数列（
※1）の項を n の小さい順に並べて加算して得られる式：
\(a_1+a_2+a_3+…+a_n+\cdots \) を級数という。
ある規則で並べられた数(または関数)の列を順次、加算した式のことです。
数列の数 n により有限級数と無限級数がある。
単に「級数」といえば無限級数のことをいっている。
※1：級数には関数列の無限和があるが、ここでは数列について扱う。、
無限級数：
\( \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ \infty } a_n = a_1+a_2 + …+a_n+ … \)
有限級数:
\( \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_n = a_1+a_2 + …+a_n= A_n \)
数列\(\{a_n\}\)の和：シグマ ∑(sum)
\(S= \displaystyle \sum_{n = 1}^{n} a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \) と表す。
部分和:(partial sum)
無限級数の第n 項 \(a_n \)までの和、すなわち \(S_n=a_1+a_2+…+a_n\)の\(S_n\)を部分和という。
無限級数を無限個の和をとることはできないので、部分和\(S_n\) を用いて、級数の収束、発散などを論じている。
以下のように部分和の収束・発散をもって無限級数の収束・発散としている。
•収束：
\( \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{\infty } a_n =A\)
•発散：
\( \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{\infty } a_n =\infty \)
数列\({a_n}\)の第k項または第n項の部分和（初項から n 項 または k 項までの和）を∑を用いて
\( \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ k } a_k \) または
\( \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_n \) などと表わす。
以下にシグマの計算/公式の式を示します。
\(k\ ,n\ :\) 0 を含めた自然数。
\(c\ : \) 定数。
以下の公式を見ればシグマ計算の性質が分かります。
・定数は∑の前に出せる。
・足し算・引き算は∑を分けることができる。
・公式（9）のように∑に範囲（∑の上下の変数）を変えると、式の表現が変る。
(1)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}(a_k+b_k) =\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}a_k + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}b_k \)
(2)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}c(a_k) =c\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}a_k \)
(3)\(\ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_n =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } c = nc \)
(※)
（
(※)本式は\( a_n \) が定数かつ \(a_n=c \)の場合）
\(\ \quad (\because c+c+…+c=nc) \)
(4)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1) \)
(5)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)
(6) \(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \)
(7)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^4 \) \(= \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \)
(8)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (1-k)^2\)
\(=0^2+1^2+2^2+…+(1-n)^2 \)
\(=\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } k^2\) \(= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 \)
(9)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_{k+1} =\displaystyle \sum_{ k = 2 }^{ n+1 } a_k \)
(10)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_{k-1} =\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } a_k \)
(11) \( \ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}a r^{k-1}\)
\(=a \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} r^{k-1}\)
\(= a\frac{1-r^n}{1-r} \ \ (r \neq 1) \)
（式(11)は「等比数列の和」の講義で導出します。）
(12)\(\ \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2^k\)
\(=2 \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2^{k-1}\)
\(=2\cdot \frac{1-2^n}{1-2}\)
\(=2(2^n-1) \)
\(
\overbrace{ 1,\quad 3,}^{2} {\quad 5,\quad 7,\quad 9, \quad} \) \( \overbrace{ 11,\quad 13,}^{2} \quad \cdots \)
\( a_n= 1+ \overbrace{ \quad d+\quad d + \cdots + d }^{(n-1)コ} \)
これより一般化した一般項は：
\( \underline{a_n=a+(n-1)d} \)
