前回は重積分の基本である累次積分(多変数関数を１変数の積分にして繰り返す積分)について学びました。
累次積分をそのまま解くことが難しいとき変数変換によってより簡単に計算できることがあります。
ここでは、はじめに直交座標から極座標への変換、そして一般の座標変換について学んでいきます。
極座標変換は変数変換の中で最もよく登場します。　下図は極座標変換のイメージです。

  変数変換による重積分では一般にヤコビアンの係数を使いますが、この節では独自にヤコビアンの係数を求めて、解決します。
平面の直交座標において、ある点をP とすると、原点から点P までの距離\(r\) と正のx 軸となす角\(θ\)とする。
点P の位置は\((r, θ)\) で表され、この\((r, θ)\) を 「点P の極座標」という。
\(x, y\) は 点P の直交座標であり、この両者の関係は：
\(\quad x=r\ cosθ \quad y=r\ sinθ\)

x y 座標での積分領域D（扇形）は
\(D=\{(x ,\ y)\ |\ x^2+y^2=r^2\)\( ,\ a≤r≤b ,\ y≤0 \}\)
変換後の r θ 座標の積分領域(長方形)は
\(D'=\{r,　θ )\ |\ x^2+y^2=r^2\)\(,\ a≤r≤b,\ 0≤θ≤\frac{\pi}{2}\}\)
補足

変数変換の前後の積分領域 D と D’の全ての点は1対1 （全単射※）で対応していることに留意する。
（※:写像において、全単射とは単射かつ全射のことをという）
また変換前と後での重積分が等しいとは 全ての点において、積分領域と関数\(z=f(x,y)\)も1対1 で対応している。

前の講義「重積分1/面積確定」の「重積分とリーマン和」と同様に、領域 D の\(\Delta\)分割(小分割)の\(\Delta_{ij}\)\(=D_{ij}\)（上図の青色部）を考えます。
\(D_{ij}=\{ (r\ cosθ ,r\ sinθ)\ |\) \(\ (r_{i-1}≤r≤r_i),(θ_{j-1}≤θ≤θ_j) \}\)
\(\Delta\)分割の任意の点 \((x,y)=(x_{ij},y_{ij})\)とする。
（図の青色部の中の点です）
（ \(x_{ij}=r_{ij}cos\ θ_{ij} \) \(,\ y_{ij}=r_{ij}sin\ θ_{ij} \) ）

扇形の面積は \(s=\frac{1}{2}r^2 θ\)　 であるから
　 \( ( \because \frac{s}{θ}=\frac{\pi r^2}{2 \pi} ) \)

fig1 の左図の\(D_{ij}\)部の面積\(|D_{ij}|\) は

\( |D_{ij}|=\frac{1}{2}r_i^2 (θj -θ_{j-1})-\frac{1}{2}r_{i-1}^2 (θj -θ_{j-1}) \)
\(=\frac{1}{2} (r_i+r_{i-1} )(r_i-r_{i-1}) (θj -θ_{j-1}) \)
\(=\frac{r_i+r_{i-1}}{2} (r_i-r_{i-1}) (θj -θ_{j-1}) \)
ここで \(\frac{r_i+r_{i-1}}{2}=r_{ij}\) とする。
\(=\underline{r_{ij}} (r_i-r_{i-1}) (θj -θ_{j-1}) \)

下線の \(r_{ij}\) は後で述べる「ヤコビアン」です。
大雑把にいうと変数変換のときの調整の係数の役割をする。

ヤコビアンを使い求まった底辺\( |D_{ij}|\)に、高さ\(f(x_{ij},y_{ij})\) かけて導かれる微小体積\(|V_{ij}|\)は:
 \(|V_{ij}|=f(x_{ij},y_{ij})|D_{ij}|\) である。
扇形全体の体積は 微小体積\(|V_{ij}|\)の 次のリーマン和で近似できる

