楽しく学ぶ…数学/微分積分
部分積分（不定積分）
--目 次--
∗部分積分の公式
∗例題
∗\( \int\ x\ cos\ 2x\ dx \)
∗\( \int\ x\ log\ x\ dx \)
∗\( \int\ log\ (x+1)\ dx \)
(2通りの積分)
∗\( \int \sqrt{a^2-x^2}dx \)
∗\( \int \sqrt{a+x^2} dx \)
∗\( \int cos\ x \sqrt{1+sin^2 x} dx \)
∗例題
∗\( \int\ x\ cos\ 2x\ dx \)
∗\( \int\ x\ log\ x\ dx \)
∗\( \int\ log\ (x+1)\ dx \)
(2通りの積分)
∗\( \int \sqrt{a^2-x^2}dx \)
∗\( \int \sqrt{a+x^2} dx \)
∗\( \int cos\ x \sqrt{1+sin^2 x} dx \)
☞ 積分定数「C」は省略しています。 部分積分の公式
まず、部分積分の公式を見ましょう。
関数\( f(x),\ g(x) \) はともに微分可能、\( f'(x),\ g'(x) \)は連続とします。
関数\( f(x),\ g(x) \) はともに微分可能、\( f'(x),\ g'(x) \)は連続とします。
部分積分公式
\( \underline {\int f(x)\ g'(x)\ dx }\) \( \underline { =\ f(x)\ g (x)\ - \int f(x)'\ g(x)\ dx } \)
次式は積の微分公式（ライプニッツ則）です…変数は省略します。
\( (f\ g)'=f'\ g \ +\ f\ g' \quad \)
…これをx で積分します。
\( \int\ (f\ g)'\ dx \) \(= f\ g \) \(= \int\ f'\ g \ dx + \int \ f\ g'\ dx \)
従って公式として次の2式ができます。
\( \int\ f'\ g \ dx\) \(= f\ g \ - \int \ f\ g'\ dx \ldots (1) \)
(上の公式の形) \( \int \ f\ g'\ dx\) \(= f\ g \ - \int\ f'\ g \ dx \ldots (2) \)
(上の公式の形) \( \int \ f\ g'\ dx\) \(= f\ g \ - \int\ f'\ g \ dx \ldots (2) \)
上式の(1)、(2)のどちらかを使うかは積分が容易になる方を使います。
例題をして確認しましょう。
例題をして確認しましょう。
例題1.
\( \int\ x\ cos\ 2x\ dx \) \(= \int\ x\ (\frac {1}{2}\ sin\ 2x)'dx \) （\( \int f\ g'\ dx\) \(= f\ g - \int f'\ g \ dx \)） \( = x\ \cdot \frac {1}{2}\ sin\ 2x\)\(- \int\ (x)'\ \cdot \frac {1}{2} sin\ 2x\ dx \) \( = x\ \cdot \frac {1}{2}\ sin\ 2x\)\(- \int\ 1\ \cdot \frac {1}{2} sin\ 2x\ dx \) \( = \frac {1}{2}\ x\ sin\ 2x + \frac {1}{4}\ cos\ 2x \)
\( \int\ x\ cos\ 2x\ dx \) \(= \int\ x\ (\frac {1}{2}\ sin\ 2x)'dx \) （\( \int f\ g'\ dx\) \(= f\ g - \int f'\ g \ dx \)） \( = x\ \cdot \frac {1}{2}\ sin\ 2x\)\(- \int\ (x)'\ \cdot \frac {1}{2} sin\ 2x\ dx \) \( = x\ \cdot \frac {1}{2}\ sin\ 2x\)\(- \int\ 1\ \cdot \frac {1}{2} sin\ 2x\ dx \) \( = \frac {1}{2}\ x\ sin\ 2x + \frac {1}{4}\ cos\ 2x \)
…公式の(2)を使ったことになります。
例題2.
\( \int\ x\ log\ x\ dx \) \( = \int (\frac{1}{2}\ x^2)' \ log\ x dx \) （\( \int f '\ g\ dx\) \(= f\ g - \int f\ g ' \ dx \)） \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \int \frac {1}{2}\ x^2\ (log\ x)'\ dx \) \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \int \frac {1}{2}\ x^2\ \frac {1}{x}\ dx \) \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \frac {1}{2} \int\ x\ dx \) \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \frac {1}{4}\ x^2\ \)
\( \int\ x\ log\ x\ dx \) \( = \int (\frac{1}{2}\ x^2)' \ log\ x dx \) （\( \int f '\ g\ dx\) \(= f\ g - \int f\ g ' \ dx \)） \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \int \frac {1}{2}\ x^2\ (log\ x)'\ dx \) \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \int \frac {1}{2}\ x^2\ \frac {1}{x}\ dx \) \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \frac {1}{2} \int\ x\ dx \) \( = \frac{1}{2}\ x^2 \ log\ x - \frac {1}{4}\ x^2\ \)
…公式の(1)を使ったことになります。
例題3.
