楽しく学ぶ…数学/微分積分
置換積分（不定積分）
(permutation integral(indefinite integral))--目 次--
∗1.置換積分/基本
∗ (1)\( \int x \sqrt {x + 3} dx \)
∗ (2)\( \int (3x + 2)^3 dx \) ∗ 2.置換積分/特異パターン(1)
∗ (1)\( \int 2x \sqrt {x^2 + 3} dx \)
∗ (2)\( \int \frac{(log\ x)^2}{x} \ \ (= \int \frac{1}{x} (log\ x)^2\ ) \)
∗ (3)\( \int 2x e^{{x}^2} dx \)
∗ (4)\( \int cos^3x dx \) ∗ 3.置換積分/特異パターン(2)
∗ (1) \( \int \frac {1}{x\ log\ x}\ dx \) ∗ (2) \( \int \frac {3x+1}{(x^3+x+1)} dx \)
∗ (1)\( \int x \sqrt {x + 3} dx \)
∗ (2)\( \int (3x + 2)^3 dx \) ∗ 2.置換積分/特異パターン(1)
∗ (1)\( \int 2x \sqrt {x^2 + 3} dx \)
∗ (2)\( \int \frac{(log\ x)^2}{x} \ \ (= \int \frac{1}{x} (log\ x)^2\ ) \)
∗ (3)\( \int 2x e^{{x}^2} dx \)
∗ (4)\( \int cos^3x dx \) ∗ 3.置換積分/特異パターン(2)
∗ (1) \( \int \frac {1}{x\ log\ x}\ dx \) ∗ (2) \( \int \frac {3x+1}{(x^3+x+1)} dx \)
式の中である部分を置き換えて、積分しやすい形にして積分する方法。
うまく置き換えれば簡単に積分できるが、できない場合もあります。
まず基本を説明して、次に特異パターンについても紹介します。
1.置換積分(基本)
関数\( f(x) \)について\( x=g(t) \) という関数に対し \( f(g(t)) \)が合成関数です。
関数\(f(x)\)は連続、関数\(g(t)\)は微分可能、導関数\(g'(t)\)は連続とします。
この合成関数の微分を以下のように積分に応用していきます。 \( F(x)=\int f(x)\ dx \)
\( x=g(t)\), \(f(x)=f(g(t))\)
とします。 下式は合成関数の微分式です。
\(\frac{dF(x)}{dt}=\frac{dF}{dx} \frac{dx}{dt}\) \(=f(x) \frac{dx}{dt}\)\(=f(x)\ g'(t)\) \(=f(g(t))\ g'(t) \) の式が成り立ちます。 これより、以下の公式が導き出せる。
\( \color{red}{ \int f(x)dx} =\int f(x) \frac {dx}{dt} dt \) \( =\int f(g(t)) \frac {dx}{dt} dt =\color{red}{\int f(g(t)) g’(t)dt} \) 公式❶:
\(\underline{\int f(x)dx= \int f(g(t)) g’(t)dt}\)
関数\(f(x)\)は連続、関数\(g(t)\)は微分可能、導関数\(g'(t)\)は連続とします。
この合成関数の微分を以下のように積分に応用していきます。 \( F(x)=\int f(x)\ dx \)
\( x=g(t)\), \(f(x)=f(g(t))\)
とします。 下式は合成関数の微分式です。
\(\frac{dF(x)}{dt}=\frac{dF}{dx} \frac{dx}{dt}\) \(=f(x) \frac{dx}{dt}\)\(=f(x)\ g'(t)\) \(=f(g(t))\ g'(t) \) の式が成り立ちます。 これより、以下の公式が導き出せる。
\( \color{red}{ \int f(x)dx} =\int f(x) \frac {dx}{dt} dt \) \( =\int f(g(t)) \frac {dx}{dt} dt =\color{red}{\int f(g(t)) g’(t)dt} \) 公式❶:
\(\underline{\int f(x)dx= \int f(g(t)) g’(t)dt}\)
さっそく、例題をやりましょう。
例 題 (1)\( \int \underline {x \sqrt {x + 3}} dx \) の不定積分を求めよ。
例 題 (1)\( \int \underline {x \sqrt {x + 3}} dx \) の不定積分を求めよ。
\( \sqrt {x + 3}＝t \) と置換すると、\( x=t^2-3 \ (=g(t)) \) となります。
下線部の被積分関数は \( f(g(t))=(t^2-3)t=t^3-3t \)
また、\( \frac {dx}{dt}= g’(t)＝ 2t \ \)となり, 与式は次のように展開される。
