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湘南理工学舎
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2020/07/10

 楽しく学ぶ…数学/微分積分

  積 分 公 式

 (integral formula)
 --目 次--
  
(1)\(\int x^n dx\ (n\neq-1)\)(2)\(\int x^n dx\ (n=-1)\)
(3)\(\int e^x dx\) (4)\(\int a^x dx\)
(5)\(\int\frac{1}{x}dx\) (6)\(\int sin\ x dx\)
(7)\(\int cos x dx\) (8)\(\int tan\ x dx\)
(9)\(\int\frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}}dx\) (10)\(\int \frac {-1}{\sqrt {a^2-x^2}}dx\)
(11)\(\int \frac {1}{{a^2+x^2}} dx\) (12)\(\int sec^2 x\)
(13)\(\int sinh\ x dx\) (14)\(\int cosh\ x dx\)
(15)\(\int tanh\ x dx\) (16)\(\int \frac{1}{{x^2-a^2}}dx\)
(17)\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx\) (18)\(\int \sqrt{a+x^2}dx\)
(19)\(\int \frac{1}{\sqrt{a+x^2}}dx\) (20)\(\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx\)
(21)\(\int {f(x)}{f'(x)}dx\) (22)\(\int f'(x)g(x) dx\)
(23)\(\int \frac{1}{cos^2x}dx\) (24)\(\int \frac{1}{cos\ x}dx\)
(25)\( \int \frac{1}{sin\ x}dx\) (26)\( \int \frac{1}{tan\ x}dx\)
(27)\(\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx\)
(注)双曲関数 (閑話)双曲線関数

  以下は主な不定積分の基本公式です。
☞積分定数「C」は省略しています。
公式として記載してますが、積分は微分操作の逆(※)ということから導いている式もあれば、これから学ぶ積分技法から求めたものもあります。
(微分公式を覚えていれば積分公式が導かれるものもあります。)
 ※:逆とは積分の計算上のことです。

(1)
\( \int x^n dx =\frac {1}{n+1} x^{n+1} \ (n\neq-1) \) 

(2)
\( \int x^n dx =\log |x| \quad (n=-1) \) 

(3)
\( \int e^x dx =e^x \)

(4)
\( \int a^x dx =\frac {a^x}{log a} \)
  \( \because \int a^x dx = \int e^{x log a} dx\)\( =\frac{1}{log a}e^{xlog a}=\frac {a^x}{log a} \quad (a^x=e^{xlog a}) \)
 ( \( a=e^{log a} \cdots \) はよく使います、覚えて下さい!)

(5)
\( \int \frac{1}{x} dx = \log |x| \)

(6)
\( \int sin\ x dx = -cos x \)

(7)
\( \int cos\ x dx = sin x \)

(8)
\( \int tan\ x dx = -log|cos x| \)

 \( \because \int \tan\ x dx = \int \frac {sin x}{cos x} dx\)\( =\int \frac{-(cos x)'}{cos x} dx=-log|\cos x| \ \)

(9)
\( \int \frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx =sin^{-1} (\frac{x}{a})\) \( \quad ( \leftarrow \int \frac {1}{\sqrt {1-x^ 2}} dx =sin^{-1} x \ \cdots (*) ) \)
上式は右辺の逆三角関数を微分をみれば分かります。
  また式(9)は(*)の式を一般化した形です。式(10),(11)も同様です。(a=1 にするとよく見る式になります。)
積分の解法で多用されるので受験の場合はこの一般化した式を覚えた方がよい。
(10)
\( \int -\frac {1}{\sqrt {a^2-x^2}} dx\)\( =cos^{-1} (\frac{x}{a})\)

(11)
\( \int \frac {1}{{a^2+x^2}} dx\)\( =\frac {1}{a} tan^{-1} (\frac{x}{a})\)

(12)
\( \int sec^2 x =\frac {1}{{cos^2 x}} dx = tan x \)

(13)※1
\( \int sinh\ x dx = cosh x \)

(14)※1
\( \int cosh\ x dx = sinh x \)

(15)※1
\( \int tanh\ x dx = log\ (e^x+e^{-1}) \)

(16)
\( \int \frac{1}{{x^2-a^2}} dx\)\( = \frac{1}{2} log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \cdots (a \neq b) \)

