ロピタルの定理の利用と例題

注2(※1))：「 \(x=a\) 近傍で微分可能」と表現している本もある。
 a を含めた ある任意の範囲のことで、
 \(a-γ>x>a+γ\), この\(\gamma\)は任意で狭い範囲でもよい。

ロピタルの定理を使うときの注意事項:
１.ロピタルの定理は微分して極限値が不定形のとき、定理の条件が満たされれば、さらに微分して、繰り返し使える。
（大雑把にいえば、微分可能なら何回も微分して使える）
２.ロピタルの定理を使う時、試験などで「ロピタルの定理を用いて解け…」と明記があるときを除き、定理にある条件に合うか否かの確認を要する。
３．条件③の微分は 分子、分母の関数を個別に微分すること。

例題に進む前に：
\( \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{sinx}{x}=1\)
であることを「三角関数の極限の講義」において長々と式を展開して求めたが、ロピタルの定理を使うと容易に求まります。
解法は省略しますが、各自求めて下さい。（以下の例題で使います）

\( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}\)\(=\frac{0}{0}\)の形です。
定理の条件を確認しながら求めていきます。
(今回だけ条件を記述し確認する。)
・条件➀：OK
\( \displaystyle \lim_{ x \to 0} f(x)\)\( =\displaystyle \lim_{ x \to a} g(x)=0\)

・条件②:OK
\( g'(x)\ne 0 \)

・条件③:OK(以下の（❷）で確認)
\( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac {f'(x)}{g'(x)}\) の存在を以下で確認する。

与式の下線部を以下に展開する。
\( \frac{(sinx+x)'}{(2x)'}\) \(= \frac{cosx+1}{2}\)
与式＝ \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{cosx+1}{2}\) \( = \frac{1+1}{2}=1 \) (❷)

結 論：
\( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{sinx-x}{2x}\) \(= \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{(sinx-x)'}{(2x)'}=1\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f}{g}\) \(=\frac {0}{0} \) の形です。

\(\frac{(1-cos x)'}{(2x^2)'}\) \(= \frac{sin x}{4x} \) \( =\frac {1}{4} \frac{sin x}{x}\)
( \( \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{sinx}{x}=1\)を使う )
与式= \( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{(1-cos x)'}{(2x^2)'}\) \( = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac {1}{4} \frac{sin x}{x}\) \(=\frac{1}{4} \cdot 1\)\(=\frac {1}{4}\)

\(\therefore \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{1-cos x}{2x^2}= \frac {1}{4}\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f}{g}\)\(= \frac {0}{0} \) の形です。

\(\frac {f'}{g'}=\frac {2sin 2x}{sin x}\)
これでも\(\frac {0}{0} \) の形です。 さらに微分可能（定理の条件に満たす）なので、微分を繰り返す。
\(\frac {f''}{g''}=\frac {4cos 2x}{cos x}\) ：これで極限値が求まる

与式= \( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{2sin 2x}{sin x}\) \(= \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{4cos 2x}{cos x}\) \(= \frac{4 \cdot 1}{1} = 4\)

\( \therefore \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{1-cos 2x}{1-cos x}=4\)

下線部\(= 2x logx = \frac{log x}{\frac{1}{2x}}= \frac{f}{g} \)

（ポイント：分数に持ち込んだ）
\( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac {f}{g} \) \(=\frac {-∞}{∞} \) の形です。

\( \frac{f'}{g'}= \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^2}}=\frac{-x}{2}\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac {f'}{g'}\)\(=\displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{-x}{2} =0 \)

\(\therefore \displaystyle \lim_{ x \to 0} \quad log {x}^{2x} =0\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\)\(= \frac{∞}{∞}\) の形です。

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} log x\) \(=∞\) , \( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} x\) \(=∞\)

\(\frac{f'}{g'}\)\(=\frac{\frac{1}{x}}{1}\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f'}{g'}\) \(=\displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{\frac{1}{x}}{1}\) \(=\displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{1}{x}\)\(=0\)

\(\therefore \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{log x}{x}\)\(=0\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\)\(= \frac{∞}{∞}\) の形です。

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f'}{g'}\) \(= \displaystyle \lim_{ x \to ∞}\frac{2x}{e^x}\) \(= \displaystyle \lim_{ x \to ∞}\frac{2}{e^x}=0\)
\(\therefore \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{x^2}{e^x}=0\)
２階微分で極限が求まりました。

例題(2)を拡張した問題です。
\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\)\(= \frac{∞}{∞}\) の形です。

・分母は何回微分しても、\(e^x\) のまま。
・分子は微分を繰り返すと次の通り。
\((x^n)'=[n]\ x^{(n-1)} → [n(n-1)]\ x^{(n-1))}\)\(\cdots　[n(n-1)\cdots 3]\ x^2 →[n!]\ x\)

これより
\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\) \(= \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{(n!x)'}{(e^x)'}\) \(= \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{n!}{e^x}=0\)

\(\therefore \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{x^n}{e^x}=0\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\)\(= \frac{∞}{∞}\) の形です。

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f'}{g'}\)\(= \frac{1+sin x}{1}\)\(= 1+sin x\)

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{x-cos x}{x}\)\(=\displaystyle \lim_{ x \to ∞}( 1+sin x)\)

\(=\displaystyle \lim_{ x \to ∞}sin x\)

は +1 と -1　の間で振動、すなわち発散する。

このことは \( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f'}{g'}\) が存在しないことです。
【ロピタルの定理の③を満足しない】
  【発散の根拠の参照先】
∴定理の③の条件である「極限値が存在する」を満足しない。
ロピタルの定理では求められないが、はさみうちの原理から求まる。
  【その極限の結果の参照先】

\( \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\)\(= \frac{6}{3}\) の形です。

不定形ではないのでロピタルの定理は使えない。
【ロピタルの定理の①を満足しない】
ちなみにロピタルの定理で計算すると。
\(\frac{f'}{g'}\)\(= \frac{2x+6}{2x+2}\) \(, \quad \frac{f''}{g''}\)\(= \frac{2}{2}=1\)

\(\therefore \displaystyle \lim_{ x \to ∞} \frac{f}{g}\)\(= \frac{2}{2}=1\)　【間違い】