\(V_D=\displaystyle \sum_{i}^n\displaystyle \sum_{j}^m |V_{ij}|\)
\( =\displaystyle \sum_{i}^n\displaystyle \sum_{j}^m f(x_{ij},y_{ij})|D_{ij}|\)
\( =\displaystyle \sum_{ij}^{nm} f(x_{ij},y_{ij}) r_{ij} \color{red}{ (r_i-r_{i-1}) (θj -θ_{j-1}) }\)
\( =\displaystyle \sum_{ij}^{nm} f(x_{ij},y_{ij}) r_{ij} \color{red}{ \Delta r_i \Delta θ_j }\)

この体積は領域D'（長方形）における体積と同じである。
\(V_{D'}=\displaystyle \sum_{ij}^{nm} F(r_{ij},θ_{ij}) r_{ij} \Delta r_i \Delta θ_j\)
（但し \(F(r_{ij},θ_{ij})=f(x_{ij},y_{ij})\)）

\(\Delta\) 分割を小さくしていくと次の積分に収束する。
 \( \iint_{D'} f(r\ cosθ,r\ sinθ) r\ dr\ dθ\)
以上のことから式❶が成り立ちます。

  積分領域であるユークリッド空間\(R^2\) において２つの平面（座標軸）を \((u,v)座標と(x,y)座標\) とします。
有界閉集合である \((u,v)平面のD と(x,y)平面の D'\)を考える。

これから2つの座標の変数\((u,v)\)から\((x(u,v),y(u,v))\)への変数変換を行う。
この変換の写像を\(\Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))\)と表記する。
∗\(x(u,v),y(u,v)は(u,v)に関してC^1級\) （1階偏微分可能 かつその導関数は連続）
∗積分領域 D と D'の全ての点は1対1 （全単射）で対応している。

 この変換は全単射の写像だから 領域\(D\)を小分割に分けると、それに応じて 領域\(D'\)も小分割になる。
微小な長方形の\(\Delta D\)は変換により滑らかな４辺の曲線片\(\Delta D’\)となる。
長方形\(\Delta D\)の面積は直接求まるが曲線片\(\Delta D’\)の面積をどう求めるかがポイントになる。
図では曲線座標の\(uv\)座標にベクトル\(\bv{A}, \bv{B}\)を表わしている。
2つの接線ベクトル\(\bv{A}, \bv{B}\)が張る面積は点\(a'\)における接平面です。
そしてベクトル\(\bv{A}, \bv{B}\) の外積の大きさ(絶対値)は接平面の面積を示す。
 (分割数を \(n \to \infty\) にするような微小な接平面の集合が曲面を形成する)
分割数\(n\)を大きくして分割を細かくしていくと曲線片の面積はその接平面に近似できるようになる。すなわち：
 \(ΔS= |\bv{A} \x \bv{B}| \) である。
【補足】 平行四辺形の面積

与式の下線部より関数\(f(x,y)\)は半径\(a\)の球体であり、極座標変換が使える。
（この例題の答えは半球体の体積である。）

注：座標原点にある球面の式は：
\(a^2=x^2+y^2+z^2\)
\(z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\)

また \(x=r conθ,\ y=r sinθ\)であるから
\(D'=\{(r,θ)|(rcosθ)^2+(rsinθ)^2≤a^2\)\(,\ 0≤r≤a ,\ 0≤θ≤2\pi\} \)

2次元の極座標のヤコビアンを求める
上記から\(J=r\)は既知であるが、これをヤコビアンの行列式により求めて確認してみる。

\(J= \begin{vmatrix} \pdif{x}{r} & \pdif{x}{θ} \\ \pdif{y}{r} & \pdif{y}{θ} \end{vmatrix} \) \(= \begin{vmatrix} cosθ & -r sinθ \\ sinθ & r cosθ \end{vmatrix} \) \(=cosθ rcosθ-(-)rsinθ sinθ\)\(=r(cos^2θ+sin^2θ)=r\)
期待通りの\(J\) が求まりました。

