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2020/07/08  

   
 楽しく学ぶ…微分積分

  定積分4/面積、体積

(definite integral/area, volume)
 --目 次--
例題1:円の面積
極座標での面積の公式
例題2:円の面積(極座標による)
例題3:極方程式による面積
例題4:球の表面積
例題5:円錐の体積
例題6:球の体積
回転体の積分公式
バウムクーヘン分割型積分の公式
例題7:\(sin x\)のバウムクーヘン型積分
例題8:楕円の面積

 これまでに不定積分、定積分を学んできました。
ここでは例題を通して、具体的な図形の面積、体積 を求めていきます。

例題1 下図の半径r の円の面積を求めよ
(例題2では同じ問題を極座標を使い解きます)

定積分
  fig1 
 

半径r の指定があるので、円の方程式からr, x, y の関係を求める。

円の方程式:
\(x^2+y^2=r^2\) より

\(y=\sqrt{r^2-x^2}\)

ここではx-y座標の第一象限を考える。
x を原点0 から r まで動かす。
x の区間[0,r]の中で、x の微小dx が作る微小の面積\(ds\)は:
\(ds=y dx=\sqrt{r^2-x^2} dx\)

この微小面を区間[0,r]の範囲で集めたのが円の面積の1/4です。

\(\therefore \) \(S=4\int_0^r ds=4\int_0^r y dx\)

\(=4\int_0^r \sqrt{r^2-x^2} dx\)

上記の不定積分は:
\(\int_0^r \sqrt{r^2-x^2} dx\)

この積分は【参照先】 より

\(=\frac{1}{2}(\ x \sqrt {r^2-x^2}\)\(+r^2 sin^{-1} \frac{x}{r}+C\ )\)

定積分では積分定数はキャンセルされるので下記では記載していない。

\( S=4 \left[\frac{1}{2}( x \sqrt {r^2-x^2}\right. \) \(\left. +r^2 sin^{-1} \frac{x}{r}) \right]_0^r \)

\(=2 \left[( r \sqrt {r^2-r^2}\right. \) \(\left. + \underline{r^2 sin^{-1} \frac{r}{r})} \right] \) \(-2 \left[( 0 \sqrt {r^2-0^2}\right. \) \(\left. +r^2 sin^{-1} \frac{0}{r}) \right] \) \(=2 r^2 sin^{-1} 1\) \(=2 r^2 \frac{\pi}{2}\)

\(\therefore \underline{S =\pi\ r^2}\)


【極座標における面積の公式】
曲線を極座標で表した式を極方程式という。
今、極方程式を:
\( r=f(θ)\) :動径\(r\) は\(θ\) の関数である。

この曲線と \(θ=α\) と \(θ=β\) とで囲まれた面積を\(S\) は:

\(S= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta f(θ)^2 dθ \) \(= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2 dθ\)

定積分
  fig2 極座標 
 
\(\Delta s ≒\frac{1}{2}r\cdot \Delta \ell\)

\(\Delta \ell=r sin \Delta θ≒r \Delta θ \quad \) (※)   

\(\Delta s ≒\frac{1}{2}r\cdot \Delta \ell\)

\(\therefore \Delta s ≒\frac{1}{2}r^2 \Delta θ\) 

θを 0 に近付ける極限をとり無限小に変えると:
\(ds ≒\frac{1}{2}r^2 dθ\) 

\( \therefore \int_\alpha^\beta f(θ)^2 dθ \)  \(= \int_\alpha^\beta ds dθ\)

\(= \int_\alpha^\beta \frac{1}{2}r^2 dθ\) \(= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2 dθ\)

 (※)の証明 
\(\Delta \ell=r sin \Delta θ≒r \Delta θ\)

\(θ\ll 1\) のとき、\(sin θ \rightarrow θ\)

∵ \(sin θ\)のマクローリン展開から
\(sin θ\)\(=θ-\frac{θ^3}{3!}+\frac{θ^5}{5!}-\frac{θ^7}{7!}+\cdots\)\(≒θ\)

θ は十分小さいから θ の3次以上は無視できるから。
例題2 円の面積を極座標により求めよ
円の極方程式:
\(r=f(θ)=a \) (a は半径(定数))

\(S= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} f(θ)^2 dθ \) \(= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 dθ \)

\(=\frac{1}{2} a^2[θ]_0^{2\pi} \)\(=\frac{1}{2} a^2[2\pi -0]=\pi a^2\)

