【極座標における面積の公式】
曲線を極座標で表した式を極方程式という。
今、極方程式を: \( r=f(θ)\) :動径\(r\) は\(θ\) の関数である。 この曲線と \(θ=α\) と \(θ=β\) とで囲まれた面積を\(S\) は: \(S= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta f(θ)^2 dθ \) \(= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2 dθ\) |
【回転体の体積1】fig7
(x軸中心)
x の区間[a,b]において、図のようにx 軸を中心に\(f(x)\) を360度、回転させてできる図形の体積。
\(V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx\)
(∵\(dV=\pi r^2 dx=\pi f(x)^2 dx\) )
【回転体の体積2】fig8
(y軸中心)
y の区間[a,b]において、図のようにy 軸を中心に\(x=h(y)\) を360度、回転させてできる図形の体積。
\(V=\pi \int_a^b (h(y))^2 dy\)
(∵\(dV=\pi r^2 dy=\pi h(y)^2 dy\) )
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【バウムクーヘン分割型】fig8
(y軸中心)
\(y=f(x)\) の図形の縦方向(Y軸)を円筒状に薄く切り抜く。
その切り抜いた薄い円筒を積み重ねるイメージなのでバウムクーヘン分割型と呼ばれている。 x の区間[a,b]において、図のように y 軸を中心に\(y=f(x)\) の図形を360度、回転させてできる図形の体積。 \(V=2\pi \int_a^b x (f(x))^2 dx\) |