\( \int （t^2－3）t\ \underline{\frac{dx}{dt}} dt\) \(=\int (t^3－3t)\underline{\ 2t\ }\ dt= \int (2t^4－6t^2) dt \)
（上式は \( \frac{dx}{dt}\) に \( \frac {dx}{dt}= g’(t)＝ 2t \ \) を代入）
\(= \frac {2}{5}\ t^5 \ －\ \frac {6}{3}\ t^3 \)
\(= \frac {2}{5}\ (\sqrt {x + 3})^5 \ －\ \frac {6}{3}\ (\sqrt {x + 3})^3 \)
\(= \frac {2}{5}\ (x + 3)^{\frac{5}{2}} \ －\ 2\ (x + 3)^{\frac{3}{2}} \)
下線部の被積分関数は \( f(g(t))=(t^2-3)t=t^3-3t \)
また、\( \frac {dx}{dt}= g’(t)＝ 2t \ \)となり, 与式は次のように展開される。
\( \int （t^2－3）t\ \underline{\frac{dx}{dt}} dt\) \(=\int (t^3－3t)\underline{\ 2t\ }\ dt= \int (2t^4－6t^2) dt \)
（上式は \( \frac{dx}{dt}\) に \( \frac {dx}{dt}= g’(t)＝ 2t \ \) を代入）
\(= \frac {2}{5}\ t^5 \ －\ \frac {6}{3}\ t^3 \)
\(= \frac {2}{5}\ (\sqrt {x + 3})^5 \ －\ \frac {6}{3}\ (\sqrt {x + 3})^3 \)
\(= \frac {2}{5}\ (x + 3)^{\frac{5}{2}} \ －\ 2\ (x + 3)^{\frac{3}{2}} \)
(2)\( \int (3x + 2)^3 \underline{dx} \)
の不定積分を求めよ。
\( 3x + 2＝t \) と置換すると、\( \frac{dt}{dx}=3 \)
\( \underline{\ dx\ }= \frac{1}{3}\ t \) …これを与式の\( dx \)に代入する。
これは前の例題とチョットと違いますが（前の例題では\( \frac{dx}{dt} \)を代入）、公式を完璧に覚えなくても対応できると思います。
\( \int (3x + 2)^3 dx = \int t^3\ dx \) \(= \int t^3\ \frac{1}{3}\ dt\) \(= \frac{1}{3} \int t^3\ dt \)
\( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}\ t^4\ = \frac{1}{12}\ (3x+2)^4 \)
\( \underline{\ dx\ }= \frac{1}{3}\ t \) …これを与式の\( dx \)に代入する。
これは前の例題とチョットと違いますが（前の例題では\( \frac{dx}{dt} \)を代入）、公式を完璧に覚えなくても対応できると思います。
\( \int (3x + 2)^3 dx = \int t^3\ dx \) \(= \int t^3\ \frac{1}{3}\ dt\) \(= \frac{1}{3} \int t^3\ dt \)
\( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}\ t^4\ = \frac{1}{12}\ (3x+2)^4 \)
2.置換積分/特異パターン(1)
式❶の右辺と左辺を入れ換えると：
\( \int f(g(t)) g’(t)dt=f(x)dx \) 変数 \( x, t \) を入れ換えると、次の公式が導かれる 公式❷:
\(\underline{\int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt} \)
\( f(g(x))\)の微分\( g'(x)\)がうまく見つけられれば、例題のように簡単な形の積分にとなります。
例 題
(1)\( \int \underline{2x} \sqrt {\underline{x^2 + 3}} dx \)
の不定積分を求めよ。
\( \int f(g(t)) g’(t)dt=f(x)dx \) 変数 \( x, t \) を入れ換えると、次の公式が導かれる 公式❷:
\(\underline{\int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt} \)
\( f(g(x))\)の微分\( g'(x)\)がうまく見つけられれば、例題のように簡単な形の積分にとなります。
( \( \int f(g(x)) g'(x)dx \) の形ですね\(\cdots (\underline{x^2+3}\ )'=\underline{2x} \))
