以下は 1階線形微分方程式です。
\(\ul{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)\ul{y}=\ul{q(x)}\)

この式の名称は「微分項」と「ｙ項」から由来します:
「1階の導関数」と「1次の未知関数y」から「1階線形微分方程式」という。
\(\s{ \begin{cases} q(x) \ne 0:\bv{1階線形非同次微分方程式}\\ q(x) = 0:1階線形同次微分方程式 \end{cases} } \)
\(q\ne 0\) のとき, 非同次方程式 (以後,非同次式と呼ぶ) といい、ここで対象としている式です。
\(q=0\) のとき, 同次方程式(以後,同次式と呼ぶ)といいますが,他に斉次(せいじ)方程式または随伴方程式ともいいます。

・同次方程式(※1)は既に学んだ変数分離形に変形して解けます。
・随伴方程(同伴方程式ともいう)とはある微分方程式の解を求める際に補助的に用いる式のこと。

※1:先に学んだ同次形の微分方程式とは異なるのでご注意。

公式の導出

(定数変化法)

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=q(x)\) \(\sc{\ :①}\)

1)同次式(\(\sc{q(x) = 0}\))の解を求める

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=0\) \(\sc{\ :②}\)

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}=-p(x)y\)

\( \frac{1}{y}dy=- p(x)dx\)

\( \int \frac{1}{dy}=- \int p(x)dx +C\) \(\ →\ log|y|=-\int p(x)dx +C \) \(\ →\ |y|=e^{-\int p(x)dx +C }\)

\(|y|=e^{-\int p(x)dx +C }\) \(=e^{-\int p(x)dx} \cdot e^C\) \(=e^{-\int p(x)dx} \cdot C\) \(=C \cdot e^{-\int p(x)dx} \) (\( \s{但し C= e^C}\))
∴ \(y=\pm C \cdot e^{-\int p(x)dx} \) \(=C e^{-\int p(x)dx} \) (\( \s{但し C=\pm C}\))　

同次式②の一般解:
∴ \(y=C e^{-\int p(x)dx}\)\(\sc{\ :③}\)

2)定数変化法により解を求める

上記の同次式を満たす任意定数C を関数に変化させると与式① を満たす\(C\) に代わるものとして\(n(x)\) が見つかる
という考え方から以後はこの\(n(x)\)を求めていきます。この方法を定数変化法と呼んでいます。
\(\s{C→ n(x)}\) として次式\(\sc{④}\) を解いていきます。
\(y=n(x) e^{-\int p(x)dx}\)\(\sc{\ :④}\)
\(\sc{④}\) を与式①に代入し, 与式を満たす\(\s{n(x)}\)を求める:
式\(\sc{:①}\) の表記を変えて\(→ \ul{y}'+p(x)\ul{y}=q(x)\)\(\ :\sc{①}\)とする。
\(\{ \ul{n(x) e^{-\int p(x)dx}}\}'\)\(+p(x)\{ \ul{n(x) e^{-\int p(x)dx}} \}=q(x)\)

積の微分\((fg)'=f'g+fg'\) を使い
\( n'(x)e^{-\int p(x)dx}+\ \clb{n(x)(-p(x))e^{\int -p(x)dx}} \) \(+ \clb{ p(x)\ n(x) e^{-\int p(x)dx}}=q(x)\)
青字の項は打ち消せて
\( n'(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)\)となる。

\(\frac{dn}{dx}(x)=q(x) e^{\int p(x)dx}\) \(\ \clb{\to}\ \) \( \int dn=\int q(x) e^{\int p(x)dx} dx\)
\(∴ n(x)=\int q(x) e^{\int p(x)dx} +C \)\(\sc{\ :⑤}\)
これを④に代入し, １階線形微分方程式の解の一般解が求まる:
\(y=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x) e^{\int p(x)dx} +C)\)\(\sc{\ :⑥}\)

解\(\sc{⑥}\) を公式としてまとめる。

1階線形微分方程式の公式

1階線形微分方程式:

