湘南理工学舎

楽しく学ぶ…微分積分

積分の定義と主な関数の積分

(indefinite integral of typical functuin)

--目　次--

∗ (1)定義式
∗(2)性質式1 ∗(3)性質式2
∗主な関数の不定積分
∗(4)\( \int x^α dx\) ∗(5)\( \int \frac{1}{x} dx\)
∗(6)\( \int e^{x} dx\) ∗(7)\( \int e^{ax} dx\)
∗(8)\( \int sin\ ax\ dx\) ∗(9)\( \int cos\ ax\ dx\)
∗(10)\( \int tan\ ax dx\) ∗(11)\( \int \frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx\)
∗(12)\( \int -\frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx\) ∗(13)\( \int \frac {1}{{a^2+x^2}} dx\)
∗例題：不定積分を求める。
∗(1)\(sin\ 3x\ sin\ x \)
∗(2)\(\frac{x^2-\sqrt x}{\sqrt x}\)
∗(3)\(-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)
∗(4)\( \frac {2}{(x+1)(x+2)} \)
∗(5)\( a = e^{(log\ a)} \)

1.不定積分の定義と性質

関数\( f(x) \)に対し
\( F'(x)=\frac{dF}{dx}=f(x)\)
を満たすとき、
\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。
上式の逆操作の原始関数\(F(x)\)を求める \(\int f(x)dx \) を \(f(x)\) の不定積分という。
これを次式で定義します。

(1)：定義式

\( \underline{ \int f(x) dx = F(x) +C } \)

\(f(x)\):被積分関数 \(, F(x)\):原始関数 \(, C \):積分定数

注1：この講義では不定積分の積分定数 C は省略していきます。
注2：不定積分の解は定数部が1通りでないことがある。
例えば\(\int (x+1)^2 dx\)は「多項式に展開して積分」した時と「合成関数による積分」では定数項が異なる。
これは微分する時は、定数項は「0」となるからです。

(2)不定積分の性質1
\( \underline{ \int k f(x) dx = k \int f(x) dx} \)

(3)不定積分の性質2（線形性）
\( \underline{ \int \left( f(x) + g((x) \right) dx} \) \( \underline{ =\int f(x) dx + \int g(x) dx }\)

2.主な関数の積分

[1]\(　\ x^\color{red}{\b{α}}\) の積分

(4)\(\quad (α \neq 0)\)のとき：
\( \int x^α dx = \frac{1}{α+1} x^{α+1} \)

(5)\(\quad (α = -1) \)のとき：
\( \int x^{\b{-1}} dx= \int \frac{1}{x} dx\)\(= log {x} \)

[2]指数関数の積分

(6)
\( \int e^{x} dx = e^x　\)

(7)
\( \int e^{ax} dx =\frac {1}{a}e^{ax}　\quad (a \ne 0 ) \)

[3]三角関数の積分
三角関数の積分は三角関数の微分から導き出せます。
「積分の基本公式」と重複しますが、ここでまとめて記載します。
三角関数の積分の解法でよく使われるのが加法定理、倍角の定理なども、最後に記載しておきます。

(8)
\( \int sin\ ax\ dx = -\frac{1}{a} cos\ ax \)

(9)
\( \int cos\ ax\ dx = \frac{1}{a} sin\ ax \)

(10)
\( \int tan\ ax dx = -\frac{1}{a}log|cos\ ax| \)

\( \because \int \tan\ ax dx = \int \frac {sin ax}{cos ax} dx \) \( =\int - \frac{1}{a} \frac{(cos ax)'}{cos ax} dx\) \(= -\frac{1}{a} log|\cos ax| \　\)

[4]逆三角関数の積分
以下は逆三角関数の微分から導き出せます。

(11)上段の式はは下段の式を一般化した式
\( \int \frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx =sin^{-1} (\frac{x}{a})\)
\( 一般化 \quad ( \leftarrow\) \(\int \frac {1}{\sqrt {1-x^ 2}} dx =sin^{-1} x \ \cdots (*) ) \)

(12)
\( \int -\frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx\)\( =cos^{-1} (\frac{x}{a})\)

(13)
\( \int \frac {1}{{a^2+x^2}} dx\)\( =\frac {1}{a} tan^{-1} (\frac{x}{a})\)

【導出】:
\( \left( tan^{-1} (\frac{x}{a}) \right)'\) \(=\frac{1}{a} \frac{1}{1+ (\frac{x}{a})^2} \)\(=\frac{a}{a^2+x^2}\)

\( \int \frac {1}{{a^2+x^2}} dx\)\( = \frac {1}{a}\int \frac {a}{a^2+x^2} dx \)\( =\frac {1}{a} tan^{-1} (\frac{x}{a})\)

積分の代表的な技法を使う例題をまとめてみました。

例題1. （三角関数の加法定理を使う）
\( \underline{ sin\ 3x\ sin\ x }\) の不定積分を求める。

以下の式変形には次の項の「三角関数の各公式【参照先】」の（※b）から得る式を使います。
すなわち \( cos(A+B)-cos(A-B) = -2 sin\ A\ sin\ B \) を使います。

\( \int sin\ 3x\ sin\ x dx \) \( = \int [ -\frac{1}{2} (cos(2x+1x)-cos(2x-1x) ] dx\)

\( = -\frac{1}{2} \int cos(3x)dx +-\frac{1}{2}\int cos (x) dx )\)

\( =-\frac{1}{6}sin(3x) +\frac{1}{2} sin (x) \)

