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湘南理工学舎
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2025/07/19
 楽しく学ぶ…微分方程式

1階常微分方程式

 微分方程式の基本と変数分離形 


(basics of differential equation) (separable differential)

 --目　次--
  • ♦はじめに
  • ♦直接積分形


    •
  •  ♦例題:

    •
  •  1) \(y'=6x^2-5\)
  •  2) \(y'-cos\ 2x+1=0\)
  •  3) \(y'=\frac{x^2}{1+x^3}\)

  • ♦用語の説明
  • ♦変数分離形


    •
  •  ♦例題:

    •
  •  4) \(y'=y^2-1\)
  •  5) \(y'=\frac{y^2-4}{4x} \)
  •  6) \(y'=\frac{y^2}{x^2+1}\)
  •  7) \(y'=\frac{1}{L}(E-R\ y)\)

  • ♦応用例(直流回路)
  • ♦数理モデルと上記応用例

    • はじめに


     これまでの方程式の解は数値でしたが、この微分方程式の解は関数です。
    さらにその解は複数存在するのが一般的です。
    微分方程式を大別すると 1変数を扱う常微分方程式 と 多変数を扱う偏微分方程式 の2つです。
     独立変数\(x\) の関数\(y\) があってその導関数を\(y'(x)\)とすると その導関数\(y'\) と \(x, y\) を含んだ方程式を常微分方程式といい, またこの 微分方程式を解く とは, その中に含まれる未知関数 \(y=y(x)\)を求めることです。
     また 独立変数が2つの \(x, y\) の関数 \(u(x,y)\) があってその導関数を\(u_x, u_y\) とすると この導関数 \(u_x, u_y\)と \(u,x,y\) を含んだ方程式を 偏微分方程式 といい, この未知関数は\(u(x,y)\) です。
    以後,ここでは常微分方程式を単に微分方程式と呼びます。

     以下は線形の微分方程式の例です。
    1階微分方程式:
  • ♦\(\ y'=ax+bx+c\) ①  
  • \(\s{\dera{y}{x}=ax+bx+c}\) ①'

    • 2階微分方程式:
  • ♦\(\ xy''+y'-y=0\) ②  
  • \(\s{x\dder{y}{x}+\dera{y}{x}-y=0}\) ②'

    • 1階偏微分方程式:
  • ♦\(\ \s{U_x+U_y+U_z}=0\) ③  
  • \(\sc{\pder{U}{x}+\pder{U}{y}+\pder{U}{z}}=0\) ③'

    • 2階偏微分方程式:
  • ♦\(\ \s{U_{xx}+U_{yy}+U_{zz}}=0\) ④  
  • \(\sc{\pdera{U}{x}+\pdera{U}{y}+\pdera{U}{z}}=0\) ④'

    • ・高階の\(k\)階導関数を \(\ y^{k}(x)\), \(\ \sc{\dsfr{d^ky}{dx^k}}\) と表します。
    ・線形とは上の例のように未知関数 \(y,\ u\) やその導関数が1次式の方程式を線形といいます。
     次は非線形の例です
    \(y'+\ul{y^2}+\cdots\), \(\ \ul{(y')^2}+xy+\cdots\),\(\ \ul{yy"}+xy+\cdots\)

    微分方程式を解くとは、方程式を満たす未知関数を求めることです。
    第一歩として直接積分形を使い微分方程式を解いてみましょう。
    直接積分形は導関数\(y'\) が\(x\) の関数\(f(x)\) だけの微分方程式で, 両辺を\(x\) の積分により解くことができます。

     直接積分形 


     \(\dera{y}{x}=y'=f(x) \)  ❶
    の形の微分方程式を直接積分形といいます。
    その一般解は 両辺を \(x\) で積分, 任意定数を \(C\) として
     \(y=\s{\dsi} f(x) dx=F(x)+C \)  ❷
    この式を微分方程式の 一般解 という。
    n階 の微分方程式には n個 の任意定数が存在し, 一般解には n個 の任意定数が含まれる。
    この先を学ぶにあたり, 積分の復習は次を参照して下さい。
    ☞積分公式【参照先】 ☞置換積分【参照先】
    ☞部分積分【参照先】 ☞有理関数の積分【参照先】