\( \int\ log\ (x+1)\ dx \) \(=\int\ 1 \cdot log\ (x+1)\ dx \) （\( \int f '\ g\ dx\) \(= f\ g - \int f\ g ' \ dx \)） \(=\) \( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \int\ (x) ' \cdot log\ (x+1)\ dx \cdots ① \\ \int\ (x+1) ' \cdot log\ (x+1)\ dx \cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray} \)
\( \int\ log\ (x+1)\ dx \) \(=\int\ 1 \cdot log\ (x+1)\ dx \) （\( \int f '\ g\ dx\) \(= f\ g - \int f\ g ' \ dx \)） \(=\) \( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \int\ (x) ' \cdot log\ (x+1)\ dx \cdots ① \\ \int\ (x+1) ' \cdot log\ (x+1)\ dx \cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray} \)
上記の式は ①＝② です、どちらをとっても 答えは同じです。
ここでは式②を使います。（∵式の展開がシンプルです。）
（説明のため式が多くなってます）
\( \int\ log\ (x+1)\ dx \) \(=\int\ (x+1) ' \cdot log\ (x+1)\ dx\)
\(=(x+1) log\ (x+1)\)\(- \int (x+1) (log\ (x+1))' \ dx\) \(=(x+1) log\ (x+1)\)\(- \int \frac{(x+1)}{(x+1)}\ dx\) \(=(x+1) log\ (x+1)- \int dx\) \(=(x+1) log\ (x+1)- x\)
ここでは式②を使います。（∵式の展開がシンプルです。）
（説明のため式が多くなってます）
\( \int\ log\ (x+1)\ dx \) \(=\int\ (x+1) ' \cdot log\ (x+1)\ dx\)
\(=(x+1) log\ (x+1)\)\(- \int (x+1) (log\ (x+1))' \ dx\) \(=(x+1) log\ (x+1)\)\(- \int \frac{(x+1)}{(x+1)}\ dx\) \(=(x+1) log\ (x+1)- \int dx\) \(=(x+1) log\ (x+1)- x\)
\(f(x)\ \)と \( g(x)\ \)のどちらの原始関数が見つけやすいか（積分しやすいか）、また公式の右辺の2項の積分の中で変数の次数が下がるか（例えば\(\ x^2 \rightarrow x \) ）などを見て積分する。
例題4.\( I=\int\ \sqrt {a^2-x^2} dx \)
\(= \int 1\cdot \sqrt {a^2-x^2} dx \)
（\( \int f '\ g\ dx\) \(= f\ g - \int f\ g ' \ dx \)） \(= x \sqrt {a^2-x^2}\)\(- \int x (\frac{1}{2}) (-2x) \frac{1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}- \int \frac{-2x^2}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}- \int \frac{(a^2-2x^2)+a^2}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2} dx\) \( + \frac{a^2}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}-\underline{\int \sqrt{a^2-x^2} dx}\) \( + a^2 sin^{-1} \frac{x}{a} \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}-\underline{\ I\ }\) \( + a^2 sin^{-1} \frac{x}{a} \) \(\underline{\ I\ }=\frac{1}{2}(\ x \sqrt {a^2-x^2}\)\(+ a^2 sin^{-1} \frac{x}{a}\ )\) \(\therefore \int \sqrt {a^2-x^2} dx =\frac{1}{2}(\ x \sqrt {a^2-x^2}\)\(+a^2 sin^{-1} \frac{x}{a}\ )\)
例題5.（\( \int f '\ g\ dx\) \(= f\ g - \int f\ g ' \ dx \)） \(= x \sqrt {a^2-x^2}\)\(- \int x (\frac{1}{2}) (-2x) \frac{1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}- \int \frac{-2x^2}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}- \int \frac{(a^2-2x^2)+a^2}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2} dx\) \( + \frac{a^2}{\sqrt {a^2-x^2}} dx \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}-\underline{\int \sqrt{a^2-x^2} dx}\) \( + a^2 sin^{-1} \frac{x}{a} \) \(= x \sqrt {a^2-x^2}-\underline{\ I\ }\) \( + a^2 sin^{-1} \frac{x}{a} \) \(\underline{\ I\ }=\frac{1}{2}(\ x \sqrt {a^2-x^2}\)\(+ a^2 sin^{-1} \frac{x}{a}\ )\) \(\therefore \int \sqrt {a^2-x^2} dx =\frac{1}{2}(\ x \sqrt {a^2-x^2}\)\(+a^2 sin^{-1} \frac{x}{a}\ )\)
