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湘南理工学舎
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2024/02/02  
2020/03/25

 楽しく学ぶ…微分積分

 高階導関数

(high order derivatives)
 --目 次--                           
∗高階導関数の表し方
∗高階導関数の定義
∗主な関数のn 階導関数
∗\(y=e^n \)∗\(y=e^{3n} \)
∗\(y=x^n \)∗\(y=xe^x \)
∗\(y=a^x \)∗\(y=\frac{1}{x}\)
∗\(y=\frac{x+2}{x+1}\) ∗\(y=sin\ x \)
∗\(y=cos\ x \) ∗\(y=log\ x \)
∗ライプニッツの微分公式
∗ライプニッツの公式の導出
∗ライプニッツの公式を使う例題
∗閑話:微分の用語について

はじめに高階導関数(高次導関数ともいう)の表し方と一般的な定義を記載します。

高階導関数の表し方
2階導関数:
 \( y'',\ f''(x),\ \frac{d^2 y}{dx},\ \frac{d^2}{dx} f(x)\)

n 階導関数:
 \( y^{(n)},\ f^{(n)}(x),\ \frac{d^{(n)} y}{dx},\ \frac{d^{(n)}}{dx} f(x)\)
高階導関数の定義
2階導関数の定義
関数\(f'(x)\)が ある開区間において微分可能のとき:
下式を2階導関数という。
\(f''(x)= \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac {f'(x+h)-f'(x)}{h} \)

\(n\)階導関数の定義
関数\(f(x)\)が ある開区間においてn階微分可能のとき:
下式をn階導関数という。
\(f^{(n)}(x)\)\(=\displaystyle \lim_{ x \to a}\frac {f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}\)
   
主な関数 f(x)=y の n 階導関数
 求めるn 階導関数とはすべてのn について成り立つものです、このすべてのn について証明する手法が数学的帰納法です。
帰納法の【参照先】
以下ではいくつか代表的に数学的帰納法を使い証明しました。
・\(y=e^n \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=e^n\)
ネイピア数は何回微分しても同じ。
証明すべきことはないが、ネイピア数の性質についての 【参照先】


・\(y=e^{3n} \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=3^n e^{3n}\) \(\ :ⓐ\)

帰納法による証明
\(y^{(1)}=3e^{3n}\) \(\ ,\ \) \(y^{(2)}=9e^{3n}\) \(\ ,\ \) \(y^{(2)}=27e^{3n}\)
微分するたびに 3倍なので:
1)n=k として \( \rightarrow\)\(y^{(k)}=3^k e^{3n}\) ① と推測できるね。
2)まず n=1 のときは \( \rightarrow\)\(y^{(1)}=3^1 e^{3n}\) が成り立つ。
3)次に n=k+1 のときは① から\( \rightarrow\) \(y^{(k+1)}=\color{red}{3^{k+1} e^{3n}}\):➁
 最後に上記の式➁を証明する。(式①を微分する)
4)\(y^{(k+1)}=(y^{(k)})'=(3^k e^{3n})' \)\(=3^k \cdot 3 e^{3n}\)\(=\color{red}{3^{k+1} e^{3n} }\)
以上から①が成り立ちます。

・\(y=x^n \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=n!\) \(\ :ⓑ\)

帰納法による証明
\(y^{(1)}=(x^1)'=1\) \(\ ,\ \) \(y^{(2)}=(x^2)'=2\) \(\ ,\ \) \(y^{(3)}=(x^3)'=6\)
微分する階数の階乗となるので:
1)n=k として\( \rightarrow\)\(y^{(k)}=(x^k)^{(k)}=k!\) ① と推測する。
2)まず, n=1のとき\( \rightarrow\)\(y^{(1)}=(x)^{(1)}=1\)
3)次にn=k+1 のときは① から\( \rightarrow\) \(y^{(k+1)}=\color{red}{(x^{k+1})^{(k+1)}=(k+1)!}\):➁
 最後に上記の式➁を証明する。(式①を微分する)
4)➁を1回微分する
\((y^{(k+1)})'\) \(=\color{red}{ (x^{k+1})^{(k+1)}} \) \(=[(k+1)x^{k}]^{(k)} \)
 さらにk回微分すると:
\([(k+1)x^{k}]^{(k)}\)\((=y^{k+1})\) \(=(k+1) (x^{k})^{(k)} \) \(=(k+1)k!\)\(=\color{red}{(k+1)!}\)
以上から①が成り立ちます。

