\(\int \frac{4x}{x^2-1}dx\)
の不定積分を求めよ。
与式\(=\ 2 \int \frac{2x}{x^2-1}dx\)
\(= 2 log|(x^2-1)| \)
\(\int \frac{1}{2+x^2} dx\)
の不定積分を求めよ。
与式\(=\int \frac{1}{(\sqrt {2})^2+x^2} dx\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}} tan^{-1} ( \frac{x}{\sqrt{2}} ) \)
\(\int \frac{2}{(x^2+3x+3)}dx\)
の不定積分を求めよ。
因数分解して部分分数分解を施す。
\( \frac{2}{(x^2+3x+3)}\)\(=\frac{2}{(x+2)(x+2)}dx\)
\(=\frac{2}{(x+1)}-\frac{2}{(x+2)}\)
部分分数分解の詳細はここを⇒
【参照先】
与式\(=\int (\frac{2}{(x+1)}-\frac{2}{(x+2)}) dx\)
\(=2log|x+1|-2log|x+2|\)
\(=2( log \frac{|x+1|}{|x+2|} )\)
\(\int \frac{1}{(4x^2+1)^3}dx\)
の不定積分を求めよ。
⑤の公式を使います(\(a=1\))
n=3 の3 乗だから以下のように 3 ステップの計算をする。
\(\color{red}{J_1} →\color{blue}{J_2} →\color{fuchsia}{J_3} \)
\( \color{red}{J_1}=\int \frac{1}{(4x^2+1)^1}dx\)
\(= \int \frac{1}{((2x)^2+1)}dx \)
\( =\color{red}{\frac{1}{2} tan^{-1}(2x)} \) (※)
(※)
【参照先】
\( \frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
\(=\frac{1}{ \frac{d}{dy}(\frac{1}{2} tan\ y)}\)
これより
\(\int \frac{1}{1+4x^2}=\frac{1}{2} tan^{-1} 2x\)
\( \color{blue}{J_2}= \frac{1}{2} \frac{x}{(2x)^2+1} + \color{red}{J_1}\)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{4x^2+1} + \color{red}{\frac{1}{2} tan^{-1}(2x) } \right) \)
\( = \color{blue}{ \frac{x}{8x^2+2} + \frac{1}{4} tan^{-1}(2x) } \)
\( \color{fuchsia}{J_3}= \frac{1}{4} \left( \frac{x}{((2x)^2+1)^2} + 3\ \color{blue}{J_2} \right) \)
\( = \frac{1}{4} \frac{x}{16x^2+8x^2+1}\) \(+ \frac{3}{4} \left( \color{blue}{\frac{x}{8x^2+2} + \frac{1}{4} tan^{-1}(2x)} \right) \)
\( = \frac{x}{4(16x^2+8x^2+1)} + \frac{3}{4} \frac{x}{8x^2+2}\) \(+ \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) \)
\( = \frac{x}{4(16x^2+8x^2+1)} + \frac{3x}{32x^2+8}\) \(+ \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) \)
\( = \frac{x+3x(2x^2)+\frac{1}{2}}{64x^4+32x^2+4}\) \(+ \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) \)
\( = \color{fuchsia}{ \frac{12x^3+5x}{128x^4+64x^2+8} + \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) } \)
多項式
\( Q(x)\), \( P(x)\) について、有理関数は次のように表せる。
\( f(x)=\frac{Q(x)}{P(x)} \) \( … (1) \)
上式の商を \(g(x)\) と 余りを \(V(x)\)とすると:
\(
\begin{eqnarray}
f(x)= \underbrace{\ g(x)\ }_{A} + \underbrace{\ \frac{V(x)}{P(x)}\ }_{B,\ C,\ D} … (2)
\end{eqnarray}
\)
各項を個々に考えるので式 \(A,B,C,D\) の4式で考える。(ターゲットは式 \(D\)です)
式 \(A\)の \(g(x)\)は多項式なので有理関数ではないので論議から外します。
これから考えるのは \(B,C,D\) の3式に的が絞りました。
以後は3つの式に該当する 次の有理関数について論議します。
\( \frac{\ V(x)\ }{\ P(x)\ } \)\( … (3) \)
この有理関数について 「分子 V の次数 < 分母 P の次数」とみる。
P(x) を因数分解して、有理関数を部分分数分解すると一般に次の3つの形の式になる。
\( \int \frac{1}{(x+a)^n} dx\) \( …B \)
\( \int \frac{x}{(x^2+a^2)^n} dx\) \( …C \)
\( \underline{ \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx …D } \)
これで求めるべき有理関数の積分式\( D\) を導き出したことになります。
\( J_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx\)
として漸化式\(J_n\) と \(J_{n-1}\) により計算します。
漸化式については
【ここを参照】
【参考】
\( J_{1}= \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\) とする。
\( J_{n-1}= \frac{(x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^n} = \frac{1}{ (x^2+a^2)^{n-1} } \)
\( \color{fuchsia}{ J_{n-1}= \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}} dx } \) \(=\int \frac{(x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^n} dx\)
\(= \int ( \frac{a^2}{(x^2+a^2)^n}\) \( + x \frac{x}{(x^2+a^2)^n} ) dx \)
\(
\begin{eqnarray}
= \color{fuchsia}{ a^2 J_n + \underbrace{ \int ( x \frac{x}{(x^2+a^2)^n} )dx }_{E} }
\end{eqnarray}
\)
…(4)
上記 \(E\) の積分の準備
\( E=\int f g' dx = fg- \int f' g dx\) の部分積分を使う。
\( f=x, \quad g= \frac{x}{(x^2+a^2)^n}\)
\( \int g dx = \int \frac{x}{(x^2+a^2)^n} dx \) \(= \int (x (x^2+a^2)^{-n})dx \)
\( =\frac{1}{2(-n+1)} (x^2+a^2)^{-n+1} \)
\( =-\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}=g \)
\( \therefore g '=(-\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}})' \) \(= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} \)
\( E= \int x \frac{x}{(x^2+a^2)^n}dx \)
\( \int f g' dx = f g -\int f' g dx \) の 部分積分を使う
\(= \int x \left( -\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}} \right)' dx \)
\(= x (-\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}})\) \(-\int -\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx\)
\(= -\frac{1}{2(n-1)} \ ( x \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}\) \(- \color{fuchsia}{\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx }\ ) \)
\(= -\frac{1}{2(n-1)} \ ( x \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}\) \(- \color{fuchsia}{J_{n-1}} \ ) \)
この結果を式(4)に代入
\( J_{n-1}=a^2 J_n -\frac{1}{2(n-1)}(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}\) \(- J_{n-1} \ ) \)
\(a^2 J_n= J_{n-1}\)\(+\frac{1}{2(n-1)}\)\((\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}- J_{n-1}) \)
\(J_n= \frac{1}{2(n-1)a^2 }\) \( \{ 2(n-1)J_{n-1}+\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}- J_{n-1} \}\)
\(J_n= \frac{1}{2(n-1)a^2 }\)\(\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}\)\(+ J_{n-1}(2(n-1)-1) \} \)
\(\therefore J_n= \frac{1}{2(n-1)a^2 }\)\(\left[ \frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3)J_{n-1}\right] \)