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湘南理工学舎
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2022/02/19   
2020/10/10

   楽しく学ぶ…微分積分

 微分公式 と 微分例

(differemtial formula and example)
 --目 次--
                 
∗合成関数の微分
∗対数微分
∗積の微分(ライプニッツ則)
∗商の微分
微分公式・微分例
∗\( (x^a)'\)∗\( (e^x)'\)
∗\( (log_a x)'\) ∗\( (a^x)'\)
∗\( (log_a x)'\) ∗\( (sin\ x)'\)
∗\( (cos\ x)' \) ∗\( (tan\ x)' \)
∗\( ( sin^{-1}\ x )' \) ∗\( ( sin^{-1} ( \frac{x}{a} ) )'\)
∗\( ( cos^{-1} ( \frac{x}{a} ) )'\) ∗\( ( tan^{-1} ( \frac{x}{a} ) )'\)
∗\( (sinh\ x)'\) ∗\( (cosh\ x)'\)
∗\( (tanh\ x)'\) ∗\( (x^x)'\)
∗\((log|x+\sqrt{x^2+a}|)'\) ∗\((sinx\ cosx)'\)

合成関数の微分
関数\(y=f(u), u=g(x)\)の合成関数 \(y=f(g(x))=f(u)\) について:
 (\(y\)は\(u\)の関数、\(u\)は\(x\)の関数の関係)
3つの関数がそれぞれ微分可能として

• \( y' = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \)
  

対数微分
\( y=f(x) \) の両辺の対数をとって\( (log\ {y})' \) から \( y ' \) を求めること。
 \( \log|y|=\log|f(x)|\)

\( (log \ {y})' \) \(=\left(\frac{d(log|y|)}{dy} \right) \frac{dy}{dx}\) \( = \frac{1}{y} \cdot {y}' \)

• \( y' = y \ (log \ y)'\)


 以下は \(f(x) \rightarrow f \ \)、 \(g(x) \rightarrow f \ \)とおく。
積の微分(ライプニッツ則)
• \( (f\ g)'=f' g + f g'\)


商の微分
• \( \left( \frac{f}{g} \right)' \) \(= \frac{ (f' g - f g' )}{g^2} \)

• \( \left( \frac{1}{f} \right)' \) \(= \frac{- f'}{f^2} \)
… 分子が「1」

微分公式・微分例

• \( (x^a)'=(a-1)\ x^{(a-1)} \)

• \( (e^x)'=e^x \)

• \( (log\ x)'= \frac{1}{x} \) \( (\ x>0 )\)

• \( (a^x)'= a^x\ log\ a \) …(対数微分)   \(y'=y (logy)'\) より 

• \( (log_a x)'= \frac{1}{x\ log\ a}\) \( ( \ a>0 )\)
底の変換式 \( log_a= \frac{log\ x}{log\ a} \) を使う

• \( (sin\ x)'=cos\ x \)

• \( (cos\ x)'=-sin\ x \)

• \( (tan\ x)'= \frac{1}{cos^2\ x} = sec^2\ x \)


 …以下は逆三角関数の微分…
• \( ( sin^{-1}\ x )'= \frac{1}{ \sqrt{ 1-x^2}} \)

次の式は上式をより一般化した式です。
• \( ( sin^{-1} ( \frac{x}{a} ) )'=\frac{1}{a} \frac{1}{ \sqrt{ 1-( \frac{x}{a})^2 }}\) \(= \frac{1}{ \sqrt{ a^2 -x^2 } }\) 【算出はここを参照】

• \( ( cos^{-1} ( \frac{x}{a} ) )'=-\frac{1}{a} \frac{1}{ \sqrt{ 1-( \frac{x}{a})^2 }}\) \(= -\frac{1}{ \sqrt{ a^2 -x^2 } }\)

• \( ( tan^{-1} ( \frac{x}{a} ) )'\) \(= \frac{1}{a} \frac{1}{ 1 + ( \frac{x}{a})^2 } \) \(= \frac{a}{ a^2+x^2 } \)


• \( (sinh\ x)'=cosh\ x \)

• \( (cosh\ x)'=-sinh\ x \)

• \( (tanh\ x)'= 1- tanh^2\ x \) \(= \frac{1}{cosh^2\ x} \)


…発展型…

• \(y'=(x^x)'=(log\ x +1)x^x\) …(対数微分)
【算出はここを参照】

• \(y'= (log|x+\sqrt{x^2+a}|)'\) \(= \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} \)
(\(y (log \ y)'\) \(= \frac{1} {(x+\sqrt{x^2+a}) }\ (x+\sqrt{x^2+a})'\) )
【算出はここを参照】

• \(y'= (sin\ x\ cos\ x )'\)\(=cos\ 2x\)
(\(y'= cosx\ cosx-sinx\ sinx\)\(=cos(x+x)\)


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[コーヒーブレイク/閑話]