ここでは同次形の1階微分方程式を変形して, 変数分離形に帰着して微分方程式を解くことを学びます。
☞ご注意： ここでの「同次形」は次の講義に登場する「同次(微分)方程式(斉次方程式)とは異なります。
同次形とは1階微分方程式が次の形の式です:
\( \dera{y}{y}=f\ (\frac{y}{x})=f(u)\) \(\ \) (\(u=\frac{y}{x}\))
例えば次の微分方程式を解こうして
\(\dera{y}{x}=\frac{x+y}{x}\) \(\sc{\quad:①}\)
① は同次形\(\dera{y}{x}=f(\frac{y}{x})\)のです。
そして ① を変形して
\((x+y)dy=\frac{1}{x}dx\) となり,
変数分離になりません。
そこで, \(u=\frac{y}{x}\) \(\sc{\ :②}\) として与式①に代入して
\(\dera{y}{x}=\dsfr{\frac{x}{x}+\frac{y}{x}}{\frac{x}{x}}\)
\(=\frac{1+u}{1}\)\(=\ul{1+u}\) \(\sc{\quad:③}\)
次に②を\(\sc{y=ux}\) とし, 微分(積の微分)する。
\(\dera{y}{x}=y'=\ul{u'x+u}\)\(\sc{\quad:④}\)
\(\sc{③=④ }\) から 次のように
変数分離ができます。
\(u'x+u=1+u\) \(\ →\ u'x=1\) \(\ →\ \ul{ \dera{u}{x}=\frac{1}{x} }\) \(\ →\ du=\frac{1}{x}dx\)
\(\int u=\int \frac{1}{x}dx\) \(\ →\ u=log|x|+c\)
\(\frac{y}{x}=log|x|+c\)
\(\therefore y=x(log|x|+c)\)
以上により変数分離形に帰着して解くことができました。
(まとめ)
同次形
1階微分方程式を次式の形(変形して)
\(\dera{y}{x}=f(\frac{y}{x})\) \(\quad \sc{ :❶}\)
を同次形の微分方程式といいます。
この一般解の求め方は以下の通り:
\(y=ux\)\(\sc{\ :❷}\) とおき \(y=ux\)として, 微分(積の微分)すると:
\(\dera{y}{x}=y'\sc{=u'x+ux'}=\ul{u'x+u=f(u)}\)\(\sc{\ :❸}\)
\(\ \sc{❸}\)の別表記 \(y'=\dera{u}{x}x+u=f(u)\) \( \sc{\ :❸'}\)
\(\dera{y}{x}=f(u)\)\(\sc{ :❶'}\) とおき, そして \(\ \sc{❸=❶=❶'}\) だから:
\(\ul{u'x+u=f(u)}\) \(\ →\ u'x=f(u)-u\) \(\ →\ u'=\dera{u}{x}=\frac{f(u)-u}{x}\)
次のように変数分離形にできる
\(\frac{1}{f(u)-u} \dera{u}{x}=\frac{1}{x}\)
両辺をx で積分すると
\(\frac{1}{f(u)-u} \dera{u}{x} dx =\frac{1}{x} dx \)
\(\sc{\dsi} \frac{1}{f(u)-u} du =\sc{\dsi} \frac{1}{x} dx \)
同次形の見分け方
\( \dera{y}{x}=f\ \left( \dsfr{y---}{x---} \right) \)の形にして
分母と分子の\(x,\ y\) の次数が同じの同次多項式あることです。
\(\s{y'=(\frac{2x^2+y^2}{xy})}\) :〇 (∵分子と分母が2乗で同じ)
\(\s{y'=(\frac{x^2 \b{y}+y^2}{xy})}\):Ⅹ (∵\(\s{x^2 y}\)は3乗だから)
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次の例題は同次形の微分方程式の一般解を求めよ。
例題1
\(y'=\frac{x^2+y^2}{xy}\)
与式は分母と分子の次数が同じで, 式❶を満足するから同次形である。
\(u=\frac{y}{x}\)\(\sc{\ :①}\) とおき, \(y=ux\)
\(y'=u'x+u\)\(=\ul{\dera{u}{x}x+u}\)\(\sc{\ :②}\)
与式を何で割ると \(u\) でまとまるか
与式の右辺を \(xy\) で割り, 次の如く変形できる:
\(y'=\dera{y}{x}=y'\)\(=\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{1}\)
\(=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)\(=\ul{\dsfr{1}{u}+u}\)\(\sc{\ :③}\)
与式=③=② であるから, これを変数分離形に変形して積分できる
\(\ul{\dera{u}{x}x+u}\)\(=\ul{\frac{1}{u}+u}\) \(\ \clb{\to} \) \(\dera{u}{x}x\)\(=\frac{1}{u}\) \(\ \clb{\to} \)
\(u\dera{u}{x}=\frac{1}{x}\)
変数分離形の積分をする
\( \sc{\dsi} u \dera{u}{x} dx = \sc{\dsi} \frac{1}{x} dx\) \(\ →\\ \) \( \sc{\dsi} u du =\sc{\dsi}\frac{1}{x} dx\) \(\ →\\ \) \(\frac{1}{2}u^2=log|x|+C\)
\(\ →\\ \) \((\frac{y}{x})^2=2log|x|+2C\)
\( y^2=x^2(2log|x|+2C)\) \(\ →\\ \) \( y=\pm x \sqrt{2log|x|+2C}\)
新たな\(C_0\) とし \(C=log C_0\) とすると
\( y=\pm x \sqrt{2log|x|+2logC_0}\)\(=\pm x \sqrt{2logC_0|x|}\)
例題2
\(y'=\frac{x-y}{x+y}\)
与式の右辺を x で割り, \(u=\frac{y}{x}\)とすると:
