帰納法による証明
\(y^{(1)}=3e^{3n}\) \(\ ,\ \) \(y^{(2)}=9e^{3n}\) \(\ ,\ \) \(y^{(2)}=27e^{3n}\)
微分するたびに 3倍なので:
1)n=k として \( \rightarrow\)\(y^{(k)}=3^k e^{3n}\) ① と推測できるね。
2)まず n=1 のときは \( \rightarrow\)\(y^{(1)}=3^1 e^{3n}\) が成り立つ。
3)次に n=k+1 のときは① から\( \rightarrow\) \(y^{(k+1)}=\color{red}{3^{k+1} e^{3n}}\):➁
最後に上記の式➁を証明する。(式①を微分する)
4)\(y^{(k+1)}=(y^{(k)})'=(3^k e^{3n})' \)\(=3^k \cdot 3 e^{3n}\)\(=\color{red}{3^{k+1} e^{3n} }\)
以上から①が成り立ちます。
帰納法による証明
\(y^{(1)}=(x^1)'=1\) \(\ ,\ \) \(y^{(2)}=(x^2)'=2\) \(\ ,\ \) \(y^{(3)}=(x^3)'=6\)
微分する階数の階乗となるので:
1)n=k として\( \rightarrow\)\(y^{(k)}=(x^k)^{(k)}=k!\) ① と推測する。
2)まず, n=1のとき\( \rightarrow\)\(y^{(1)}=(x)^{(1)}=1\)
3)次にn=k+1 のときは① から\( \rightarrow\) \(y^{(k+1)}=\color{red}{(x^{k+1})^{(k+1)}=(k+1)!}\):➁
最後に上記の式➁を証明する。(式①を微分する)
4)➁を1回微分する
\((y^{(k+1)})'\) \(=\color{red}{ (x^{k+1})^{(k+1)}} \) \(=[(k+1)x^{k}]^{(k)} \)
さらにk回微分すると:
\([(k+1)x^{k}]^{(k)}\)\((=y^{k+1})\) \(=(k+1) (x^{k})^{(k)} \) \(=(k+1)k!\)\(=\color{red}{(k+1)!}\)
以上から①が成り立ちます。
導出の発想は次のように展開していくこともある。
\(y^{(1)}=n x^{(n-1)}\) \(\ ,\) \(y^{(2)}=n(n-1) x^{(n-2)}\) \(\cdots \) \( \ y^{(n-1)}=(n(n-1)\cdots 3)x^2\)
\(,\ y^{(n-1)}=(n(n-1)\cdots3\cdot2)x^1\) \(,\ y^{(n)}=n!\)
\(y^{(1)}=e^x+xe^x\) \(,\ y^{(2)}=e^x+e^x+xe^x=(2+x)e^x\) \(,\ y^{(3)}=e^x+(2+x)e^x=(3+x)e^x\) \( \cdots \cdots\) \(y^{(n)}=(x+n)e^x\)
\(y^{(1)}=a^x log\ a\) \(,\ y^{(2)}=a^x (log\ a)^2\) \( \cdots \cdots \) \( y^{(n-1)}= a^x (log\ a)^{(n-1)}\)
\( ,\ y^{(n)}=a^x (log\ a)^{(n)}\)
対数微分公式 \( y' = y \cdot (log \ y)' \) を使う。
【参照先】
\(y^{(1)}=-1x^{-2}\) \(,\ y^{(2)}=(-1)(-2)x^{-3}\) \( \cdots \) \( y^{(n-1)}= (-1)^{(n-1)}(n-1)!x^{-n}\)
\( ,\ y^{(n)}=(-1)^{n} n! x^{-(n+1)}\)
\(y=1+\frac{1}{1+x}=1+(1+x)^{-1}\) \(,\ y^{(1)}=(-1)(1+x)^{-2}\) \(,\ y^{(2)}=(-1)(-2)(1+x)^{-3}\)
\( \cdots \) \( y^{(n-1)}= (-1)^{(n-1)} (n-1)! (x+1)^{-n}\)
\( ,\ y^{(n)}=(-1)^{n} n! (x+1)^{-(n+1)}\)
3角関数は周期関数ですが、微分回数に関しても4 回微分すると元に戻る周期性があります。
【参照先】三角関数の性質
\(y^{(1)}=cosx=sin(x+\color{red}{\frac{1}{2} \pi})\)
\(,\ y^{(2)}=-sin x =sin(x+\pi)\) \(=sin(x+\color{red}{\frac{2}{2} \pi}) \)
\(,\ y^{(3)}=-cos x = cos(x+\pi)\) \(= sin (x+ \color{red}{\frac{3}{2} \pi})\)
\(,\ y^{(4)}= sin x = sin(x+2 \pi)\) \(= sin(x+ \color{red}{\frac{4}{2} \pi})\)
\(y^{(1)}=(log\ x)' = \frac{1}{x}=x^{-1}\)
\(,\ \ y^{(2)}=-1 x^{-2}\)
\(,\ \ y^{(3)}=-1\cdot-2 x^{-3}\)
\(,\ \ y^{(4)}=-1\cdot-2 \cdot-3 x^{-4}\)
\( \vdots\) \(\vdots \)
\(,\ y^{(n-1)}\) \(=\{-1\cdot-2\cdot-3 \cdots -(n-2)\} x^{n-1}\)
\(,\ y^{(n)}=\{-1\cdot-2\cdot-3\cdots -(n-2) \cdots\)
\(\cdots-(n-1)\} x^{-n}\)
\( =(-1)^{(n-1)} (n-1)! x^{-2} \)
【ライプニッツの微分公式】
\(f(x),\ g(x)\) は それぞれ n 回 微分可能な関数とする。
2つの関数の積の n 回導関数は次の式により求められる。 (\(f(x),\ g(x)\)の\((x)\)は省略する) (1) \( (f\cdot g)^{(n)}= \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} {}_n \mathrm{ C }_k f^{(n-k)} \cdot g^{(k)} \) \(\ :❶\) 上式を展開すると: (2) \((f \cdot g)^{(n)}\) \( = {}_n \mathrm{ C }_0 f^{(n)} \cdot g + {}_n \mathrm{ C }_1 f^{(n-1)} \cdot g^{(1)}\) \(+ {}_n \mathrm{ C }_2 f^{(n-2)} \cdot g^{(2)} +\) \( \cdots \cdots\) \( + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} f^{(1)} \cdot g^{(n-1)}\) \( +{}_n \mathrm{ C }_n f \cdot g^{(n)}\) \(\ :❶’\) |
(※1)帰納法による証明の概略
・n=1 のとき公式❶' が成り立つこと確認する。(公式に代入して)
・n=j のとして❶' から:
\((f \cdot g)^{(j)}\)
\( = {}_n \mathrm{ C }_0 f^{(j)}\ g + {}_j \mathrm{ C }_1 f^{(n-1)} \ g^{(1)}\)
\( \cdots \) \( +{}_j \mathrm{ C }_j f \ g^{(j)}\) \(\ :➀\)
・n=j+1 として両辺を微分して➀ となること確認できれば証明は終わる。
(注意点は2項係数の変形が必要です) 【参照先】
例:2回微分する、2階導関数
高階導関数と高次導関数
どちらが正解か定かではないが、高階導関数を使っている方が多い。
私的にも高階を奨めたい。