\(\frac{1}{1+sin\ x}dx\) \(=\frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt\)
\(= \frac{1}{ \frac{t^2+2t+1}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt \)
\(=\frac{1+t^2}{(t+1)^2}\frac{2}{1+t^2} dt\)
\(=2 \frac{1}{(t+1)^2} dt\)
\(I=2 \int \frac{1}{(t+1)^2} dt\)\(=2 (t+1)^{(-2+1)} \cdot 1 \)
\(= \frac{2}{t+1} \)
\(\therefore I= \frac{2}{ tan \frac{x}{2} +1} \)
別解：
\(I=\int \frac{1}{1+sin\ x} dx \)
\( \frac{1}{1+sin\ x} \) \(=\frac{1-sin\ x}{(1+sin\ x)(1-sin\ x)} \) \(=\frac{1-sin\ x}{(1-sin^2x)}\)
\(=\frac{1-sin\ x}{cos^2x} \) \(=\frac{1}{cos^2x} + \frac{sin\ x}{cos^2x}\)
\(I=\int \frac{1}{cos^2x}dx + \int \frac{sin\ x}{cos^2x}dx \)
\(\int \frac{1}{cos^2x}dx =tan\ x\)
\( u=cos\ x\)
と置き , \(u'=sin\ x \)
\(\int \frac{sin\ x}{cos^2x}dx= \int \frac{u'}{u^2}dx\)
\(= \int u' u^{-2} dx\) \(=\frac{1}{-2+1} u^{-2+1} \frac{u'}{u'}\) \(=- u^{-1}\)\(=\frac{-1}{u}\)
\(\therefore I=\int \frac{1}{1+sin\ x} dx\) \(= tan\ x - \frac{1}{cos\ x} \)
【解の考察】例題(1)～(4)
これまでの例題では2つ解を求めました。
１つ目の解は、
\(tan \frac{x}{2}=t\)を置換しているので解には
\(tan \frac{x}{2}\)を含んでいますね。
２つ目の解は、置換積分を使わず、三角関数の加法定理など工夫して解いているので
\(sin,\ cos\)が含まれいます。
\(tan\) は\(sin,\ cos\)で表せますが、それ以外に三角関数の様々な公式から３つの関数が関係し合っています。
これが解が複数ある理由と考えられる。
今までの例題と違うところは：
\( t=tan\ x\)と置くことです。
\( \frac{dt}{dx}=(tan\ x)'=\frac{1}{cos^2 x}\) \(=1+t^2\)
\(dx=\frac{1}{t^2+1}dt\)
\(I=\int \frac{1}{(t+1)(t^2+1)} dt\)
これから被積分関数を部分分数分解する。
\(J=\frac{1}{(t+1)(t^2+1)} \)
\(=\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^2+1}\)
\(=\frac{A(t^2+1)+(Bt+C)(t+1)}{(t+1)(t^2+1)}\)
分子
\(=A(t^2+1)+(Bt+c)(t+1)=1\)
\(=At^2+Bt^2+(B+c)t+A+C=1\)
\(t=-1\)
を代人し
\(A=\frac{1}{2}\)
\(t=0,\ A=\frac{1}{2}\)
を代人し
\(C=\frac{1}{2}\)
\(t=1,\ A=\frac{1}{2},\ C=\frac{1}{2}\)
を代人し
\(B=-\frac{1}{2}\)
\( \therefore J=\frac{1}{2}(\frac{1}{t+1} - \frac{t-1}{t^2+1})\)
\(\frac{1}{cos^2 x}\)\(=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}\)
\(=\frac{(sin\ x)'cos\ x +(-cos\ x)'sin\ x}{cos^2x}\)
\(=\left( \frac{sin\ x}{cos\ x} \right)'\) (\( =(tan\ x)'\))
分数の微分から逆にたどると与式の被積分関数が求まる。