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=q(x)\) \(\sc{\ :❶}\)

その同次方程式:

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=0\) \(\sc{\ :❷}\)

♦同次方程式(随伴方程式)の一般解

\(y=C e^{-\int p(x)dx}\)\(\sc{\ :❸}\)

\(n(x)=C\)とし \( \clb{\to}\ \) \(y=n(x)e^{-\int p(x)dx}\)\(\sc{\ :❸'}\)

♦定数項の関数

\(n(x)=\int q(x) e^{\int p(x)dx} +C \)\(\sc{\ :❹}\)

❹を❸'に代入して\(\ \clb{\to}\ \)次式❺ が成立

♦公式:1階線形微分方程式の一般解

\(y=e^{-\int p(x)dx}( \sc{\dsi} q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx +C)\)\(\sc{\ :❺}\)

例題1

\(y'-3y=e^x\)\(\sc{\:①}\)

以下の同次式②の一般解を求める
\(y'-3y=0\)\(\sc{\:②}\) 　　
\(\dera{y}{x}=3y\) \(\ →\ \int \frac{1}{y}dy=\int 3 dx\)

\(\frac{1}{y}dy=3 dx\) \(\ →\ \int \frac{1}{y}dy=\int 3 dx\) \(\ →\ log|y|=3x+C\) \(\ →\ |y|=e^{3x+C}\)\(=e^{C} \cdot e^{3x}\) \(\ →\ y=\pm e^{C} \cdot e^{3x}\)

∴\(y=\ul{C_0} e^{3x}\)\(\sc{\:③}\) (\(但し \ul{C_0=\pm e^{C}}\))
\(C_0 \to n(x) \)に変えて,以下の式を①に代入する。
\(y=n(x) e^{3x}\) \(\sc{\:④}\)
\(\{n(x) e^{3x}\}'-3(n(x) e^{3x})=e^x\)

\(\ →\ (n'e^{3x}+n3e^{3x})-3(n(x) e^{3x})=e^x\) \(\ →\ n'e^{3x}=e^x\) \(\ → \frac{dn}{dx}e^{3x}=e^x\) \(\ →\ \frac{dn}{dx}=\frac{e^x}{e^{3x}}\)
\(\ →\ dn=e^{-2x} dx\) \(\ →\ \int dn=\int e^{-2x} dx \) \(\ →\ n=\int e^{-2x} dx \)
\(t=-2x,\ x=\frac{-1}{2}t,\ \dera{x}{t}=\frac{-1}{2},\ dx=\frac{-1}{2}dt \)
\(\ →\ n=\int e^{t}\ \frac{-1}{2}dt\) \(\ =\frac{-1}{2} e^{t}+C==\frac{-1}{2} e^{-2x}+C \)

\(∴ n(x)=\frac{-1}{2} e^{-2x}+C\)\(\sc{\:⑤}\)
上式を④に代入し
\(y=e^{3x}(\frac{-1}{2} e^{-2x}+C)\)
\(∴y=\frac{-1}{2}e^{x}+Ce^{3x}\)

例題2

\(y'+2xy=2x\)\(\sc{\ :①}\)

同次式の一般解
\(y'+2xy=0\) \(\sc{\ :②}\)
\(\dera{y}{x}=-2xy\) \(\ → \int \frac{1}{y}dy=-\int 2x dx\) \(\ → log|y|=-2 \frac{x^2}{2}+C\) \(\ → y=\pm e^{-x^2+C}\) \(\ → y=\pm e^{-x^2} \cdot e^{C}\)
\(y=C_0 e^{-x^2}\)\(\sc{:③}\) \(\ - \sc{C_0 をn(x)に変えて}\) \( \to \) \(y=n(x) e^{-x^2}\) \(\sc{:④}\)
④を①に代入
\(\{n(x) e^{-x^2}\}' +2x\{n(x) e^{-x^2}\}=2x\) \(\to (n' e^{-x^2})+(n(-2)x e^{-x^2})\)\(+2x\{n(x) e^{-x^2}\}=2x\)
\(\to n' e^{-x^2}=2x\) \(\to \dera{n}{x} =2x e^{x^2} \) \(\to \int dn = \int 2x e^{x^2} dx \)