例題2. （分母の有理化）
\( \quad \underline { \frac{x^2-\sqrt x}{\sqrt x} } \ \) の不定積分を求める。

積分の前に、分母の有理化をします。

\( \frac{x^2-\sqrt x}{\sqrt x}\)\(=\frac{x^2-\sqrt x}{\sqrt x} \frac{ \sqrt x}{\sqrt x}\) \(=\frac{　\sqrt x (x^2-\sqrt x) }{x}　\) \(= \frac{\sqrt x (x^2)}{x}-\frac{x}{x}　\) \(= x \sqrt x -1 \)

これを与式に代入して積分する。

\( \int \frac{x^2-\sqrt x}{\sqrt x} dx \) \(= \int (x \sqrt x -1) dx\) \(= \int x^{ \frac{3}{2} }dx - \int 1 dx \)

\(= \frac{1} { 1+\frac{3}{2} } x^{1 + \frac{3}{2} } -x \) \(= \frac{2}{5} x^{ \frac{5}{2} } + x\) \(= \frac{2}{5} x^2 \sqrt x + x \) \(= \frac{2}{5} x ( x \sqrt x + \frac{5}{2}) \)

例題3. （3角関数の逆関数）
\( \quad \underline{ - \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} } \) の不定積分を求める。

与式を変形
\(- \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\) \( = - \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} \)

この形は三角関数の逆関数であることに気づこう！
すなわち

\( \frac{d}{dx} \left( cos^{-1} (\frac{x}{2}) \right) \) \( = - \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} \)

あとは簡単です

\( \int - \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx \) \(= \int - \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} dx \) \(= cos^{-1} (\frac{x}{2})\)

例題4. （部分分数展開をする）
\( \frac {2}{(x+1)(x+2)} \) の不定積分を求める。

与式を部分分数化します。（部分分数化はここを参照）

\( \frac {2}{(x+1)(x+2)} \) \(=\frac{2}{(x+1)}-\frac {2}{(x+2)} \)

これより以下のように展開できます。
\(\int ( \frac {2}{(x+1)(x+2)}) dx \) \(= \int ( \frac{2}{(x+1)}-\frac {2}{(x+2)} )dx \)

\(= \int \frac{2}{(x+1)} dx - \int \frac {2}{(x+2)} dx \)

\(= 2\ log |x+1|- 2\ log |x+2| \)

\(= 2\ log \frac{|x+1|}{|x+2|} \)

例題5. （置換積分を使う）
\( \underline {a^x }\ \) の不定積分を求める。

\( a = e^{(log\ a)} \) (※1)

\( u = x\ loga \)

\( \frac{du}{dx}= (x\ loga )'= loga \)

\( dx= \frac{1}{log\ a} du \)

\( \int a^x dx = \int e^{x\ log\ a} dx \) \(= \int e^{u} \frac{1}{log\ a} du \)

\(= \frac{1}{log\ a} \int e^{u} du \) \(= \frac{1}{log\ a} e^{u} \)

\(= \frac{1}{log\ a} e^{x\ loga} \)

注（※1）：指数関数の積分において多用しています。
\( a = e^{log\ a} \) です。
\( a=e^u \Longleftrightarrow { log\ a=u \ }\)
\( \therefore a = e^\underline {u} = e^\underline {log\ a} \longrightarrow a^x = e^{x\ log a} \)

　積分解法によく使う技法は以下を参照して下さい。
【置換積分の参照先】
【部分積分の参照先】

三角関数の各公式（参考）

・\(sin(A \pm B)=sinAcosB \pm cosAsinB \) (※a)

・\(cos(A \pm B)=cosAcosB \mp sinAsinB \) (※b)

・\(tan(A \pm B)=\frac {tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B} \)
（ \((tan(A+B)=\frac {sin(A+B)}{cos(A+B)}\) \( \times \frac {\div (cosAcosB)}{\div (cosAcosB)} \) ）

・\( sin 2A =2sinAcosA \)
（\(sin(A+A)\) \(=sinAcosA+cosAsinA\) \(=2sinAcosA \) ）

・\( cos 2A =2 cos^2 A-1 = 1- 2sin^2A \)
（　\( cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA　\) \( =cos^2A+ain^2A \) \(=cos^2A-(1-cos^2A)\) \(=2cos^2A-1\) ）

・\( sin^2 \frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{2} \)

・\( cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1+cosA}{2} \)

・\( tan^2 \frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{1+cosA} \)
・\( sin 3A =3 sinA-4sin^3A \)
・\( cos 3A =-3 cosA+4scos^3A \)

式(※a)の暗記は必須、できれば(※b)も暗記、あとの式は(※a)、(※b)から導出できます！

coffe

[コーヒーブレイク/閑話］…オイラーの公式から！

オイラーの公式から加法定理が導ける。

\( e^{iθ}=cos\ θ+i\ sin\ θ \) から

\( e^{i(A+B)} \) \(= \underline {cos(A+B)}+\underline{i\ sin(A+B)} \)

\( e^{i(A+B)} = e^{iA} \cdot e^{iB} \)
\(= (cosA+i\ sinA)(cosB+i\ sinB) \)
\(= \underline{cosAcosB-sinAcosB}\) \(+ \underline{i\ (sinAcosB+cosAsinB)} \)
実部と虚部を比較して次のとおり加法定理の式が求まります。

\( cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB \)

\( sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB \)

[最後に一言]社会人の方が数学から長く疎遠になり「公式を忘れた！」…仕方ないと思います。
しかし、本を読みなおしたら、すぐに理解して思い出せればよいのです。