\( I=\int \sqrt{a+x^2} dx\)
\(A=a+x^2\)とおく。（表記簡略のために）
\( \int \sqrt{a+x^2} dx\) \(= \int 1 \cdot \sqrt{A} dx\) \(= x \sqrt{A} - \int x (\sqrt{A})' dx\) \(= x \sqrt{A} - \int x \frac{1}{2}\ (\sqrt{A})^{-\frac{1}{2}})\ 2x\ dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \frac{x^2}{\sqrt{A}}dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \frac{(x^2+a)-a}{\sqrt{A}}dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \frac{(A)-a}{\sqrt{A}}dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \sqrt{A}dx +a \underline{\int \frac{1}{\sqrt{A}}dx} \)
下線部は公式より【参照先】：
\(\int \frac{1}{\sqrt{A}}dx=log |x+\sqrt{A}|\) \(= x \sqrt{A} - I +a log |x+\sqrt{A}|\) \(2I=x \sqrt{A} +a log |x+\sqrt{A}|\) \(I= \frac{1}{2}\left( x \sqrt{A} +a\ log |x+\sqrt{A}| \right) \) \(\therefore\ \) \(I= \frac{1}{2}\left( x \sqrt{a+x^2} \right. \)\(\left. +a\ log |x+\sqrt{a+x^2}| \right) \)
例題6.\( \int \sqrt{a+x^2} dx\) \(= \int 1 \cdot \sqrt{A} dx\) \(= x \sqrt{A} - \int x (\sqrt{A})' dx\) \(= x \sqrt{A} - \int x \frac{1}{2}\ (\sqrt{A})^{-\frac{1}{2}})\ 2x\ dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \frac{x^2}{\sqrt{A}}dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \frac{(x^2+a)-a}{\sqrt{A}}dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \frac{(A)-a}{\sqrt{A}}dx\) \(= x \sqrt{A} - \int \sqrt{A}dx +a \underline{\int \frac{1}{\sqrt{A}}dx} \)
下線部は公式より【参照先】：
\(\int \frac{1}{\sqrt{A}}dx=log |x+\sqrt{A}|\) \(= x \sqrt{A} - I +a log |x+\sqrt{A}|\) \(2I=x \sqrt{A} +a log |x+\sqrt{A}|\) \(I= \frac{1}{2}\left( x \sqrt{A} +a\ log |x+\sqrt{A}| \right) \) \(\therefore\ \) \(I= \frac{1}{2}\left( x \sqrt{a+x^2} \right. \)\(\left. +a\ log |x+\sqrt{a+x^2}| \right) \)
\(I=\int cos\ x \sqrt{1+(sin\ x)^2} dx\)
この例題は置換積分、部分積分を使い、また技巧的、計算は長丁場、暫く辛抱してください。
例題にふさわしくないが、この積分に\(2\pi\)をかけた式は：
\(2\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} cos\ x \sqrt{1+(sin\ x)^2} dx\) 「cosの波形のx軸を中心に回転させたときの回転面の表面積」
を表わす積分式で、これから学ぶデーマ【参照先】で使うので、あえてここに載せました。
時間のない方はパスしてもいいですよ！ \(u=sin\ x\)とおく、\( \frac{du}{dx}=cos\ x\) \(\therefore dx=\frac{1}{cos\ x} du\) \(I=\int cos\ x \sqrt{1+u^2}\frac{1}{cos\ x} du\) \(= \int \sqrt{1+u^2}\ du\) 今度は \(u=tan\ z\)とおく、\( \frac{du}{dz}=\frac{1}{cos^2\ z}=sec^2 z\)
