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湘南理工学舎
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2021/3/27

 楽しく学ぶ物…物理数学

  偏微分と連鎖律

(partial differential and chain rule)
 --目 次--

偏微分の表示
偏微分の幾何学的意味
多変数の合成関数の微分(連鎖律)
連鎖律の例題
 ∗\(f(x,y)=(x+2y)cos\ xy \)
 ∗\(f=e^{(sin\ uv)+(u+v)} \)
 ∗\( f(t)=sin\ t cos^2\ t + 2 sin\ t \)

 滑らかな曲面の全体 \( z=f(x,y) \)

曲面/3次元

偏微分の表示
 2 変数関数の微分/偏微分の式を表します。記号は\( \partial \) (ラウンド)を使います。( 1 変数の微分はdを使います )
本講全般に適用する条件は扱う関数には偏微分係数が存在するとします。
表し方は以下の通り、いろいろです。

\( f_x= \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_x = \frac{\partial f}{\partial x} =\dot f_x \)
\( f_y= \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_y = \frac{\partial f}{\partial y} =\dot f_y \)

偏微分の幾何学的意味
 2変数関数 f を x で微分するとは…y を固定(定数扱い)にして x で微分操作して、\( f_x \)の計算ができます。
\( f_x \)の計算ではy を固定して、x で微分することです。
上図はこれを微分係数の概念を使い説明したものです。
y=b の平面で曲面を切って、断面に現れる曲線…この曲線のある点\( f(a,b,f(a,b))\) における接線を考えます。
そうするとこれは1変数の f(x) の微分と同じになります。すなわちこの点で x に関して微分可能ならば、接線の傾きは:
\( f_x(a,b)= \left( \frac{\partial f(a,b)}{\partial x} \right)_x\) \(= \frac{\partial f(a,b)}{\partial x} \)
となります。
同様にして x=a の断面における点\( f(a,b,f(a,b))\) における接線の傾きは:
\( f_y(a,b)= \left( \frac{\partial f(a,b)}{\partial y} \right)_y\) \(= \frac{\partial f(a,b)}{\partial y} \)
となります。

 それではここで例題を1つやりましょう。
上の説明は、ある点\( f(a,b,z(a,b))\)での微分係数のことでしたが、以下の例題は導関数を求めるものです。

例:\( f(x,y)=ax^2y^2 + bx^3y^2 \) の偏微分である \( f_x \) と \( f_y \) を求めよ。
\( f_x \) は y を定数,  \( f_y \) は x を定数して微分計算をします。
  すなわち:
\( f_x = 2axy^2 + 3bx^2y^2\) \(\quad f_y= 2axy^2 + 3bx^2y^2\)

ここでは物理学で頻繁に登場してくる連鎖律(chain rule)について学習しましょう。
多変数の合成関数の微分(連鎖律)
変数のとり方により表し方が異なるのですが…注意して下さい!

1.合成関数が \( f(u(x,y),v(x,y)) \) の場合
 (2変数関数… \( f(u,v),\ \ u(x,y),v(x,y)\) )
 u, v は x, y の関数です、以下の式はu と v の変数 (x, y )は省略して書きます。

\( \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \)

\( \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \)


2.合成関数が \( f(x(u,v),y(u,v)) \) の場合
 (2変数関数… \( f(x,y),\ \ x(u,v),y(u,v)\) )

\( \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \)

\( \frac{\partial f}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \)


3.合成関数が \( f(x(t),y(t)) \) の場合
 (2変数関数と1変数関数… \( f(x,y),\ \ x(t), y(t)\) )
\( \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \)


例題1:
\(f(x,y)=(x+2y)cos\ xy \) の \(f_x\) を求めよ。
\(u(x,y)=(x+2y),\ v(x,y)=cos\ xy\) とおく。
すると \(\ →f=u\ v\)

\(\underline{ f_x= \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} } \)

\(\frac{\partial u}{\partial x}=1\) \(\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-y sin\ xy \)

\( \frac{\partial f}{\partial u}=v \) \( \frac{\partial f}{\partial v}=u \)
\(=v \cdot 1+u \cdot -y\ sin\ xy\)

\(=cos\ xy + -y(x+2y) sin\ xy\)

\(f_y\) も同様に求まります。(ここでは省略します)
例題2:
\(f=e^{(sin\ uv)+(u+v)} \)の \( f_u\) を求めよ。
\( x=sin\ uv ,\ y=u+v \) とおく。
すると \(\ →f=e^{x+y} \)

\( \underline{f_u= \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} } \)
\(\frac{\partial x}{\partial u}=v cos\ uv\) \(\quad \frac{\partial y}{\partial v}=1\)

\( \frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y}\) \( \quad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y} \)
\(=e^{x+y}\cdot vcos\ uv + e^{x+y}\cdot 1\)

\(=e^{(sin\ uv)+(u+v))} (vcos\ uv + 1)\) \(f_v\) も同様に求まります。(ここでは省略します)
例題3:
\( f(t)=sin\ t cos^2\ t + 2 sin\ t \) の \(f_t\) を求めよ。

\( x(t)=sin\ t ,\ y(t)=cos\ t \) とおく。
すると \(\ →f(xy)=xy^2+2x \)

\(\underline {f_t= \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} } \)

\(\frac{dx}{dt}=cos\ t\) \(\quad \frac{dy}{dt}=-sin\ t \)

\( \frac{\partial f}{\partial x}=y^2+2\) \( \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2xy \)
\(=(y^2+2) cos\ t +2xy (-sin\ t)\) \(=(cos^2t+2)cost+2sintcosy(-sint)\)

\(=cos^3\ t\ + 2 cos\ t - sin^2\ t\ cos\ t \)


高階の偏微分とシュワルツの定理はこれから計画します。
これも、物理学で頻繁に登場してきます


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[コーヒーブレイク/閑話]…ラグランジュの運動方程式!


 ここは深く考えないで気楽に読んでください。
ニュートン力学(17世紀)を一般化 (一般化座標を用いている) した力学がラグランジュ力学(18世紀)です。 ちょうど特殊相対論と一般相対論みたいですね。
ここでラグランジュの運動方程式を書きます。偏微分の変則的な形です。式の内容は理解しなくてもよいです。
この式はニュートンの運動方程式と等価です。

\(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} =0 \) \( \quad (\dot q = \frac{dq}{dt}) \)
  

\( \dot q_i \ \)は時間微分です…こういう表記は数学では見慣れないですね。 
ちなみに L:ラグランジアン、\( q_i\):一般化座標 です。 だから\( q_i\)の時間微分\( \dot q_i\ \)は速度です。 
一般化座標は q に下添字 i があるから 多数あります。 次元としては「i次元」となるわけです。 この時間微分である\( \dot q_i\ \)の表記により、式の展開、議論の展開の表記が簡易になります。 ラグランジュ力学はニュートンン力学と同じ古典力学に分類されるようでが、私的にはモダンな感じがしますが…。