\(t(=g(x))=x^2+3\)とおき\(\ ,g'(x)=2x \) 。
（\( \ dt = 2x\ dx \) の計算は不要）
（\( \ dt = 2x\ dx \) の計算は不要）
\( \int 2x \sqrt{x^2 + 3}\ dx\) \(=\int (x^2)' \sqrt{x^2 + 3}\ dx\)
\(=\int\sqrt{ t }\ dt \)
\( =\frac{2}{3}\ t^{\frac{3}{2}}\)\(= \frac{2}{3} (x^2 + 3)^{\frac{3}{2}} \)
\( = \frac {2}{3} \ (x^2+3) \ \sqrt {x^2+3} \)
このように\( f(g(x))\)の微分\( g'(x)\)がうまく見つけられれば、公式の右辺のように簡単な形の積分にとなります。
(2)\( \int \frac{(log\ x)^2}{x} dx \) \( (=\int \frac{1}{x} (log\ x)^2 dx ) \) の不定積分を求めよ。
( \( \int f(g(x)) g'(x)dx \) の形ですね \( \cdots \frac{1}{x} = (log\ x)' \) )
\(t(=g(x))=log\ x\)とおき\(\ ,g'(x)=\frac{1}{x}\) 。
(3)\( \int 2x e^{{x}^2} dx \)の不定積分を求めよ。
( \( \int f(g(x)) g'(x)dx \) の形です\(\cdots ( x^2=2x) \))
\( \int \frac{1}{x} (log\ x)^2 dx\) \(= \int (log\ x)' (log\ x)^2 dx \)
\(= \int t^2 dt \)
\(= \frac{1}{3}\ t^3 dt\) \(=\frac{1}{3}\ (log\ x)^3 \)
\(t=g(x)=x^2\) \(, g'(x)=2x\) \(, f(g(x))=f(t)=e^t\)
【解法1】
上記(1)(2)と同様 \( \int 2x e^{{x}^2} dx \)\(= \int (x^2)' e^{{x}^2} dx \)(※2) \(=\int e^t dt\) \(=e^t\) \(=e^{{x}^2}\) 注1：被積分関数が公式の形をしていれば、直接、公式の右辺の式にして計算できるというわけです。
注2(※2)の補足：（\(=\int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt\) ） 【解法2】
基本公式❶を使う補法 \( \frac{dt}{dx}=2x\) \(,\ dt=\underline{2x dx}\) \(, e^{{x}^2}=e^t\) \( \int \underline{2x} e^{{x}^2} \underline{dx} \)\(= \int e^{t} dt \)\(=e^{{x}^2}\) 解法のどちらを使うか自由ですが、解答時間が【解法1】のほうが早い。
上記(1)(2)と同様 \( \int 2x e^{{x}^2} dx \)\(= \int (x^2)' e^{{x}^2} dx \)(※2) \(=\int e^t dt\) \(=e^t\) \(=e^{{x}^2}\) 注1：被積分関数が公式の形をしていれば、直接、公式の右辺の式にして計算できるというわけです。
注2(※2)の補足：（\(=\int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt\) ） 【解法2】
基本公式❶を使う補法 \( \frac{dt}{dx}=2x\) \(,\ dt=\underline{2x dx}\) \(, e^{{x}^2}=e^t\) \( \int \underline{2x} e^{{x}^2} \underline{dx} \)\(= \int e^{t} dt \)\(=e^{{x}^2}\) 解法のどちらを使うか自由ですが、解答時間が【解法1】のほうが早い。
(4)\( \int cos^3x dx \)の不定積分を求めよ。
\(cos^3x=cos^2x \cdot cos x =(1-sin^2x)(sin\ x)'\)
( \( \underline{\int f(g(x)) g'(x)dx }\) の形です\(\cdots (sin\ x)'=cos\ x \))
\(t=sin\ x (=g(x)) \) \(,\ g'(x)=cos\ x \)
\(f(t)=1-t^2\) \(\int cos^3x dx = \int (cos^2x \cdot cos x)dx\) \(=\underline{ \int ((1-sin^2x)(sin\ x)' )dx} \) \(=\int (1-t^2) dt \) \(=\int dt- \int t^2) dt \) \(=t-\frac{1}{3}t^3\) \(=sin\ x-\frac{1}{3} sin^3 x\)