\(t=x^2,\ \dera{t}{x}=2x,\ dx=\frac{1}{2x}dt \)
\(\to \int dn = \int 2x e^{x^2} dx \) \(\ \clb{\to}\ \) \( \int dn=\int 2x e^t \cdot \frac{1}{2x} dt\) \(\ =\int e^t dt=e^t=e^{x^2}\)

\(∴ n=e^{x^2}+C\)
上式を④に代入し \(y=e^{-x^2} (e^{x^2}+C) \)
\(∴ y=1+Ce^{-x^2}\)

例題2を公式❺を使い求める

例題3

\(y'+2xy=2x\)\(\sc{\ :①}\)

「１階線形微分方程式」と「その一般解の公式」
\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=q(x)\) \(\sc{:❶}\) \(\ ,\ \) \(y=e^{-\int p(x)dx}( \int q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\)\(\sc{:❺}\)

与式と公式を比べ⇒ \(p(x)=2x,\ q(x)=2x\)

\(y=e^{\ul{-\int 2x\ dx}}( \int 2x\ e^{\ul{\int 2x\ dx}}\ dx+C)\)\(\ =e^{-x^2}(\ul{\int 2x e^{x^2} dx} +C)\)

\( \int p(x)dx=\int 2x dx=\frac{2}{2}x^2=x^2\) \(\ ,\ \) \( -\int p(x)dx=-x^2\)
\(t=x^2\)とおき\(\frac{dt}{dx}=2x\) \(\ clb{\to}\ \) \(dx=\frac{1}{2x}dt\)
\(\int 2x e^{x^2} dx\) \(= \int 2xe^t \frac{1}{2x}dt\) \(=\int e^t dt\)\(=e^{x^2}\)

\(y=e^{-x^2}(e^{x^2 }+C)\)\(=1+Ce^{-x^2}\)

公式の補足

解の一般解の公式の内訳
\(y=e^{-\int p(x)dx}( \int q(x) e^{ \int\ p(x)dx}\ dx +C)\)\(\sc{\ :❺}\)
公式を変形すると:
\(y=\underbrace{C\ e^{-\int p(x)dx}}_{同次式の一般解}\) \( + \underbrace{e^{-\int p(x)dx}(\int\ q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx)}_{非同次式の特殊解}\)
上記は１階線形微分方程式の解の公式は「同次式の一般解」と「非同次式の特殊解」に構成されています。
従って, 非同次式の特殊解が予め判っているときは同次式の一般解を求めるだけで方程式の一般解が求められます。

１階線形微分方程式の応用

ベルヌーイの微分方程式

ベルヌーイの微分方程式は式の変形により１階線形微分方程式に帰着することができます。
まず, 次式がベルヌーイの微分方程式です。

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=q(x)y^n\)\(\sc{:①}\) \(\s{(n \ne 0,\ 1)}\)

\(n = 0,\ 1 \) のとき次のことより除外します。
\(n=0\) のとき, \(\sc{y'+p(x)y=q(x)}\): １階線形微分方程式です。
\(n=1\) のとき, \(\sc{y'+p(x)y=q(x)y}\): 変数分離形です。(※)

※:\(\ ∵ \s{y'=q(x)y-p(x)y=(q(x)-p(x))y}\)

１階線形微分方程式への帰着方法

式① の両辺に\(y^{-n}\) を掛ける(\(y^n\)で割る):
\(y'y^{-n} +p(x)yy^{-n}=q(x)\)
\(→ y'y^{-n} +p(x)y^{1-n}=q(x)\) \(\sc{:②}\)
上式に\((1-n)\) を掛ける。
\(\ul{(1-n)y'y^{-n}} +(1-n)p(x)y^{1-n}\)\(=(1-n)q(x)\)