導出の発想は次のように展開していくこともある。
\(y^{(1)}=n x^{(n-1)}\) \(\ ,\) \(y^{(2)}=n(n-1) x^{(n-2)}\) \(\cdots \) \( \ y^{(n-1)}=(n(n-1)\cdots 3)x^2\) \(,\ y^{(n-1)}=(n(n-1)\cdots3\cdot2)x^1\) \(,\ y^{(n)}=n!\)


・\(y=xe^x \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=(x+n)e^x\)

\(y^{(1)}=e^x+xe^x\) \(,\ y^{(2)}=e^x+e^x+xe^x=(2+x)e^x\) \(,\ y^{(3)}=e^x+(2+x)e^x=(3+x)e^x\) \( \cdots \cdots\) \(y^{(n)}=(x+n)e^x\)


・\(y=a^x \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=a^x(log\ a)^n\)

\(y^{(1)}=a^x log\ a\) \(,\ y^{(2)}=a^x (log\ a)^2\) \( \cdots \cdots \) \( y^{(n-1)}= a^x (log\ a)^{(n-1)}\) \( ,\ y^{(n)}=a^x (log\ a)^{(n)}\)
対数微分公式 \( y' = y \cdot (log \ y)' \) を使う。 【参照先】


・\(y=\frac{1}{x}\) \( \rightarrow\) \( y^{(n)}=\frac{(-1)^n n!}{ x^{n+1} }\)

\(y^{(1)}=-1x^{-2}\) \(,\ y^{(2)}=(-1)(-2)x^{-3}\) \( \cdots \) \( y^{(n-1)}= (-1)^{(n-1)}(n-1)!x^{-n}\) \( ,\ y^{(n)}=(-1)^{n} n! x^{-(n+1)}\)


・\(y=\frac{x+2}{x+1}\) \( \rightarrow\) \( y^{(n)}=\frac{(-1)^n n!}{ (x+1)^{n+1} }\)

\(y=1+\frac{1}{1+x}=1+(1+x)^{-1}\) \(,\ y^{(1)}=(-1)(1+x)^{-2}\) \(,\ y^{(2)}=(-1)(-2)(1+x)^{-3}\) \( \cdots \) \( y^{(n-1)}= (-1)^{(n-1)} (n-1)! (x+1)^{-n}\) \( ,\ y^{(n)}=(-1)^{n} n! (x+1)^{-(n+1)}\)


・\(y=sin\ x \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=sin(x+\frac{n}{2} \pi)\)

3角関数は周期関数ですが、微分回数に関しても4 回微分すると元に戻る周期性があります。
【参照先】三角関数の性質
\(y^{(1)}=cosx=sin(x+\color{red}{\frac{1}{2} \pi})\)
\(,\ y^{(2)}=-sin x =sin(x+\pi)\) \(=sin(x+\color{red}{\frac{2}{2} \pi}) \)
\(,\ y^{(3)}=-cos x = cos(x+\pi)\) \(= sin (x+ \color{red}{\frac{3}{2} \pi})\)
\(,\ y^{(4)}= sin x = sin(x+2 \pi)\) \(= sin(x+ \color{red}{\frac{4}{2} \pi})\)


・\(y=cos\ x \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=cos(x+\frac{n}{2} \pi)\)
 上記と同様にして求める。(導出は省略)

・\(y=log\ x \) \( \rightarrow\) \(y^{(n)}=(-1)^{(n-1)}(n-1)! \frac{1}{x^n} \)

\(y^{(1)}=(log\ x)' = \frac{1}{x}=x^{-1}\)
\(,\ \ y^{(2)}=-1 x^{-2}\)
\(,\ \ y^{(3)}=-1\cdot-2 x^{-3}\)
\(,\ \ y^{(4)}=-1\cdot-2 \cdot-3 x^{-4}\)
   \( \vdots\)   \(\vdots \)
\(,\ y^{(n-1)}\) \(=\{-1\cdot-2\cdot-3 \cdots -(n-2)\} x^{n-1}\)
\(,\ y^{(n)}=\{-1\cdot-2\cdot-3\cdots -(n-2) \cdots\) \(\cdots-(n-1)\} x^{-n}\)
\( =(-1)^{(n-1)} (n-1)! x^{-2} \)