勿論、例題1 と 同じ結果です。
例題3 次の極方程式の面積を求めよ
\(r=2(1+cosθ)\)  区間 \(0≤θ≤\pi \)

\(S= \frac{1}{2} \int_0^{\pi} f(θ)^2 dθ \) \(= \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (2(1+cosθ))^2 dθ \)

\(=2 \int_0^{\pi} (1+cosθ)^2 dθ \) \(=2 \int_0^{\pi} (1+cosθ)^2 dθ \)

  (\(cos^2 θ = \frac{1+cos 2θ}{2}\)) 【参照先】
\(=2 \int_0^{\pi} (1+2cosθ+ \frac{1+cos 2θ}{2})dθ \)

\(=2 [θ+2sinθ+ \frac{1}{2}θ +\frac{1}{4} sin2θ]_0^{\pi}\)

\(=2 [\pi+2sin \pi + \frac{1}{2} \pi +\frac{1}{4} sin \pi]\)\(=3 \pi\)

注:与式の極方程式は心臓型(カージオイド)曲線の上半分の図形です。
円の外周を同じ円がころがり、一点が描く軌跡とカージオイド曲線が同じ。
定積分
  fig3 カージオイド
 


例題4 球の表面積を求めよ
球体を輪切りして(2つの平行な面で切る)できる、その球の球面部分を球帯という。
今、球の薄い微小な球帯を考える。
想定している球帯の半径:
\(PN=r sinθ\)

球帯の円周:
\(\stackrel{\huge\frown}{PP'}\) \(=2\pi \cdot PN\)\(=2 \pi \ r\ sin θ\)

弧MPの長さ:
\(\stackrel{\huge\frown}{MP}= rdθ\)

定積分
  fig4 球体
 
想定している微小な球帯の表面積:
\(dS=\) (円周PP')x(弧MP) \(=(2 \pi \ r\ sin θ) \times (rdθ)\)

\(=(2 \pi \ r^2\ sin θ\ dθ)\)

右の半球体を2倍する形で積分する:
\( \therefore S=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}2 \pi \ r^2\ sin θ\ dθ \)

\(=4 \pi\ r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin θ\ dθ \)

\(=4 \pi\ r^2 [-cos θ\ dθ]_0^{\frac{\pi}{2}}\) \(=4 \pi\ r^2 [-cos{\frac{\pi}{2}}+ cos 0]\) \(=4 \pi\ r^2 [-0+1]\) \(=4\ \pi\ r^2 \)


例題5 円錐の体積を求めよ
下図のように円錐の微小な厚さ \(dx\)の微小体積\(dV\)を求める。

微小な厚さ部分の半径は\(y=mx\)

微小な厚さ部分の体積を区間[0,a]の総和が円錐の体積\(V\)です。

\(dV=\pi y^2 dx\)\(=\pi (mx)^2 dx\)\(=\pi m^2 x^2 dx\)

\(\therefore \) \(V=\int_0^a \pi m^2 x^2 dx\)\(=\frac{1}{3}[\pi m^2 x^3]_0^a\)

\(=\frac{1}{3}\pi m^2 a^3\)


円錐
  fig5 円錐
 


例題6 球の体積を求めよ
球体を薄く輪切りした微小体積、それらを集めたものが体積です。

fig6 のように球の微小な厚さ \(dx\)の微小体積\(dV\)を求める。

微小な厚さのy 方向は:
\(x^2+y^2=r^2\) より \(y^2=r^2-x^2\)

微小な厚さ部分の体積は:
\(dV=\pi y^2 dx\)

微小な厚さ部分の体積を区間[0,r]の総和の2倍が球の体積\(V\)です。

\(2 \int_0^r dV\)\(=2 \int_0^r \pi y^2 dx\) \(=2 \int_0^r \pi (r^2-x^2) dx\)

\(=2\pi ( \int_0^r r^2 dx - \int_0^r x^2 dx ) \) \(=2\pi ([r^2 x]_0^r - \frac{1}{3}[x^3]_0^r ) \) \(=2\pi ([r^3 x]- \frac{1}{3}[r^3]) \) \(=\frac{4}{3}\pi r^3\)


