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湘南理工学舎
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2020/12/24

 楽しく学ぶ…微分積分

  有理関数の不定積分
 (分数関数)

 --目 次--

有理関数の不定積分の基本
例題
 ∗\(\int \frac{4x}{x^2-1}dx\)
 ∗\(\int \frac{1}{2+x^2} dx\)
 ∗\( \int \frac{d}{ax^2+bx+c} dx\)
 ∗\(\int \frac{1}{(4x^2+1)^3}dx\)
公式の導出
 ∗\(\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx\)


 関数によって積分技法に特徴的なものがあります。
以下は積分定数 C は省略します。
  有理関数の積分の基本
今まで学んだ分数関数の積分の式をまとめると:
① \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)|\)

② \( \int \frac{1}{x} dx = \log |x|\)

③ \( \int \frac {1}{{a^2+x^2}} dx\)\( =\frac {1}{a} tan^{-1} (\frac{x}{a})\)

④ \( \int \frac{1}{{x^2-a^2}} dx\)\( = \frac{1}{2} log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \)

①と②は対数関数です。(②は①の中の1つです。)
③は逆正接関数
④は対数による分数表示の分数関数

 一般に分数関数の不定積分の解は上記の朱記で書いた「対数関数」「逆正接関数」「分数関数」で表せます。
このことを例題を通して確認していきます。

・積分公式に加え、置換積分と部分積分、またその両方を使います。
・部分分数分解をよく使うので怪しいかたは初歩の数学の 「部分分数分解【参照先】」 で確かめておいてください。

問題を解く前に与式をみて次のことを調べるとよい。
(ⅰ)式①の形(分子が分母の微分)か?
⇒対数の積分公式が使える

(ⅱ)式③の形か?(分母を注意深くみる)
⇒逆正接関数の積分公式が使える

(ⅲ)上記以外のときは因数分解・部分分数分解を使い、変形して得た部分分数について上記(ⅰ)(ⅱ)を調べる。
⇒④の場合は部分分数化の式が②(対数)の形になる。(例題3で確認します)
⇒それ以外は次の(ⅳ)へ進む。

(ⅳ)上記(ⅰ)~(ⅲ)に該当しないとき。(例題4で確認)

例題に進む前に有理関数についての新な公式を紹介します。
⑤ \(J_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx\) \(\ (n≥2)\)について

\(J_n=\frac{1}{2(n-1)a^2}\)\( \left[\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}} +(2n-3)J_{n-1}\right] \)

導出は例題のあとで行います。 【参照先】

例 題1: ①\(\frac{f'(x)}{f(x)}\)→対数関数

\(\int \frac{4x}{x^2-1}dx\) の不定積分を求めよ。

与式\(=\ 2 \int \frac{2x}{x^2-1}dx\) \(= 2 log|(x^2-1)| \)

例 題2: ③\(\int \frac {1}{{a^2+x^2}}dx\)→逆正接関数

\(\int \frac{1}{2+x^2} dx\) の不定積分を求めよ。

与式\(=\int \frac{1}{(\sqrt {2})^2+x^2} dx\) \(=\frac{1}{\sqrt{2}} tan^{-1} ( \frac{x}{\sqrt{2}} ) \)

例 題3: ④\( \int \frac{d}{ax^2+bX+c} dx\)→分数関数

\(\int \frac{2}{(x^2+3x+3)}dx\) の不定積分を求めよ。

因数分解して部分分数分解を施す。
\( \frac{2}{(x^2+3x+3)}\)\(=\frac{2}{(x+2)(x+2)}dx\)  \(=\frac{2}{(x+1)}-\frac{2}{(x+2)}\) 

部分分数分解の詳細はここを⇒ 【参照先】

与式\(=\int (\frac{2}{(x+1)}-\frac{2}{(x+2)}) dx\)
\(=2log|x+1|-2log|x+2|\) \(=2( log \frac{|x+1|}{|x+2|} )\)

例 題4: ⑤の公式を使う

\(\int \frac{1}{(4x^2+1)^3}dx\) の不定積分を求めよ。

⑤の公式を使います(\(a=1\))
n=3 の3 乗だから以下のように 3 ステップの計算をする。
\(\color{red}{J_1} →\color{blue}{J_2} →\color{fuchsia}{J_3} \) 

\( \color{red}{J_1}=\int \frac{1}{(4x^2+1)^1}dx\)
\(= \int \frac{1}{((2x)^2+1)}dx \) \( =\color{red}{\frac{1}{2} tan^{-1}(2x)} \) (※)

(※)参照先
\( \frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) \(=\frac{1}{ \frac{d}{dy}(\frac{1}{2} tan\ y)}\)
これより
\(\int \frac{1}{1+4x^2}=\frac{1}{2} tan^{-1} 2x\)

\( \color{blue}{J_2}= \frac{1}{2} \frac{x}{(2x)^2+1} + \color{red}{J_1}\)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{4x^2+1} + \color{red}{\frac{1}{2} tan^{-1}(2x) } \right) \) \( = \color{blue}{ \frac{x}{8x^2+2} + \frac{1}{4} tan^{-1}(2x) } \)

\( \color{fuchsia}{J_3}= \frac{1}{4} \left( \frac{x}{((2x)^2+1)^2} + 3\ \color{blue}{J_2} \right) \)
\( = \frac{1}{4} \frac{x}{16x^2+8x^2+1}\) \(+ \frac{3}{4} \left( \color{blue}{\frac{x}{8x^2+2} + \frac{1}{4} tan^{-1}(2x)} \right) \)

\( = \frac{x}{4(16x^2+8x^2+1)} + \frac{3}{4} \frac{x}{8x^2+2}\) \(+ \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) \)