1階の積の微分公式【参照先】
をn 階微分に拡張した微分公式が以下のライプニッツの微分公式です。
ライプニッツの微分公式

【ライプニッツの微分公式】
\(f(x),\ g(x)\) は それぞれ n 回 微分可能な関数とする。
2つの関数の積の n 回導関数は次の式により求められる。
(\(f(x),\ g(x)\)の\((x)\)は省略する)
(1) \( (f\cdot g)^{(n)}= \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} {}_n \mathrm{ C }_k f^{(n-k)} \cdot g^{(k)} \) \(\ :❶\)
上式を展開すると:
(2) \((f \cdot g)^{(n)}\) \( = {}_n \mathrm{ C }_0 f^{(n)} \cdot g + {}_n \mathrm{ C }_1 f^{(n-1)} \cdot g^{(1)}\) \(+ {}_n \mathrm{ C }_2 f^{(n-2)} \cdot g^{(2)} +\)
 \( \cdots \cdots\) \( + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} f^{(1)} \cdot g^{(n-1)}\) \( +{}_n \mathrm{ C }_n f \cdot g^{(n)}\) \(\ :❶’\)

ライプニッツの微分公式の導出
 ライプニッツの公式は2項定理の公式と同じ形をしています。
さらにその係数は2項係数そのものです。
まずは以下に 2項定理の公式,よく使う2項係数の値を示しておきます。
 2項定理の公式:
\( (x+y)^n\) \( = \displaystyle \sum_{ r = 0 }^{ n } \ \color{red}{\underline{ {}_n \mathrm{ C }_r}} \ x^{n-r} \ y^r\)

\( = {}_n \mathrm{ C }_0 x^{n} + {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} y\) \(+ {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2} y^2 +\) \(\cdots + {}_n \mathrm{ C }_r x^{n-r} y^r\) \(\cdots+ {}_n \mathrm{ C }_{n-1} x y^{n-1}+{}_n \mathrm{ C }_n y^n\)

 よく使う2項係数の値:
\({}_n \mathrm{ C }_0 \) \(= \frac{ n!}{0!\ (n-0)!}= 1\) \(\quad {}_2 \mathrm{ C }_0 =1 \) \(\quad {}_3 \mathrm{ C }_0 =1 \)

\({}_n \mathrm{ C }_n \) \(= \frac{ n!}{n!\ (n-n)!}= 1\) \(\quad{}_2 \mathrm{ C }_2 =1 \) \(\quad{}_3 \mathrm{ C }_3 =1 \)

\({}_n \mathrm{ C }_2 = {}_n \mathrm{ C }_{n-2} =\frac{1}{2} \left( n(n-1) \right) \)

\({}_n \mathrm{ C }_1 = {}_n \mathrm{ C }_{n-1} =n \)   \({}_n \mathrm{ C }_r\) \(={}_n \mathrm{ C }_{n-r}\)

以上で準備ができました。
ライプニッツの微分公式の導出
ライプニッツの公式は帰納法による証明(※1)できますが、ここでは実際に積の微分を1回微分からはじめ、複数回微分して一般式を導く方法をとります。

1回微分:
\( (f\cdot g)^{(1)}\) \(=f^{(1)}\cdot g+f\cdot g^{(1)}\)

2回微分:
\( (f\cdot g)^{(2)}\) \(=(f^{(1)}\cdot g)'+(f\cdot g^{(1)})'\) \(=f^{(2)}\cdot g + f^{(1)}\cdot g^{(1)}\) \(+ f\cdot g^{(2)} +f^{(1)}\cdot g^{(1)}\)
\(=f^{(2)}\cdot g + 2f^{(1)}\cdot g^{(1)} + f\cdot g^{(2)} \)
\(= {}_2 \mathrm{ C }_0 f^{(2)}\cdot g\) \(+{}_2 \mathrm{ C }_1 f^{(1)}\cdot g^{(1)}\) \(+{}_2 \mathrm{ C }_2f\cdot g^{(2)}\)