球体
  fig6 球体
 

 体積を求める例題では図形を微小な厚さに輪切りして、その微小部分の体積の総和を用いて求めました。
例題5,6 の図形はx 軸またはy 軸 について対称でした。

従って、外形に相当する \(f(x)\)の図形を 回転させてできる図形は例題のものと同じです。

以下はこのような回転体の積分公式です。

【回転体の体積1】fig7 (x軸中心)
x の区間[a,b]において、図のようにx 軸を中心に\(f(x)\) を360度、回転させてできる図形の体積。

\(V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx\)

(∵\(dV=\pi r^2 dx=\pi f(x)^2 dx\) )

【回転体の体積2】fig8 (y軸中心) 
y の区間[a,b]において、図のようにy 軸を中心に\(x=h(y)\) を360度、回転させてできる図形の体積。

\(V=\pi \int_a^b (h(y))^2 dy\)

(∵\(dV=\pi r^2 dy=\pi h(y)^2 dy\) )

勿論、例題5、6 はこの公式により求まるが、この公式を記憶する必要があります。
球体
  fig7 回転体x軸
球体
  fig8 回転体y軸
 

   
【バウムクーヘン分割型】fig8 (y軸中心) 
\(y=f(x)\) の図形の縦方向(Y軸)を円筒状に薄く切り抜く。
その切り抜いた薄い円筒を積み重ねるイメージなのでバウムクーヘン分割型と呼ばれている。

x の区間[a,b]において、図のように y 軸を中心に\(y=f(x)\) の図形を360度、回転させてできる図形の体積。

\(V=2\pi \int_a^b x (f(x))^2 dx\)
球体
  fig9 バウムクーヘン分割型
 
fig9 の上部の円筒部を参照してください。

微小な厚み部分を近似した円筒部の体積:
\(dV ≒2 \pi x f(x) dx \))

分割\(\Delta_x\rightarrow 0 \) のとき 積分区間[a,b]として:

\(V=\int_a^b 2 \pi f(x) x dx \))


バウムクーヘン分割型積分の簡単な例題を解いて終わりにします。
例題7 \(sin x\)のバウムクーヘン分割型の問題

区間\([0,\pi]\)の\(sin x\)の図形とX 軸 をY 軸のまわりを360度回転してできる体積を求めよ。

図は載せませんが、y軸を対称に、Y軸の両側に「正弦波の正部の半波」あるイメージ。

\(V=\int_0^\pi 2 \pi f(x) x dx \)

\(=\int_0^\pi 2\ \pi x\ sinx\ dx \) \(=\int_0^\pi 2\ \pi x\ sinx\ dx \) \(=2\ \pi \int_0^\pi x\ sinx\ dx \)

\(= 2 \pi\ [-x\ cos\ x +sin\ x]_0^\pi\) \(= 2 \pi\ [-\pi\ cos\ \pi +sin\ \pi]\)\(-[0+sin0]\) \(= 2 \pi\ [-\pi (-1) +0]-[0]\)

\(=2 \pi^2\)

例題8 楕円の面積

長軸長さ(x軸):\(2a\)、短軸長さ(y軸):\(2b\)とすると楕円の方程式:
\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

第1象限の面積(積分区間\([0,a]\)) を求め、その4倍が楕円の面積である。
楕円の方程式より: \( y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\)
\(S=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx\)

\(x=asinθ\)\(\ , \ \)\(\frac{dx}{dθ}=acosθ\) \(\Rightarrow\) \(dx=acosθdθ\)

\( \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \) \(=\sqrt{1-\frac{a^2 sin^2θ}{a^2}} \) \(=\sqrt{1-sin^2θ}\) \(=\sqrt{cos^2θ}\)\(=cosθ\)

積分区間 \(x:0\rightarrow a\ \) \(\Rightarrow\) \(\ θ:0\rightarrow \frac{\pi}{2}\)

\(S=4\int_0^{ \frac{\pi}{2}} b cosθ\ cosθ\ a dθ \) \(=4ab\int_0^{ \frac{\pi}{2}} cos^2θ dθ \) \(=4ab \int_0^{ \frac{\pi}{2}} (\frac{1+cos2θ}{2})dθ \) \(=2ab [θ + \frac{1}{2}sin2θ]_0^{ \frac{\pi}{2} }\) \(=2ab (\frac{\pi}{2})\)
\(\therefore S=ab\pi\)
覚え方:単位円(半径r=1)の\(ab\)倍

----【終わり】-----

coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れ様でした。