(17)
\( \int \sqrt{a^2-x^2} dx\)\(= \frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2} + a^2 sin^{-1} \frac{x}{a} \right) \) \( \cdots (a>0) \)

(18)
\( \int \sqrt{a+x^2} dx\) \(=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a+x^2}+ a \ log \left| x+ \sqrt {a+x^2} \right| \right)\) \( \cdots (a+x^2 ≥0, \ a \neq 0) \)
(ヒント:部分積分により導出できる) 【参照先】

(19)
\( \int \frac{1}{\sqrt{a+x^2}} dx\)\(= \ log \left| x+ \sqrt {a+x^2} \right|\) \( \cdots (a+x^2 ≥0, \ a \neq 0) \)

(20)
\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx\)\( = \log |f(x)| \)

(21)
\( \int {f(x)}{f'(x)} dx\)\( = \frac {1}{2} [f(x)]^2 \)

\( Ex: \ \int sin\ x\ cos\ x dx\) \(=\int sin\ x (sin\ x)' dx =\frac{1}{2} sin^2\ x \)

(22)
\( \int f'(x)g(x) dx\)\(=f(x)g(x)-\int f(x) g'(x) dx \)

(23) 【導出の参考先】
\( \int \frac{1}{cos^2x}dx=tan\ x \)

(24) 【導出の参考先】
\( \int \frac{1}{1+cos\ x} dx \)\(= \frac{1}{2} log \left(\frac{1+sin\ x} {1- sin\ x} \right) \)
…(\( x \ne \frac{1}{2} \pi , x \ne \frac{3}{2} \pi \) )

(25) 【導出の参考先】
\( \int \frac{1}{sin\ x} dx \)\(= \frac{1}{2} log \left( \frac{1-cos\ x}{1+cos\ x} \right) \) 
…(\( x \ne 0 , x \ne \pi \) )

(26)
\( \int \frac{1}{tan\ x}dx\) \(= log |sin\ x|\)
…(\( x \ne 0 , x \ne \pi \) )

  \(( \because \int \frac{1}{tan\ x}dx\) \(=\int \frac{cos\ x}{sin\ x}dx\) \(=\int \frac{(sin\ x)'}{sin\ x}dx \) \(=log\ |sin\ x| )\)

(27)【導出の参考先】
\(I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx\) \(\ (n≥2)\)

\(=\frac{1}{2(n-1)a^2}\)\( \left[\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}} +(2n-3)I_{n-1}\right] \)


注(※1):
式(13)(14)(15)は双曲線関数(Hyperbolic function)です。
➝sinh x : 「ハイパボリック・サイン x 」と呼ぶ。

 \( sinh\ x= \frac {e^x-e^{-x}}{2} \) 

 \( cosh\ x= \frac {e^x+e^{-x}}{2} \)

 \( tanh\ x= \frac {sinh\ x}{cosh\ x} \)
 三角関数によく似ています、また三角関数と同様な定理があります。

coffe

[コーヒーブレイク/閑話]
…双曲線関数…


双曲線(Hyperbolic function)は特殊相対論のローレンツ変換に登場してくる曲線です。
fig.1は3種類の双曲線関数のグラフです。
(専用のソフトで描いています。)
双曲線関数を使わなくても次の2式によりグラフを描くこともできます。
 ・\( y=e^x \)   ・\(y=e^{-x} \)  

fig.2は \( x^2-y^2=1 \) のグラフです。(※2)
 ・\( \left( \ x=cosh\ (t), y=sinh\ (t) \right)\ \)をプロットしたグラフです。
 (グラフはエクセルで描いています)
 ・\(\ cosh\ (t), sinh\ (t)\ \)を合わせると対称性のある傘のような曲線になります。
 ・双曲線はx 軸とy 軸のいずれに関しても対称です。

双曲線関数

【fig1:双曲線関数のグラフ】

双曲線関数

【fig2:双曲線のグラフ】

※2:
公式 \( cosh^2\ x - sinh^2\ y=1 \) を使う。
\( (x,y)=( cosh\ (t), sinh\ (t) ) \ \) ❶ 
  \( \ x=cosh\ (t), y=sinh\ (t) \ \)とおく。
\( \ x^2 - y^2= cosh^2\ t - sinh^2\ t=1\)
\( \therefore \ x^2 - y^2= 1\) ❷
従って t が動くと ❶ の点は式❷ のグラフを描く。