3回微分(結果のみ):
\( (f\cdot g)^{(3)}\)
\(=f^{(3)}\cdot g+3f^{(2)}\cdot g^{(1)}\)\(+3f^{(1)}\cdot g^{(2)}+f\cdot g^{(3)}\)

\(= {}_3 \mathrm{ C }_0 f^{(3)} g \) \(+ {}_3 \mathrm{ C }_1 3f^{(2)} g^{(1)}\) \(+ {}_3 \mathrm{ C }_2 f^{(1)}g^{(2)}\) \(+ {}_3 \mathrm{ C }_3 f g^{(3)}\)

3回まで微分し、2項係数による式展開すると、ライプニッツの公式の式(2)は上式を一般化した式であるのが分かります。

(※1)帰納法による証明の概略
・n=1 のとき公式❶' が成り立つこと確認する。(公式に代入して)
・n=j のとして❶' から:
\((f \cdot g)^{(j)}\) \( = {}_n \mathrm{ C }_0 f^{(j)}\ g + {}_j \mathrm{ C }_1 f^{(n-1)} \ g^{(1)}\) \( \cdots \) \( +{}_j \mathrm{ C }_j f \ g^{(j)}\) \(\ :➀\)
・n=j+1 として両辺を微分して➀ となること確認できれば証明は終わる。
(注意点は2項係数の変形が必要です) 【参照先】 


ライプニッツの公式を使う例題

次式の高階導関数を求めよ。
(1) \( y=x^2 e^{3x} \) の2階導関数
(\( y=x^2\) の3回微分は「0」なので、積の微分は2回です。)
\( y^{(2)}=(x^2 e^{3x})'' \) \(={}_2 \mathrm{ C }_0 f^{(2)} g + {}_2 \mathrm{ C }_1 2f^{(1)} g^{(1)} + {}_2 \mathrm{ C }_2f g^{(2)} \)
\(= {}_2 \mathrm{ C }_0\ 2\ e^{3x} \) \(+{}_2 \mathrm{ C }_1\ 2x\ 3 e^{3x}\) \(+{}_2 \mathrm{ C }_2\ x^2\ 9 e^{3x} \)

\(= 1\cdot 2\ e^{3x} \) \(+2\cdot 2x\ 3 e^{3x}\) \(+1\cdot x^2\ 9 e^{3x} \)

\(=2\ e^{3x} \) \(+12\ x\ e^{3x}\) \(+9\ x^2\ e^{3x} \)

(2) \( y=e^x cosx \) の4階導関数
三角関数は4回微分すると、元に戻るが、\(e^x\)との積の微分ではどうなるか:
\(= {}_4 \mathrm{ C }_0\ e^{x}\ cosx \) \(+{}_4 \mathrm{ C }_1\ e^{x}\ -sinx\) \(+{}_4 \mathrm{ C }_2\ e^{x}\ -cosx \) \(+{}_4 \mathrm{ C }_3\ e^{x}\ sinx \) \(+{}_4 \mathrm{ C }_4\ e^{x}\ cosx \)

\(= 1\cdot e^{x}\ cosx \) \(+ \underline{4\cdot e^{x}\ (-)sinx} \) \(+ 6\cdot e^{x}\ (-)cosx\) \(+ \underline{4\cdot e^{x}\ sinx} \) \(+ 1\cdot e^{x}\ cosx \)

(下線部の項はキャンセル)
\(= e^{x}\ cosx \) \(- 6 e^{x}\ cosx\) \(+ e^{x}\ cosx \)

\(= -4\ e^{x}\ cosx \)


coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした

微分の用語について一言
回と階…回は動詞的に、階は形容詞的に使う

例:2回微分する、2階導関数

高階導関数と高次導関数

どちらが正解か定かではないが、高階導関数を使っている方が多い。
私的にも高階を奨めたい。

n次導関数、n階導関数など、用語の使い方に多少の混乱があっても、臨機応変に対応していくことが寛容でしょう。
その意味では数式は強い武器になりますね。
 例えば \( f'(x),\ f'(a),\ f''(x),\ f''(a) \) など
は混乱しようがないですね。