ここで以下の合成関数を微分すると
\( (y^{1-n})'=(1-n)y^{(1-n-1)} y'=(1-n)y^{-n}\ y'\) により

\(\ul{(y^{1-n})'} +(1-n)p(x)y^{1-n}\)\(=(1-n)q(x)\) \(\sc{:②}\)
ここで \(u=y^{1-n}\) とおくと
右辺はxのみの関数となり,次の１階線形微分方程式を得る。

∴ \(u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)\) \(\sc{:②}\)
( \(\s{ y'+p(x)y=q(x) }\) \(\sc{:❶}\) ）

以上をまとめると：

ベルヌーイ微分方程式の解法

ベルヌーイの微分方程式:

\(\s{\dsfr{dy}{dx}}+p(x)y=q(x)y^n\)\(\sc{:❻}\) \(\s{(n \ne 0,\ 1)}\)

与式両辺に \(y^{-n}\) を掛け,さらに \((1-n)\) を掛ける:
\(\ul{(1-n)y'y^{-n}} +(1-n)p(x)y^{1-n}\)\(=(1-n)q(x)\)
\(→\ul{(y^{1-n})'} +(1-n)p(x)y^{1-n}\)\(=(1-n)q(x)\)

ここで \(u=y^{1-n}\) とおくと
•次式の u \(\sc{(=y^{1-n})}\) の1階線形微分方程式 となる：

\(u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)\)\(\sc{:❼}\)

--- あとは先に学んだ1階線形微分方程式を解きます。 ---

1階線形微分方程式の解の公式を\(y \to u\) にすると
\(u'+p(x)u=q(x)\) \(\sc{:❶(関数u表記)}\)
\(u=e^{-\int p(x)dx}( \int q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\)\(\sc{:❺(関数u表記)}\)

例題4

\(y'+y=e^x y^2\)\(\sc{\ :①}\) \(\s{n=2}\)

与式両辺に \(y^{-2}\) を掛け,さらに \((1-n)=-1\) を掛ける:
\(y^{-2}y'+yy^{-2}=e^x\) \(→ \ \ul{-1y^{-2}y'}-1y^{-1}=-1e^x\) \( →\ (\ul{y^{-1})'}- y^{-1}=-e^x \)
\(\s{u=y^{1-n}=y^{-1}}とおき \ → \) \(\ul{u'- u=-e^x} \)
u の1階線形微分方程式となり、以下これを解いていく。

\(u'+p(x)u=q(x)\)\(\ ,\ \) \(u=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\)

\(p(x)=-1,\ q(x)=-e^x\) として上記の解の公式❺を使い解いていく。
\(u=e^{-\int -1 dx}(\int -e^x e^{ \int -dx}\ dx+C)\) \(→ =e^{x}(\int -e^x e^{-x}\ dx+C)\) \(→ =e^{x}(\int -1 dx+C)\)

\(u=e^{x}(-x +C)\)
\(y=u^{-1}=\dsfr{1}{e^{x}(-x +C)}\)

例題5

\(y'+\frac{1}{x}y=2y^3\)\(\sc{\ :①}\) \(\s{n=3}\)

与式両辺に \(y^{-3}\) を掛け,さらに \((1-n)=-2\) を掛ける:
\(y^{-3}y'+\frac{1}{x}y^{-2}=2\) \(→ -2 y^{-3}y'-2 \frac{y^{-2}}{x}=-4\) \(→ (y^{-2})'- \frac{2}{x} y^{-2}=-4\)
\(\s{u=y^{1-n}=y^{-2}}とおき\ →\ \) \( \ul{u'- \frac{-2}{x} u =-4} \)
1階線形微分方程式となり、これを解いていく。

\(u'+p(x)u=q(x)\)\(\ ,\ \) \(u=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\)