\( = \frac{x}{4(16x^2+8x^2+1)} + \frac{3x}{32x^2+8}\) \(+ \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) \)

\( = \frac{x+3x(2x^2)+\frac{1}{2}}{64x^4+32x^2+4}\) \(+ \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) \)

\( = \color{fuchsia}{ \frac{12x^3+5x}{128x^4+64x^2+8} + \frac{3}{16} tan^{-1}(2x) } \)


上記の公式⑤を導き出します。
有理関数の不定積分

\( \underline{\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx}\) の公式の導出 (下記の式 D )

 次のステップ❶と❷の順で説明していきます。
少し長くなりますが辛抱してください。

有理関数を分解すると4つの形の式に分類されます。
ここで導出する公式の積分式はこの4つの中の一つ、題記の式D です。
(4つの式とは下にある式A, B, C, Dです。)


まずは式D を導き出すところからはじめます。
多項式 \( Q(x)\), \( P(x)\) について、有理関数は次のように表せる。

\( f(x)=\frac{Q(x)}{P(x)} \) \( … (1) \)

上式の商を \(g(x)\) と 余りを \(V(x)\)とすると:

\( \begin{eqnarray} f(x)= \underbrace{\ g(x)\ }_{A} + \underbrace{\ \frac{V(x)}{P(x)}\ }_{B,\ C,\ D} … (2) \end{eqnarray} \) 

各項を個々に考えるので式 \(A,B,C,D\) の4式で考える。(ターゲットは式 \(D\)です)

式 \(A\)の \(g(x)\)は多項式なので有理関数ではないので論議から外します。
これから考えるのは \(B,C,D\) の3式に的が絞りました。

以後は3つの式に該当する 次の有理関数について論議します。
\( \frac{\ V(x)\ }{\ P(x)\ } \)\( … (3) \)

この有理関数について 「分子 V の次数 < 分母 P の次数」とみる。
P(x) を因数分解して、有理関数を部分分数分解すると一般に次の3つの形の式になる。

\( \int \frac{1}{(x+a)^n} dx\) \( …B \)

\( \int \frac{x}{(x^2+a^2)^n} dx\) \( …C \)

\( \underline{ \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx …D } \)

これで求めるべき有理関数の積分式\( D\) を導き出したことになります。
式\( B,C \) は今まで学んだことから解くことができます。

たとえば式 \(B\) の場合:
\(n=1⇒ \int \frac{1}{(x+a)^n} dx = log|x+a|\)
\(n \ne 0 ⇒ \int \frac{1}{(x+a)^n} dx\) \(=\int (x+a)^{-n} dx\) \( = \frac{1}{n-1} \frac{1}{(x+a)^{n-1}} \)
式 \(C\) も同様に求められます。(置換関数の積分を使う)

以上から考えるべき式は \(D\) である。

次に本題である式 \(D\) の積分を求めます。

\( J_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx\)

として漸化式\(J_n\) と \(J_{n-1}\) により計算します。
漸化式については【ここを参照】

【参考】
\( J_{1}= \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\) とする。
\( J_{n-1}= \frac{(x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^n} = \frac{1}{ (x^2+a^2)^{n-1} } \)

\( \color{fuchsia}{ J_{n-1}= \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}} dx } \) \(=\int \frac{(x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^n} dx\)

\(= \int ( \frac{a^2}{(x^2+a^2)^n}\) \( + x \frac{x}{(x^2+a^2)^n} ) dx \)

\( \begin{eqnarray} = \color{fuchsia}{ a^2 J_n + \underbrace{ \int ( x \frac{x}{(x^2+a^2)^n} )dx }_{E} } \end{eqnarray} \)  …(4)

上記 \(E\) の積分の準備

\( E=\int f g' dx = fg- \int f' g dx\) の部分積分を使う。
\( f=x, \quad g= \frac{x}{(x^2+a^2)^n}\)
\( \int g dx = \int \frac{x}{(x^2+a^2)^n} dx \) \(= \int (x (x^2+a^2)^{-n})dx \) \( =\frac{1}{2(-n+1)} (x^2+a^2)^{-n+1} \)
\( =-\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}=g \)
\( \therefore g '=(-\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}})' \) \(= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} \)

\( E= \int x \frac{x}{(x^2+a^2)^n}dx \)

\( \int f g' dx = f g -\int f' g dx \) の 部分積分を使う

\(= \int x \left( -\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}} \right)' dx \)

\(= x (-\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}})\) \(-\int -\frac{1}{2(n-1)} \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx\)

\(= -\frac{1}{2(n-1)} \ ( x \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}\) \(- \color{fuchsia}{\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx }\ ) \)

\(= -\frac{1}{2(n-1)} \ ( x \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}\) \(- \color{fuchsia}{J_{n-1}} \ ) \)

この結果を式(4)に代入
\( J_{n-1}=a^2 J_n -\frac{1}{2(n-1)}(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}\) \(- J_{n-1} \ ) \)

\(a^2 J_n= J_{n-1}\)\(+\frac{1}{2(n-1)}\)\((\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}- J_{n-1}) \)

\(J_n= \frac{1}{2(n-1)a^2 }\) \( \{ 2(n-1)J_{n-1}+\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}- J_{n-1} \}\)

\(J_n= \frac{1}{2(n-1)a^2 }\)\(\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}\)\(+ J_{n-1}(2(n-1)-1) \} \)

\(\therefore J_n= \frac{1}{2(n-1)a^2 }\)\(\left[ \frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3)J_{n-1}\right] \)



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[コーヒーブレイク/閑話]…