    この直接積分形を用いて次を解いてみよう！
    例題1

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
    また初期条件\(y(0)=0\) での特殊解を求めてグラフを描け。
     \(\s{\dera{y}{x}}=y'=6x^2-5\)

     解:
    \(y=\sc{\dsi} f(x)dx=\sc{\dsi} (6x^2-5) dx+C\)
    \( \cl{\to} \) \(\sc{\dsi}6x^2dx-\sc{\dsi}5dx+C\)\( \cl{\to} \) \(=\frac{6}{3}x^3-5x+C\)\(=2x^3-5x+C\)

    一般解 \(y=2x^3-5x+C\)
    このように微分方程式を解くとは, 不定積分を解くことです。

    次に初期条件 \(y(0)=0+C=0\)より \(\quad ∴C=0 \)
    特殊解 \(y=2x^3-5x\)

    直接積分形
    fig1 一般解は無数の曲線群
    一般解は任意定数Ｃを含むため、定数の値によって異なる曲線を表せることから, 微分方程式の一般解は、無数の曲線群で表すことがある。

    例題2

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
    また初期条件\(y(0)=0\) での特殊解を求めよ。
     \(\s{\dera{y}{x}}-cos\ 2x+1=0\)

     解:
    与式を変形
    \(\s{\dera{y}{x}}=cos\ 2x-1\)
    \(y=\sc{\dsi} (cos\ 2x-1)\ dx + C\)
    \( \cl{\to} \) \(=\sc{\dsi} cos\ 2x\ dx-\sc{\dsi} 1\ dx +C\)
    一般解 \(y=\frac{1}{2} sin 2x -x +C\)

     次に初期条件 \(y(0)=0-0+C=0\)より \(\quad ∴C=0 \)
    特殊解 \(y=\frac{1}{2} sin 2x\)

    例題3

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
    また初期条件\(y(0)=1\) での特殊解を求めよ。
     \(\s{\dera{y}{x}}=\frac{x^2}{1+x^3}\)

     解:
    \(y=\sc{\dsi} \frac{x^2}{1+x^3}dx\) \(=\frac{1}{3} \sc{\dsi} \frac{3x^2}{1+x^3}dx\)
    \(\int \frac{f'}{f} dx=log|f|\) を使うと
    一般解 \(y=\dsfr{1}{3}log |1+x^3|+C\)

    次に初期条件 \(y(0)=0+C=1\)より \(\quad ∴C=1 \)
    特殊解 \(y=\dsfr{1}{3}log |1+x^3|+1\)

    用語の説明


    線形と非線形
     未知関数\(y\)とその導関数\(y'\)の次数が1次を線形, 2次以上を非線形といいます。
    •線形はすでに提示済です⇒冒頭の式①～④ (1次式であり線形です。)
    •非線形の例:
  • ⋄\(y'=\ul{y^2}+3x\)
  • ⋄\(\ul{yy'}+xy+1=a\)
  • ⋄\(\ul{(y')^2}+y'+x=a\)

    • 一般解・特殊解・特異解
     上記 式❷のような任意定数を含む解を一般解といいます。
    また一般解について 次の初期条件と境界条件などの条件を付けて任意定数を定め解を特定する,この解を特殊解をいう。
    物理の過渡現象の究明などの応用面では特殊解が必要になることがあります。
    一般解では表現できない解, 一般解の任意定数にどんな値を代入しても得られない解を特異解をいう。
    特異解については例題5を参照
    初期条件(付帯条件1)
    ある区間の一点 \(x=a\) における \(y(a)=A\) を初期条件という。
    初期条件により\(C\)が決定できる。
    \(y(a)=F(a)+C=A\) \(\ \therefore C=A-F(a)\)
    境界条件(付帯条件2)
    ある区間[a,b]において, その境界(両端) \(y(a)=A\), \(y(b)=B\)を 境界条件という。