\(p(x)=-\frac{2}{x} , q(x)=-4\) として解の公式❺を使い解いていく。

\(-\int p dx=-\int -\frac{2}{x} dx\)\(=2\int \frac{1}{x} dx\)\(=2 log |x|\)\(=log x^2\)

\(\int p dx=\int -\frac{2}{x} dx\)\(=-2\int \frac{1}{x} dx\)\(=-2 log |x|\)\(=log x^{-2}\)

\(e^{-\int p(x)dx}=e^{log x^2}=x^2\) \(\ ,\ \) \(e^{\int p(x)dx}=e^{log x^{-2}}=x^{-2}\) ⇒導出 \(e^{logA}=A\) ☞【参照先】

\(u=e^{-\int p(x)dx}\ (\int q(x)\ e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\) \(=e^{-\int -\frac{2}{x}\ dx}\ (\int -4\ e^{\ \int -\frac{2}{x} dx}\ dx+C)\) \(=x^2 ( -\int 4 \cdot x^{-2} dx+C ) \) \(=x^2 ( 4 x^{-1}+C ) \)
\(y=\dsfr{1}{\sqrt{u}}\) \(=\dsfr{1}{x \sqrt{\frac{4}{x} +c}}\) \(=\dsfr{1}{\sqrt{4x+cx^2}}\)

例題6

\(y'+\frac{1}{x}y=2y^4\)\(\sc{\ :①}\) \(\s{n=4}\)
例題5との違いは\(\s{n=4}\)のみです

与式両辺に \(y^{-4}\) を掛け,さらに \((1-n)=-3\) を掛ける:
\(y^{-4}y'+\frac{1}{x}y^{-3}=2\) \(→ -3 y^{-4}y'-3 \frac{y^{-3}}{x}=-6\) \(→ (y^{-3})'- \frac{3}{x} y^{-3}=-6\)
\(\s{u=y^{1-n}=y^{-3}}とおき\ →\ \) \( \ul{u'- \frac{-3}{x} u =-6} \)
1階線形微分方程式となり、これを解いていく。

\(u'+p(x)u=q(x)\)\(\ ,\ \) \(u=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x) e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\)

\(p(x)=-\frac{3}{x} , q(x)=-6\) として解の公式を使い解いていく。

\(-\int p dx=-\int -\frac{3}{x} dx\)\(=3\int \frac{1}{x} dx\)\(=3 log |x|\)\(=log x^3\)

\(\int p dx=\int -\frac{3}{x} dx\)\(=-3\int \frac{1}{x} dx\)\(=-3 log |x|\)\(=log x^{-3}\)

\(e^{-\int p(x)dx}=e^{log x^3}=x^3\) \(\ ,\ \) \(e^{\int p(x)dx}=e^{log x^{-3}}=x^{-3}\) (※)
※導出 \(e^{logA}=A\) ☞【参照先】

\(u=e^{-\int p(x)dx}\ (\int q(x)\ e^{ \int p(x)dx}\ dx+C)\) \(=e^{-\int -\frac{3}{x}\ dx}\ (\int -6\ e^{\ \int -\frac{3}{x} dx}\ dx+C)\) \(=x^3 ( -\int 6 \cdot x^{-3} dx+C ) \) \(=x^3 ( 3 x^{-2}+C ) \)
\(y=\dsfr{1}{(u)^{\frac{1}{3}}}\) \(=\dsfr{1}{\{x^3 ( 3 x^{-2}+C )\}^{ \frac{1}{3}} }\)

\(∴ y=\dsfr{1}{( 3 x+Cx^3 )^{ \frac{1}{3}} }\)

以上

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1階線形微分方程式・ベルヌーイ方程式

はじめに

公式の導出

1)同次式(\(\sc{q(x) = 0}\))の解を求める

2)定数変化法により解を求める

1階線形微分方程式の公式

例題1

例題2

例題3

公式の補足

ベルヌーイの微分方程式

１階線形微分方程式への帰着方法

ベルヌーイ微分方程式の解法

例題4

例題5

例題6

[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした