関数列の無限列の和は級数です、これを関数項級数といっています。
\(\sum f_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots\) \(+f_n(x)+\cdots\)
整級数、テーラー級数、マクローリン級数なども関数列の級数ですね。
例えば \(log(1+x)\)のマクローリン展開(級数)は:
\(log(1+x)=\displaystyle \sum_{n = 0 }^{ \infty } \frac{f^{n}(0)}{n!} x^n\)
\(=x-\frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}-\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n+\cdots\)
この式から、以下のようにすると、次の各項は関数列として考えて収束の論議にはいる。
\(f_1(x)=x\)
\(,\ f_2(x)=x-\frac{x^2}{2} \)
\(,\ f_3(x)=x-\frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} \)
\( \displaystyle \color{red}{\lim_{n \to \infty}} \color{blue}{\int_{a}^{b}} f_n{x}dx\)
\(=\displaystyle \color{blue}{\int_{a}^{b}} \color{red}{\lim_{n \to \infty}} f_n(x) dx\)
\(=\displaystyle \int_{a}^{b}f(x) dx\)
( \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)\) )
このことは次回のテーマである項別積分の公式の導出に使われる。
また数学以外の物理などでも応用されている。
また「ε-N論法」的には次の式が成り立つことである。
x に依存する自然数 \(n \gt N\) に対し
\(|f_n(x)-f(x)|\lt ε \)
詳しくは「ε-N論法」の項で説明するが、ここの N は ε と x に依存している。
\( \displaystyle \color{red}{\lim_{n \to \infty}} \color{blue}{\int_{a}^{b}} f_n{x}dx\) \(=\displaystyle \color{blue}{\int_{a}^{b}} \color{red}{\lim_{n \to \infty}} f_n(x) dx\) \(=\displaystyle \int_{a}^{b}f(x) dx\)
(参考:定積分はリーマン和における微小分割Δを無限小にした極限でした)
それでは交換できない例を示そう!
・\(n\gt\frac{2}{x}\) または \(x\gt\frac{2}{n}\) なら \(f_n(x)=0\) である。
・一様収束条件の「x に依存せず収束する」ことに留意する。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=α\)
であるための判断は:
\(\left|a_n-α\right|\lt ε\)
でした。
\(n \rightarrow \infty\) のときの関数列\(f_n(x)\) の収束先は\(f(x)\)。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)\)であるから式❸は:
\( \begin{eqnarray}
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \overbrace{ \int_{I} f_n(x)dx }^{a_n}
\end{eqnarray} \)
\( \begin{eqnarray}
=\overbrace{\displaystyle\int_{I}f(x)dx}^{α} \quad:❸
\end{eqnarray} \)
である。
収束の差分の式は \(\left|a_n-α\right|\lt ε\)である。
同様にして(式❸の左辺の\(lim\)を外した)下式を展開していく:
\(\underline{|\displaystyle\int_I f(x)dx-\displaystyle\int_I f_n(x)dx |}\)
\(= |\displaystyle\int_I f(x)dx- f_n(x)dx|\)
\(\le \displaystyle\int_I | f(x)dx- f_n(x) | dx\)
\(f_n(x)\)は一様収束するから、n を大きくすると\(f_n(x)\)は\(f(x)\)に近づき
\(|f(x)dx- f_n(x)|\)はεでおえられる。
\(\le \displaystyle\int_I | f(x)dx- f_n(x) | dx \le \displaystyle\int_{a}^{b} ε dx \)
\(=\left[εx\right]_{a}^{b} \)
\(=ε(b-a)\) :❹
ε とはいくらでも小さくとれるから式❸が成り立つ。…証明終わり
補足:
\(n \rightarrow \infty\)のとき\(f_n(x) \rightarrow f(x)\)であるから「式❹→0」となる。
(参考のため)論理記号
・\(\ \color{red}{\forall}\ ε \):「すべてのε (all)」または「任意のε (any)」
・\(\ \color{red}{\exists}\ N \):「Nが存在する (exist)」
・\(\ \color{red}{s.t.}\ A \):「Aのような (such that)」
・\(\ A \color{red}{\Rightarrow} B \):「A ならB である」
以下は「\(\exists N∈\mathbb{N}\)」 と 「\(\forall x∈I\)」 のおかれている位置に注意する。