earth
湘南理工学舎

 楽しく学ぶ…相対性理論の準備

 座標の回転と回転行列

(rotation of coodinate and rotation matrix)

回転移動と回転行列
2次元空間内(※)におけるx y 直交座標(デカルト座標)の点の回転移動と回転行列(rotation matrix)について説明します。
注:(※)ユークリッド空間ともいいます、ユークリッド空間は簡単にいうと直交座標における幾何であり、相対論での曲がった空間と区別するときなどに使います。
rotation matrix
下図のx y 直交座標において原点O を中心として点 P(x,y) を角度θ だけ回転させたとき点 P'(x',y') とすると下式が成り立つ。
\((x,y)=( r\ cosα,r\ sinα )\)

\((x',y')= (r\ cos(α+θ),r\ sin(α+θ) )\)


\(x'=r\ cos(α+θ)=r\ (cosα\ cosθ -sin α\ sinθ)\)
\(\quad =r\ cosα\ cosθ -r\ sinα\ sinθ \)

\(\underline{x'= x\ cosθ-y\ sinθ}\)


\(y'=r\ sin(α+θ)=r\ (sinα\ cosθ +cosα\ sinθ)\)
\(\quad =r\ sinα\ cosθ + r\ cosα\ sinθ \) \(= y\ cosθ+x\ sinθ \)

\( \underline{y'= x\ sinθ+y\ cosθ} \)

上式を以下の行列の積の形に変形します。
\( \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) \( = \begin{bmatrix} ax + cy \\ bx + dy \end{bmatrix} \)

すなわち:

\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\) \(=\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ& cosθ\end{bmatrix}\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)


この式の中の
\(R(θ)=\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ& cosθ\end{bmatrix}\) 

回転行列といいます。 (反時計回り(CCW)が正)

時計回転り(cw)は負、下式です。
\(R(-θ)=\begin{bmatrix} cos(-θ) & -sin(-θ) \\ sin(-θ)& cos(-θ)\end{bmatrix}\) 

\( \quad =\begin{bmatrix} cosθ & sin(θ) \\ -sin(θ)& cos(θ)\end{bmatrix}\) 


回転座標の座標変換
 ここでの目的は 新座標(x',y') における 元の座標系の P(x,y) の表し方です。

原点が同じで、元の xy 座標より角度 θ を CCW方向に回転した新座標です。
新座標での点 P' は元の座標の点 P と合じ点にいます。それが fig1 です。
座標表示は 新座標= P'(x', y')、 元の座標= p ( x, y) です。
この状態(fig1)から新座標を角度θ、逆回転(CW方向)させ元の座標と同じすれば(fig3)、
P と P’ の角度は θ となります、注意すべきは、逆転させたので、回転行列は\(R(-θ)\)となります。

座標変換には変換係数があります。
回転座標の場合は回転行列により座標変換が行われます。
前項で学んだ変換係数として「\(R(-θ)\)の回転行列」を使います。
すなわち目的の式は:

\( \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \end{bmatrix}\) \( =\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ& cosθ\end{bmatrix}\)  \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

\(=R(-θ)\) \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

これを展開すると:
\(x'=x\ cosθ +y\ sinθ\)

\(y'=-x\ sin θ +y\ cosθ\)

となります。
目的であった、新座標での成分が元の座標成分で表示できました。

【fig1】
rotation matrix
【fig2】
rotation matrix

【fig3】
rotation matrix
補足すると、上記のことは座標変換しても、変換係数を介しての変換なので、2次元空間でのベクトル、点の位置などの情報量は保存されます。

coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした

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