     正規形と非正規形
    \(y'=f(x,y)\)(※)で表せる微分方程式を正規形です。…これから学ぶ対象です。
    1) ※:n階微分の正規形では\(y^{(n)}=f(x,y,y'\cdots y^{(n-1)}\) と表します。
    2) 上の例題2の与式 \(\s{\frac{dy}{dx}-cos\ 2x+1=0}\) は変形すれば正規形になります。

     正規形に表せないものを非正規形という。
    陰関数, 非線形などは非正規形… 次式は具体例です。
  • ♦\(y^2+2yy'=0\)  
  • ♦\(x^2+y^2-2xyy'=0\)  
  • ♦\((y')^2=-x\)  
  • ♦\(yy'+xy=1\)

    • まず, これから微分方程式の解法として基本的技法かつ多用される変数分離形について学んでいきましょう！

     変数分離形 


    \(x\) のみの関数 \(\s{f(x)}\) と \(y\) のみ関数 \(\s{h(y)}\) に分離している下式❸ が 変数分離形の微分方程式という。
    \( \dera{y}{x}= \ul{\b{f(x)}}\ \ul{\b{h(y)}}\)  ❸
    \( \frac{1}{h(y)} \dera{y}{x}= f(x)\) ❸'
    \(h(y) \ne 0\) とする (詳細は※1を参照)

     両辺をx で積分すると
    \( \int \ul{\frac{1}{h(y)} \dera{y}{x}} dx = \int \ul{\frac{1}{h(y)} dy} \) \(= \int f(x) dx \)
    下線部は置換積分
    一般解は任意定数をC として次式で与えられる
    \( \sc{\dsi} \frac{1}{h(y)} dy=\sc{\dsi} f(x) dx+C\)  ❹
    注(※1):
    \(h(y)=0\)では分母がゼロの不定形演算を避けるため, \(h(y) \ne 0\)としている。
    \(h(y_0)=0\) となる\(y_0\) が式❸ の解なら, \(h(y) =0\) にならない関数だけを考えればよい。
    一般解を求めた後に \(y_0\) の解について考察する。(例題4, 5 を参照)

    例題4

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
     \(\dera{y}{x}=y^2-1\)  ①
    変数\(x\)がない → 解の途中で現れるよ
    解:
    変形して:
    \(\s{\dera{y}{x}}=1 \cdot (y^2-1) \)
    変数分離形にして積分する
     \(\int \frac{1}{y^2-1}dy\) \(=\int 1 \cdot dx\)
    \(\sc{\dsi} \frac{1}{(y-1)(y+1)}dy\) \(=\sc{\dsi 1 \cdot dx}\)
    部分分数分解をして
    \(\frac{1}{(y-1)(y+1)}\)\(=\frac{1}{2} (\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1})\)

    左辺\(=\sc{\dsi} \frac{1}{2} (\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1})dy\) \(=\frac{1}{2} \ul{(log(y-1)-log(y+1))}\)
    ∴ \(\frac{1}{2} \ul{log | \frac{y-1}{y+1}|}\)\(=x+C_1\)
    さらに 式変更を続ける:
    \(| \frac{y-1}{y+1}|=e^{2(x+C_1)}\) \(= \ul{e^{2C_1}}\ e^{2x}\)
     \(C=\pm e^{2C_1}\)とおき, 絶対値を外す
    \(\frac{y-1}{y+1}\)\(=\ul{ \pm e^{2C_1}} \ e^{2x}\)\(= C \ e^{2x}\)
    ｙについて解く: \(A=C\ e^{2x}\)とおき
    \(y-1=(y+1)A\)\(=yA+A\)\(\ → y-yA=A+1\)\(\ → y=\frac{1+A}{1-A}\)

