対数微分

 対数微分にはいる前に、以下の2つについて復習します。
• 合成関数の微分公式を使うのでその公式を下に示します。
\(y=f(u), u=g(x)\)に対し
合成関数\(y=f(g(x))=f(u)\)、また３つの関数はそれぞれ微分可能として：
（\(y\)は\(u\)の関数、\(u\)は\(x\)の関数の関係）
　　
• \( y=\log x \) の微分
対数関数 \( y=\log x \) は指数関数　\( x=e^y \) の逆関数として定義されています。
この逆関数は\( x=e^y \) です、またこの微分は \( (e^y)'=e^y \) となります。
従ってこの微分は逆関数の 「微分の公式」 より以下になります。

 関数 \( y=f(x) \) の両辺の対数をとって微分操作して、\( (log\ {y})' \) から　\( y ' \)　を求めることが対数微分です。
対数微分がどんな関数に使えるかというと　\( y=x^x \), \( y={x^x}^2 \)などの対数をとると微分の計算が簡単になります。
\( y=f(x) \) について対数をとると→　\( \log|y|=\log|f(x)|\) となります。
（真数 y は正（y>0）でなければらい（真数条件という）ので、絶対値記号がついている）
さて対数微分は次の通りになります。

上では合成関数の微分を行っています。

これが対数微分の公式になります。

次に例題を3つやりましょう。

分母≠0 より\( x \ne -\frac{2}{3} \)
真数条件より \(\frac{3x-2}{3x+2}>0 \)　
この不等式を解くには両辺\((3x+2)^2\)を掛ける。
（正を担保するため２乗を掛ける）
\( (3x+2)(3x-2)>0\)

これより\(x\) の定義域は：
\( x\ne-\frac{2}{3},x>\frac{2}{3}, x<-\frac{2}{3}\) である。

\( \ | y |= \left| \frac{3x-2}{3x+2} \right| \)　

参考（\( y' = \frac{3}{3x+2}-\frac {3}{(3x-2)} \)　）　

この微分は上の例題と異なり合成関数の微分を用いて解きます。
\(Z=2x+\sqrt{x^2+a}\)とする。
\(y'= (log|2x+\sqrt{x^2+a}|)'\) \(=(log |Z|) '\) \(=\frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx}\)

\(=\frac{1}{Z} \frac{dz}{dx}\) \(= \frac{1} {(2x+\sqrt{x^2+a}) }\ (Z)'\)
\(y' = \frac{1}{ (2x+\sqrt{x^2+a}) } \ (Z)' \) \(= \frac{1} {(2x+\sqrt{u}) } \ \frac{x+2 \sqrt{u}}{\sqrt{u}} \)

\(= \frac{x+2 \sqrt{x^2+a}} {(\sqrt{x^2+a})(2x+\sqrt{x^2+a}) } \)

 対数 \( y=log_{a} x \) \( ( \leftrightarrow x=a^y ) \) において x を真数, a を底といいました。
対数（指数）を扱うときは以下の条件（真数条件）を仮定しなければ計算できません。
例えば底を 2 とすると
  \( \large { 2^y= {(-□)} \longleftrightarrow \ y=log_{2}{(-□)}　} \)
2 の y 乗の答えの真数が(-□) の負になる指数はありません。
したがって 真数 は\(\underline{ \ x　>0　} \ \)が条件です …これが真数条件です。

 通常、底の a はネイピア e など正の数なので言及していませんが、底の条件もあります。
例えば\( \large { (-2)^{2} , (-2)^{3} } \) を考えると、2乗では「＋」、3乗では「－」となり、不連続です。
すなわち対数が定義できません。
従って底aは　\(\underline{ \ a>0 ,\ a≠1 } \ \)が条件になります。
a=1 では 1 の累乗は1となり、x=1　の定数となるから　a≠1　の条件になります。