & - & +
\end{pmatrix}
\)
次に行列Aの\((i,j)\)
の余因子
\(\tilde{a}_{i j}\)
を使い、
\(\ j\ \)列 による（沿った）展開から
\(det(A)\)
を表す。
\(\color{red}{ det(A)= \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_{i\ j}\ \tilde{a}_{i\ j} }\)
上式を
\(\ j\ \)列による余因子展開という。
上の例は
1 列（※1）による展開をしています。
\( det(A)=a_{1\ \color{red}{1}} \tilde{a}_{1\ \color{red}{1}}\)
\( + a_{2\ \color{red}{1}} \tilde{a}_{2\ \color{red}{1}}\)
\( + a_{3\ \color{red}{1}} \tilde{a}_{3\ \color{red}{1}}\)
注(※1)：行を動かしいるので、「行による展開」と思われがちですが、「0」の成分の位置は「第1 列」です。
\(\b{\uparrow}\)これまでは列による展開でした\(\b{\uparrow}\)
列による余因子展開と同様にして、
行による余因子展開があります。
下式は i 行による余因子展開です。
\(\color{red}{ det(A)= \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{i\ j}\ \tilde{a}_{i\ j} }\)
以下に第
1 行による展開を示します。
\( det(A)=a_{\color{red}{1} \ 1}\tilde{a}_{\color{red}{1}\ 1} \)
\( + a_{\color{red}{1}\ 2} \tilde{a}_{\color{red}{1}\ 2}\)
\( + a_{\color{red}{1}\ 3} \tilde{a}_{\color{red}{1}\ 3}\)