    ∴\(y=\dsfr{1+C\ e^{2x}}{1-C\ e^{2x}}\)
    以上が求める一般解です。
    \(y=\pm 1\)は与式 ①の解(∵①に代入して①が成立するから)ですが, さらに調べます。
    \(y= 1\)は特殊解……一般解の \(C=0\) の解である。
    \(y=-1\)は特異解……一般解の\(C\) をどんな有限値(※)についても求まらない。
     (※):任意定数Cでは\( \pm \infty\)は考えない。

    例題5

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
     \( \dera{y}{x}=\s{ \dsfr{y^2-4}{4x} }\)  ①

     解:
    \( \dsfr{dy}{dx}=\dsfr{1}{x} \dsfr{y^2-4}{4}\) \(\ \cl{→}\ \)\(\dsfr{4}{y^2-4}=\dsfr{1}{x}dx\)
    \(\ \cl{→}\ \)\( \frac{4}{(y+2)(y-2)}dy=\frac{1}{x}dx \ \sc{②} \) \(\ \cl{→}\ \) \( ( \frac{1}{(y-2)}-\frac{1}{(y+2)} )dy=\frac{1}{x}dx\)
    \( \sc{\dsi} (\frac{1}{(y-2)}-\frac{1}{(y+2)})dy=\sc{\dsi} \frac{1}{x}dx\) \( \cl{→} \) \( log |y-2|-log |y+2|=log |x|+C_1\)

     \(C_1=log\ C_2\)とおくと
    \( \cl{\to} \) \( log\ |\frac{y-2}{y+1}| =log\ |x|+log\ C_2\)\(=log\ C_2 |x|\)
     \(C=\pm C_2\)とおき
    \( \dsfr{y-2}{y+1} =\pm C_1\ x = C\ x\)
    ｙについて解くと: \(A=C_2 x\)とおき \(y=\frac{1+A}{1-A}\)
    \(∴ y=\dsfr{1+C x}{1-C x}\)

    例題6

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
     \(\dera{y}{x}=\frac{y^2}{x^2+1}\)  ①

     解:
    \(y \ne 0\)として \(\frac{1}{y^2}\s{\dera{y}{x}}=\frac{1}{x^2+1}\)
    両辺をxで積分する
    \(\s{\dsi} \frac{1}{y^2} dy=\s{\dsi} \frac{1}{x^2+1}dx\)
    三角関数の積分を思い出そう ☞【参照先】
    \(-\frac{1}{y}=tan^{-1}x +C \)
    \(\therefore y=- \frac{1}{tan^{-1}x+C}\)
    はじめに除外した\(y=0\) は与式の解になっている, 特異解です。
    \(y=0\)が与式① を満足するから方程式の解であるであるが,一般解の任意定数Ｃにいかなる有限値をとってもこの解は求まらないから特異解です。
    (\( -\frac{\pi}{2} \leq tan^{-1}x \leq \frac{\pi}{2}\))

    例題7

    次の微分方程式の一般解を求めよ。
     \( \dera{y}{x}=\frac{1}{L}(E-R\ y)\) :①
    但し \(\s{E-R\ y \ge 0 }\) :② とする。

     解:
    \( \dera{y}{x}=\frac{1}{L}(E-R\ y)\)
    \( \frac{1}{E-R\ y} \dera{y}{x}=\frac{1}{L}\)

     変数分離形により
     \(\int \frac{1}{E-R\ y} dy\) \(=\int \frac{1}{L} dx\)
    左辺: \(u=E-R\ y\) とおくと \(, \quad\) \(\s{\dera{u}{y}}=-R\) \(, \quad\) \(\therefore dy=-\frac{1}{R}du\)
    \(\int \frac{1}{E-R\ y} dy\) \(=\int \frac{1}{u} \cdot -\frac{1}{R}du\) \(=-\frac{1}{R} \int \frac{1}{u} du\) \(=-\frac{1}{R} log\ u\)\(=-\frac{1}{R} log |E-R\ y|\)
    \(-\frac{1}{R} log |E-R\ y|=\frac{1}{L}x+C\)
    上記②の条件で絶対値を外す
    \(log |E-R\ y|=-\frac{R}{L}x+C_1\) \(\ \sc{(C_1=-RC)}\)
    \(E-R\ y=e^{-\frac{R}{L}x+C_1}\)\(=e^{-\frac{R}{L}x} \cdot e^{C_1}\) \(=C_2 e^{-\frac{R}{L}x}\) \(\ \sc{(C_2= e^{C_1})}\)
    一般解は：
    \(\therefore y=\frac{1}{R}(E+ C_2 e^{-\frac{R}{L}x})\))  :③

