\(\s{P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}\)\(\sc{\ ②}\) \(\ \clb{\to}\ \)
\(\s{P_y=\pder{P}{y}=\pder{Q}{x}=Q_x}\)\(\sc{\ ④}\)
\(f(x,y)\)は\(C^2\)級(※),すなわち 2回微分可能,かつその導関数は連続です。
\(C^n\)級とは\(n\) 回微分可能であり, かつその導関数が連続である。
完全微分方程式なので
\(dz=Pdx+Qdy=0\) \(\sc{\ :Ⓐ}\)である
\(\sc{(dz=f_xdx+f_ydy)}\)
上式Ⓐは①と②を合わせた式です
\(∴ f_x=P\) \(\ ,\ \) \(f_y=Q\) \(\sc{\ :⑤}\)
ここで下式の
シュワルツの定理を使います。
☞【参照先】
\(f(x,y)\)が\(C^2\)級なら \(\ul{f_{xy}=f_{yx}}\) が成り立つ。
式\(\sc{⑤}\)のPをyで微分し → シュワルツの定理を使うと:
\(P_y=f_{xy}=\pder{P}{y}\) \( \implies \) \(f_{yx}=\pder{Q}{x}=Q_x\)
\(∴ \ul{P_y=f_{xy}=f_{yx}=Q_x}\) (\(\sc{\ ④}\))
従い完全微分方程式② の必要十分条件が式④ である。
☞式④は与式が完全微分方程式であることの判断に使われる。
\(\s{P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}\)\(\sc{\ ②}\) \(\ \clb{\gets}\ \)
\(\s{P_y=\pder{P}{y}=\pder{Q}{x}=Q_x}\)\(\sc{\ ④}\)
ここで次の式を仮定として考える
\(f(x,y)=\sc{\dsi} P(x,y)dx + C(y) \)\(\sc{\ ⑥}\)
\(C(y)\)は\(ｙ\) の関数,\(x\) の積分では定数項となる
この両辺をｙで偏微分する
\(\pder{f(x,y)}{y}=f_y\) \(=\pder{}{y}( \sc{\dsi} P(x,y) dx+C(y) )\)
\(=\sc{\dsi} \pder{}{y}P(x,y) dx +\pder{C(y)}{y}\)
\(=\sc{\dsi} \ul{P_y} dx+C'(y)\)\(=\sc{\dsi} \ul{Q_x} dx +C'(y)\)\(\sc{\ ⑥'}\)
ここで \(P_y=Q_x \) \(\sc{\ ④}\)を用いた
\(∴ \pder{f(x,y)}{y}=f_y=\sc{\dsi}_{x_1}^x Q_x dx +C'(y)\)\(=\left[\ Q\ \right]_{x_1}^x + C'(y)\)
\(=Q(x,y)-Q(x_1,y)+C'(y)\)
\(x_1\)は定数です
\(C'(y)\)は定数項で任意であり \(C'(y)=Q(x_1,y)\)\(\sc{\ :⑦}\) となるように選べば
\(\ul{\pder{f(x,y)}{y}=f_y=Q(x,y)}\)\(\sc{\ :⑧}\)となる。
式⑦ をyで積分し, \(C(y)=\sc{\dsi} Q(x_1,y)dy\), これを式⑥ に代入する
\(f(x,y)=\sc{\dsi}_{x_1}^x P(x,y)dx + \sc{\dsi}_{y_1}^y Q(x_1,y) dy\)
上式を\(x\)で偏微分すると
\(\pder{f(x,y)}{x} \s{=f_x=P(x,y)+\pder{}{x}Q(x_1,y)=P(x,y)}\)
\(x_1\)は定数だから\( \pder{}{x}Q(x_1,y)=0\)
\(\ul{\pder{f(x,y)}{x}=f_x=P(x,y)}\)\(\sc{\ :⑨}\)となる。
これで殆ど証明は終わりです
以上より式Ⓐが成り立ちます。
\(P_y=\pder{P}{y}=\pder{Q}{x}=Q_x\)\(\sc{\ ④}\)
が成り立つなら
\(dz=f_xdx+f_ydy\)\(=Pdx+Qdy=0\) \(\sc{\ :Ⓐ}\)
が成り立ちます。