（ \((tan\ z)'=sec^2 z\) ） \(\therefore du=sec^2 z\ dz\) \(I=\int \sqrt{1+tan^2z}\ sec^2z\ dz \) \(=\int \sqrt{\frac{cos^2z+sin^2z}{cos^2z}}\ sec^2z\ dz \) \(=\int \sqrt{\frac{1}{cos^2z}}\ sec^2z\ dz \) \(\underline{ \therefore 与式=\int sec^3z\ dz} \)
例題にふさわしくないが、この積分に\(2\pi\)をかけた式は：
\(2\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} cos\ x \sqrt{1+(sin\ x)^2} dx\) 「cosの波形のx軸を中心に回転させたときの回転面の表面積」
を表わす積分式で、これから学ぶデーマ【参照先】で使うので、あえてここに載せました。
時間のない方はパスしてもいいですよ！ \(u=sin\ x\)とおく、\( \frac{du}{dx}=cos\ x\) \(\therefore dx=\frac{1}{cos\ x} du\) \(I=\int cos\ x \sqrt{1+u^2}\frac{1}{cos\ x} du\) \(= \int \sqrt{1+u^2}\ du\) 今度は \(u=tan\ z\)とおく、\( \frac{du}{dz}=\frac{1}{cos^2\ z}=sec^2 z\)
（ \((tan\ z)'=sec^2 z\) ） \(\therefore du=sec^2 z\ dz\) \(I=\int \sqrt{1+tan^2z}\ sec^2z\ dz \) \(=\int \sqrt{\frac{cos^2z+sin^2z}{cos^2z}}\ sec^2z\ dz \) \(=\int \sqrt{\frac{1}{cos^2z}}\ sec^2z\ dz \) \(\underline{ \therefore 与式=\int sec^3z\ dz} \)
ここから部分積分を使う
\(h=sec\ z,\ \) \(g=tan\ z\ \) \(\frac{dh}{dz}=(\frac{1}{cos\ z})'=\frac{sin\ z}{cos^2\ z}=sec\ z \ tan\ z\) \(\therefore dh=sec\ z \ tan\ z \ dz\)
\(I=\int sec^3z\ dz \)\(=\int sec\ z sec^2z\ dz \)
\(=\int sec\ z\ (tan\ z)'\ dz \)
\( =sec\ z \ tan\ z- \int (sec\ z)' tan\ z\ dz \)
\( =sec\ z \ tan\ z\)\(- \int tan\ z \ (sec\ z) tan\ z\ dz \)
\( =sec\ z \ tan\ z- \int tan^2 z \ sec\ z\ dz \)
\(h=sec\ z,\ \) \(g=tan\ z\ \) \(\frac{dh}{dz}=(\frac{1}{cos\ z})'=\frac{sin\ z}{cos^2\ z}=sec\ z \ tan\ z\) \(\therefore dh=sec\ z \ tan\ z \ dz\)
\(cos^2z+sin^2=1\) \(\cdots \times \frac{1}{cos^2} \)
\(1+tan^2 z=\frac{1}{cos^2 z}\)
\(tan^2z=\frac{1}{cos^2 z}-1\)\(=sec^2 z -1\)
\( =sec\ z \ tan\ z- \int (sec^2 z-1) \ sec\ z\ dz \)
\( =sec\ z \ tan\ z- \int sec^3 z dz + \int \ sec\ z\ dz \)
\(\therefore \int sec^3 z dz=sec\ z \ tan\ z- \int sec^3 z dz\)\(+ \int \ sec\ z\ dz \)
\(\int sec^3 z dz +\int sec^3 z dz =sec\ z \ tan\ z\) \(+ \int \ sec\ z\ dz \)
\(2\int sec^3 z dz =sec\ z \ tan\ z\)\(+ \int \ sec\ z\ dz \)
\(\underline{\int sec^3 z dz }= \frac{1}{2} [sec\ z \ tan\ z + \underline{\int \ sec\ z\ dz}] \)
☞
\(\int \ sec\ z\ dz=log|sec\ z+tan\ z|\) ここから引用⇒【参照先】
\(=\frac{1}{2} [sec\ z \ tan\ z+log|sec\ z+tan\ z|\)
\(1+tan^2 z=\frac{1}{cos^2 z}\)
\(tan^2z=\frac{1}{cos^2 z}-1\)\(=sec^2 z -1\)
\( u=tan z \) より
\(sec^2z=\frac{cos^2z+sin^2z}{cos^2z}=1+tan^2z\) \(sec\ z=\sqrt{1+tan^2z}=\sqrt{1+u^2}\)
\(=\frac{1}{2} [\sqrt{1+u^2}\ u +log|\sqrt{1+u^2} +u|]\)
\(=\frac{1}{2} \left[ \sqrt{1+sin^2x}\ sin\ x \right. \) \( \left. +log|\sqrt{1+sin^2x} +sin\ x| \right] \)
\(sec^2z=\frac{cos^2z+sin^2z}{cos^2z}=1+tan^2z\) \(sec\ z=\sqrt{1+tan^2z}=\sqrt{1+u^2}\)