\(\dsii_D f(x,y) dxdy\) \(=\iint_D \sqrt{a^2-x^2-y^2} dxdy\) \(=\iint_D' \sqrt{q^2-(rcosθ)^2-(rsinθ)^2} |J|dr dθ \)
\(=\int_0^{2\pi} \left( \int_0^a \sqrt{a^2-(rcosθ)^2-(rsinθ)^2} \right. \) \(\left. rdr \right) dθ \)
\(=\int_0^{2\pi} \left(\underline{ \int_0^a \sqrt{a^2-r^2}\ rdr} \right) dθ \)

下線部の積分（置換積分）
\(a^2-r^2=u\) として
\(\frac{du}{dr}=-2r\) \(\quad\) \(dr=-\frac{1}{2r}du\)
\(\int r \sqrt{u} \cdot -\frac{1}{2r} du\) \(=-\frac{1}{2} \int \sqrt{u} du\)
\(=-\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}\) \(=-\frac{1}{3}(a^2-r^2)^{\frac{3}{2}}\)
\(\therefore \int_0^q \sqrt{a^2-r^2}\ rdr= \frac{1}{3}a^3\)

\(=\int_0^{2\pi} \frac{1}{3} a^3 dθ \) \(=\frac{1}{3}a^3 [\ θ\ ]_0^{2\pi}\)
\(=\frac{2}{3}\ \pi\ a^3 \)
(参考：球体の体積は　\(\frac{4}{3} \pi a^3\) )

領域Dを変形する。

朱記の領域の変形:
\(\color{red}{\ x-1≤y≤x }\ \) → \(\ -1≤y-x≤0\)
\((-1)\)を掛けると → \(\ 1 \ge x-y \ge 0\)

\(D=\{(x,y)|1≤x+y≤2\)\(,\ 0≤x-y≤1\} \)

\(x+y=u\) \(,\ x-y=v\) とする。
これより\(x,yとu,v\)の関係式は

\(x=\frac{u+v}{2}\) \(,\ y=\frac{u-v}{2}\)

変数変換後の積分領域は
\(D'=\{(x,y)|1≤u≤2\)\(,\ 0≤v≤1\} \)

さらにヤコビアンは

\(J= \begin{vmatrix} \pdif{x}{u} & \pdif{x}{v} \\ \pdif{y}{u} & \pdif{y}{v} \end{vmatrix} \) \(= \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & ー\frac{1}{2} \end{vmatrix} \)
\(=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\)

これより与式の重積分は:

\(\dsii_D f(x,y) dxdy=\iint_D (x+y) dxdy\) \(=\iint_{D'} f( x(u,v),y(u,v) ) |\ J\ | du\ dv\)
\(=\iint_{D'} f(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}) |\ J\ | du\ dv\)
\(=\iint_{D'} (\frac{u+v}{2}+\frac{u-v}{2})\ (\frac{1}{2}) du\ dv\)
\(= \int_0^1 \left( \int_{1}^{2} u \frac{1}{2} du \right) \ dv \)
\(= \int_0^1 [\frac{1}{4}u^2]_1^2 \ dv \) \(= \int_0^1 [\frac{3}{4}]_0^1 \ dv \) \(= [\frac{3}{4} v]_0^1 \ dv \) \(=\frac{3}{4}\)

この例題は被積分関数が少し複雑なので、変数変換の効果は大きい。
領域は例題4と同じなので、ヤコビアンを求めるまでは結果だけ記載する。 \(\iint_D f(x,y) dxdy=\iint_D \frac{x-y}{(x+y)^2} dxdy\)

\(=\iint_{D'} f(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}) |\ J\ | du\ dv\) \(= \int_0^1 \left( \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \frac{v}{u^2} du \right) \ dv \)

\(= \int_0^1 [\frac{1}{2} v (-\frac{1}{u})]_1^2 \ dv \) \(= \int_0^1 \frac{1}{4} v \ dv \)

\(= \frac{1}{4} [\frac{1}{2}v^2]_0^1\)\(=\frac{1}{8}\)