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湘南理工学舎
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2020/10/8

 楽しく学ぶ…初歩の数学

   三角関数の諸公式

(trigonometric function)

 --目 次--

正弦定理(law of sines)
余弦定理(law of cosines)
加法定理(additional therorem)
倍角・半角などの公式
「積→和」「和→積」の公式
その他の公式
その他の性質
オイラーの公式から加法定理

  1. 正弦定理(law of sines)
外接円の直径は頂点の角度とそれの対辺の長さから求められる。
三角形A B C とその対辺の長さを a b c とします。

\(\underline{ \frac{a}{sin\ A}=\frac{b}{sin\ B}=\frac{c}{sin\ C}} \) \(= 2 R \)

・R:三角形ABCの外接円の半径

triangle

 
・導出のヒント:
 三角形の面積S= \( (1/2) (sinA)\ b\ c \)\(=(1/2) (sinB)\ a\ c \) \(=(1/2) (sinC)\ a\ b \) 
 \( (sinA)\ b\ c \)\(=(sinB)\ a\ c \) \(=(sinC)\ a\ b \) 

 上式を\(a\ b\ c\ \)で割る。

 \( \frac{(sinA)}{a}\)\(=\frac{(sinB)}{b}\)\(=\frac{(sinC)}{c}\) 

公式はこの逆数です。
・覚え方:
\( \frac{辺の長さ a} { 対角のsin A}=\) 外接円の直径

・外接円:各辺の垂直2等分線は1点で交わり、その点を中心に、3点を通る円。

2. 余弦定理(law of cosines)
2辺の長さとそのはさむ角度から他の辺の長さが求められる。
\(a^2=b^2+c^2-2bc(cos\ A) \)

\(b^2=a^2+c^2-2ac(cos\ B) \)

\(c^2=a^2+b^2-2ab(cos\ C) \)



3. 加法定理(additional therorem)
基本は以下の3式です。(学生(受験のかた)は暗記すべきですね)
加法定理から2倍角、半角、3倍角の公式に発展します。
微分積分では多用されます。
式(1)、(2)を覚えていれば 2倍角、半角などは導き出せます。

\(sin(A \pm B)=sinAcosB \pm cosAsinB \) … (1)

\(cos(A \pm B)=cosAcosB \mp sinAsinB \) …(2)

\(tan(A \pm B)=\frac {tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B} \)  …(3)

 \( 式(3)のヒント(tan(A+B)=\frac {sin(A+B)}{cos(A+B)} \frac {\div (cosAcosB)}{\div (cosAcosB)} )\)

分子 \(=\frac{sinA cosB + cosA sinB}{cosA cosB}\)\( = tanA+tanB\)

分母 \(=\frac{cosA cosB - sinA sinB}{cosA cosB}\)\( = 1-tanA tanB\)


4. 倍角・半角などの公式
加法定理から導出できる式です。
表し方がいろいろあります、応用するときに使い分けします。

\( sin 2A =2sinAcosA \) \(=\frac{2 tanA}{1+tan^2 A} \) (※1)
 \(\ ( sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA\) \( \ =2sinAcosA\ )\)
(※1) \(2sinAcosA=\frac{2sinA}{\frac{1}{cosA}}\) \(=\frac{2sinA}{\frac{sin^2A+cos^2A}{cosA}}\)

\(=\frac{2sinA}{\frac{cosA(sin^2A+cos^2A)}{cos^2A}}\) \(=\frac{2sinA}{cosA(1+tan^2A)}\)\(=\frac{2 tanA}{1+tan^2 A} \)
\( cos 2A =2 cos^2 A-1 = 1- 2sin^2A \) \(=\frac{1-tan^2A}{1+tan^2 A} \) (※2)
 \(\ ( cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA \) \( \ =cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1\ ) \)
(※2) \(1-2sin^2=cos^2A+sin^2A-2sin^2A\)\(=cos^2A-sin^2A\)

\(= \frac{(cos^2A-sin^2A)}{cos^2A} \frac{cos^2A}{(sin^2A+cos^2A)}\) \(=\frac{1-tan^2A}{1+tan^2 A} \)

\(tan 2A=\frac{2 tan A}{1-tan^2A}\)

(\(tan(A+A)\) \(=\frac {tan A +tan A}{1 - tan A tan A} \) )

\( sin^2 \frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{2} \)

\( cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1+cosA}{2} \)

\( tan^2 \frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{1+cosA} \)

\( sin 3A =3 sinA-4sin^3A \)

\( cos 3A =-3 cosA+4scos^3A \)