\(y'=\dsfr{\frac{x}{x}-\frac{y}{x}} {\frac{x}{x}+\frac{y}{x}}\)
\(=\dsfr{1-u}{1+u}\)
上式と定義の\( \sc{\ ❸'}\)は等しいから
(\(y=ux\) \(\ →\\ \) \(y'=\dera{u}{x}x+u=f(u)\) \( \sc{\ :❸'}\))
\(y'=\dera{u}{x}x+u\)\(=\frac{1-u}{1+u}\)\(\ →\ \dera{u}{x}x=\frac{1-u}{1+u}-u\)
\(\ →\ \dera{u}{x}x=\frac{1-2u-u^2}{1+u}\)
\(\ →\ \frac{1+u}{1-2u-u^2} \dera{u}{x}=\frac{1}{x}\)
両辺に\(-1\) を掛けて,変数分離形に変形する
\(\frac{1+u}{u^2+2u-1} \dera{u}{x} dx=-\frac{1}{x} dx\)
\(\ →\ \frac{1}{2} \int \frac{2(1+u)}{u^2+2u-1} du=-\int \frac{1}{x} dx\)
ここで \( \sc{\dsi} \frac{f'}{f}=log f\) より
\(\frac{1}{2} log |u^2+2u-1|=-log|x|+C\)
\(C=log C_1\)と置くと \(-log|x|+log C_1=logC_1|x|\)
\(log |u^2+2u-1|=-2 logC_1|x|\)\(= log(C_1|x|)^{-2}\)
logを外し, u をx,y に戻すと:
\(u^2+2u-1=(C_1 x)^{-2}\) \( \ →\ [(\frac{y}{x})^2+2 \frac{y}{x}-1)]x^2=C_1^{-2} \)
\(C_0=C_1^{-2}\) として:
\( \therefore \ y^2+2xy-x^2-C_0=0\)
例題3
\(y'=\frac{y^2}{x^2+xy}\)
与式は同次形である。(分子と分母の次数が同じ)
これを\(x^2\) で割り, \(u=\frac{y}{x}\) とすると:
\(y'=\frac{\frac{y^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{xy}{x^2}}\)
\( \ →\ y'=\frac{u^2}{1+u}\)
上式と定義の\( \sc{\ ❸'}\)は等しいから
(\(y=ux\) \(\ →\\ \) \(y'=\dera{u}{x}x+u=f(u)\) \( \sc{\ :❸'}\))
\(y'=\dera{u}{x}x+u\)\(=\frac{u^2}{1+u}\) \( \ →\ \dera{u}{x}x=\frac{u^2}{1+u}-u\)
\( \ →\ \dera{u}{x}x=\frac{u^2}{1+u}-u\)\(=\frac{u^2-u(1+u)}{1+u}\) \(=\frac{-u}{1+u}\)
\(\ →\\ \) \(-\frac{1+u}{u}\dera{u}{x}=\frac{1}{x}\) \(\ →\ \frac{1+u}{u}\dera{u}{x}=-\frac{1}{x}\)
次に変数分離形にして積分する
\(\int (\frac{1+u}{u}) du= \int - \frac{1}{x} dx\) \(\ →\ \int (\frac{1}{u}+1)du = \int - \frac{1}{x} dx\)
\(\ →\ log|u|+u=-log |x|+C\)
u を x,y に戻すと:
\(log|\frac{y}{x}|+ \frac{y}{x}=-log |x|+C\) \(\ \clb{\to}\ \) \(log|y|-log|x|+\frac{y}{x}=-log |x|+C\)
\(\ \clb{\to}\ \) \(log|y|+\frac{y}{x}=C\)
\(\ \therefore log|y|+\frac{y}{x}-C=0\)
解の別表示
\(log|y|=C-\frac{y}{x}\) \(\ →y=\pm e^{(C-{\frac{y}{x}})}\) \(\ → y=\pm e^{C} \cdot e^{-\frac{y}{x}}\)
\(\ →\ y=\pm (\ul{C_1}\ e^{-\frac{y}{x}})\)
\(\ \therefore y= \pm (C_0 e^{-\frac{y}{x}})\) \(\sc{但し(C_0=C_1)}\)
例題4
\(y'=\frac{xy+y^2}{x^2}\)
与式は同次形である。(分子と分母の次数が同じ)
これを\(x^2\) で割り, \(u=\frac{y}{x}\) とすると:
\(y'=\frac{\frac{xy}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}}\) \(=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\) \(=u+u^2\)
\( \ →\ y'=u+u^2\)
上式と定義の\( \sc{\ ❸'}\)は等しいから
(\(y=ux\) \(\ \clb{\to}\ \) \(y'=\dera{u}{x}x+u=f(u)\) \( \sc{\ :❸'}\))
\(y'=\dera{u}{x}x+u\)\(=u^2+u\) \( \ →\ \dera{u}{x}x=u^2\) \( \ →\ \dera{u}{x}=\frac{1}{x} u^2\)
\( \ →\ \frac{1}{u^2} du =\frac{1}{x} dx\)
\( \sc{\dsi} \frac{1}{u^2} du = \sc{\dsi} \frac{1}{x} dx\) \( \ →\ -\frac{1}{u} =log|x|+C\)
\(C_1=logC\) とおくと
\( \ →\ -\frac{1}{u} =log\ C_1|x|\) \( \ →\ -\frac{x}{y} =log\ C_1|x|\)
\( \therefore y=-\frac{1}{x}(log\ C_0|x|) \) \(\ \sc{(但し C_0=C_1)}\)
以上
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