    この微分方程式を利用した例を紹介します:
    【応用例】
    抵抗-コイルの直列回路の過渡現象
    微分方程式
    fig2
    式①を変形して
    \( L \dera{y}{x}+R\ y=E\) :①'
    さらに変数を \(x⇒t\ (時間),\ y⇒i\ (電流)\) に換えると:
    \(\ul{L \dera{i}{t}+R\ i=E }\)  :①''
    また, R: 抵抗, L: インダクタンスです
    この微分方程式は回路のSwをONした瞬間の過渡現象の式です。
    方程式を作るには専門知識と微分方程式の知識が必要です。
    電流i の急激な変化に抵抗を示すのがインダクタンスL です。
    SwをON して回路に急激に電圧E を加えると 電流i はオームの法による\(i=\frac{E}{R}\) になりません。
    電流i は以下のグラフのように上昇して, \(i=\frac{E}{R}\)に到達し安定します。
    この一般解は例題の結果③の変数を換えて
    \(i=\frac{1}{R}(E+ C_2 e^{-\frac{R}{L}t})\)) :③'
    また初期条件 (t=0 のとき i=0）の特殊解とグラフの概要を描く。
    \(0=\frac{1}{R}(E+ C_2 e^{-\frac{R}{L}0})\))
    \(E-Ri=C_2 e^{-\frac{R}{L}t}\)
    \(i(0)=0\) のとき \(0=\frac{1}{R}(E+ C_2 e^{-\frac{R}{L}0})\)
    \(0=\frac{1}{R}(E+ C_2)\) \(\quad \therefore C_2=E\)

    従って次式が特殊解です。
    \(i=\frac{E}{R}(1+ e^{-\frac{R}{L}t})\)
    電流\(i\) は指数関数的に上昇し，定常電流\(i=\frac{E}{R}\)に到達する。
    微分方程式
    fig3

    以上
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    [コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした

    …興味のある方へ…
    数理モデルと上記応用例
     はじめに言うことは 応用例の現象を表す「微分方程式」はこの回路を十分理解する「人」が考案します。
    数理(科学)モデルとは自然現象,社会現象を数学的な数式で表現したものです。
    自然現象を数理的に表現する方法として微分方程式が使われています。
    特に過渡現象などミクロ的な時間と共に変化するものは微分方程式が必須です。
    この回路でスイッチを入れると電流が流れようとしますが,コイルのもつ性質(インダクタンス:\(L\)) はそれを妨ぐ抵抗となります。
    インダクタンスによる抵抗をリアクタンス\(X_L\)といい、\(X_L=2\pi f L(Ω)\)の関係です。(f:周波数)
    従ってスイッチを入れた瞬間からこの回路に \(i=\frac{E}{R}\) の定常電流が流れるのではなく, この回路で決まる時定数後に定常電流の６割 に立ち上がってきます。
    具体的な数値を入れて言えることは
    時定数は \(τ=\frac{L}{R}\)で与えられ, L=10(H)(ヘンリー), \(R=1000Ω\)だと \(τ=\frac{10}{1000}=0.01(s)\)である。
    時定数とは定常電流の0.63%になるまでの時間のことです。
    また E=10(V) だと定常電流\(i=\frac{10}{1000}=0.01(A)=10(mA)\)である。
    これは次のように言える
    スイッチの投入後 0.01秒後, 定常電流0.01(A)の0.63倍=0.0063(A)になるまでは 0.01(s)秒かかる。

    以上
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