5. 「積→和」「和→積」 の式
上記の加法定理の式 (1)(2) から「積→和」の式が導出できます。
例えば、式(1)は以下の2つ式に分かれます。
・\(sin(A + B)=sinAcosB + cosAsinB \)
・\(sin(A - B)=sinAcosB - cosAsinB \)
この2つ式を縦型に足し算すると右辺は \(2sinAcosB\) 、また引き算すると \(2cosAcosB\) となり下記の①と②が求まります。

同様にして加法定理の式(2)は下の2式になり、これより下記の式③、④が導出できます。
・\(cos(A + B)=cosAcosB - sinAsinB \)
・\(cos(A - B)=cosAcosB + sinAsinB \)

\( sinAcosB=\frac{1}{2} \{sin(A+B)+sin(A-B)\} \) …①

\( cosAsinB=\frac{1}{2} \{sin(A+B)-sin(A-B)\} \) …②

\( cosAcosB=\frac{1}{2} \{cos(A+B)+cos(A-B)\} \) …③

\( sinAsinB=-\frac{1}{2} \{cos(A+B)-cos(A-B)\} \)…④

上記の「積→和」の式から「和➝積」が導出できます。
上式の A と B を \(A=\frac{α+β}{2}\) ,\(B=\frac{α-β}{2}\) にして、

左辺と右辺を入れ換えると下式が得られる。

\( sinα+sinβ=2sin \frac{α+β}{2} cos\frac{α-β}{2} \)

\( sinα-sinβ=2cos \frac{α+β}{2} sin\frac{α-β}{2} \)

\( cosα+cosβ=2cos \frac{α+β}{2} cos\frac{α-β}{2} \)

\( cosα-cosβ=-2sin \frac{α+β}{2} sin\frac{α-β}{2} \)


6. その他の公式

• \(sec\ x=\frac{1}{cos\ x} \quad\) \(cot\ x=\frac{1}{tan\ x} \quad\)

 \(cosec\ x= csc\ x=\frac{1}{sin\ x} \quad\)
\( sin^2\ x +cos^2\ x = 1 \)
直角三角形A B C とその対辺の長さを a b c とします。
a と b は直角、c は斜辺
\( a^2 + b^2 = c^2 \cdots \div c^2 \)
  
\( \frac{1}{cos^2x}=sec^2x\)\(=1+tan^2x\)
\( \frac{1}{cos^2x}=\frac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}\)

\( sin^2x+cos^2x=1 \cdots \div cos^2x \)

\( \frac{sin^2x}{cos^2x}+1=\frac{1}{cos^2x} \)


7. その他の性質
以下の式は単位円を見れば理解できます。
(第4象限) 
\(sin(-θ)=-sinθ,\ \ cos(-θ)=cosθ\) \( ,\ tan(-θ)=-tanθ \)

これより \(sinθ , tanθ\) は 奇関数、\(cosθ\) は偶関数であることがわかります。

(第2象限) 
\(sin(π-θ)=sinθ,\ \ cos(π-θ)=-cosθ\) \(,\ tan(π-θ)=-tanθ \)

(第3象限) 
\(sin(π+θ)=-sinθ,\ \ cos(π+θ)=-cosθ\) \(,\ tan(π+θ)=tanθ \)

triangle
triangle

 
(第1象限) 
\(sin(\frac{π}{2}-θ)=cosθ,\ cos(\frac{π}{2}-θ)=sinθ\) \(,\ tan(\frac{π}{2}-θ)=\frac{1}{tanθ} \)

(第2象限) 
\(sin(\frac{π}{2}+θ)=cosθ,\ cos(\frac{π}{2}+θ)=-sinθ\) \(,\ -tan(\frac{π}{2}+θ)=\frac{1}{tanθ} \)


8. オイラーの公式から加法定理を導く
次のように、覚えやすい「オイラーの公式」を使い加法定理を容易に導くことができます。
\( e^{iθ}=cos\ θ+i\ sin\ θ\ \):オイラーの公式

\( e^{i(A+B)} = \underline {cos(A+B)}+\underline{i\ sin(A+B)} \)

\( e^{i(A+B)} = e^{iA} \cdot e^{iB} \)

\(= (cosA+i\ sinA)(cosB+i\ sinB) \)

\(= \underline{cosAcosB-sinAcosB}\)
\(\quad + \underline{i\ (sinAcosB+cosAsinB)} \)

実部と虚部を比較して次のとおり加法定理の式が求まります。

\( cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB \)

\( sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB \)

coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした

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