\(f(t)=1-t^2\) \(\int cos^3x dx = \int (cos^2x \cdot cos x)dx\) \(=\underline{ \int ((1-sin^2x)(sin\ x)' )dx} \) \(=\int (1-t^2) dt \) \(=\int dt- \int t^2) dt \) \(=t-\frac{1}{3}t^3\) \(=sin\ x-\frac{1}{3} sin^3 x\)
3.置換積分/特異パターン(2)
このパターンは\( f(x)=( g(x) )^a =g(x)\)すなわち、\( a=1 \) の場合に使えます。
今、\( \int \frac {e^x}{e^x+1} dx \, \int \frac{2x}{x^2+1} dx\) の積分を考える。
この2式は以下の関数を微分したものです。
すなわち、\( log \ (e^x+1)' \) と \( log \ (x^2+1)' \) を微分（合成関数）したものです。
今、\( \int \frac {e^x}{e^x+1} dx \, \int \frac{2x}{x^2+1} dx\) の積分を考える。
この2式は以下の関数を微分したものです。
すなわち、\( log \ (e^x+1)' \) と \( log \ (x^2+1)' \) を微分（合成関数）したものです。
ここで対数微分の式を思い出して下さい。
\( \underline{ \frac{d}{dx} (log \ {y}) } \(= \left(\frac{d(log|y|)}{dy} \right) \frac{dy}{dx}\)
\( = \underline{ \frac{1}{y} \cdot {y}' } \)
上式対数微分のyをfに替えて、「\( \int \)」でくくれば以下の公式が得られます。
公式❸：\(\underline{ \int f(x)dx =\int \frac {(f(x))'}{f(x)}dx}\) \(\quad \underline{ =log \ |f(x)|} \)
例 題
(1) \( \int \frac {1}{x\ log\ x}\ dx \)
の不定積分を求めよ。
\(=\int \frac {1}{x} \frac{1}{ log\ x} dx\) \(= \int \frac {(log\ x)'}{ log\ x} dx\)\(= log\ \left|log\ x\right| \)
別解法（特異パターン(1)を使う）
\( t=g(x)=log\ x \)
とおくと
\( \frac {dt}{dx}= \frac{1}{x} \) \(\quad \therefore dt=\frac{1}{x} dx \)
\( \int \frac {1}{x} \frac{1}{ log\ x} dx\) \(= \int \frac{1}{t} dt\)\(= log |t| = log |log\ x| \)
(2) \( \int \frac {3x+1}{(x^3+x+1)} dx \)
の不定積分を求めよ。
\( x^3+x+1=t \)
とおくと
\( \frac {dt}{dx}= 3x+1 \)
\( \quad \therefore dx=\frac{1}{3x+1} dt \)
\( \int \frac {3x+1}{(x^3+x+1)} dx\)\(= \int \frac{3x+1}{t} dx\) \(=\frac{3x+1}{t} \frac{1}{3x+1} dt \)
\( =\int \frac {1}{t} dt\)\(=log\ |t|\)\(=log\ |x^3+x+1| \)
いかがでしたか、置換積分のポイントとして、被積分関数\( f(g(x))\)の中に微分\( g'(x) \)があるかどうかを見る。
あれば置換積分の特異パターン(1),(2)が使える。
また置換積分では被積分関数\( f(g(x))\)のなかのどの部分を「t」と置くかがポイントとなります。
無理関数の積分では √ の中を \(t\) とおくと うまくいくことが多い。
（t の置き換えが１通りでないので 数多く問題をこなして慣れることですね！）
あれば置換積分の特異パターン(1),(2)が使える。
また置換積分では被積分関数\( f(g(x))\)のなかのどの部分を「t」と置くかがポイントとなります。
無理関数の積分では √ の中を \(t\) とおくと うまくいくことが多い。
（t の置き換えが１通りでないので 数多く問題をこなして慣れることですね！）
[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れ様でした！
試験の時（学生の方）、時間が短く感じますよね。 早く解くのも重要…、余裕ができますからね。そんなときに「置換積分により解きなさい」と指定されていれば、まず上記の特異パターンのなのか否か、もし そのパターンであれば早く解けますね！
あとは被積分関数のどこを置換するのかですね。 無理関数であればルートの中を置換するとうまく解ける場合が多い。