\( \require{cancel} \)
\(z=tan^{-1}u\) \(\quad u=tan z\)
\(f_x=(tan^{-1}u)' \pder{}{x}(\frac{y}{ax})\)
\(=\frac{1}{1+tan^2 z} (\frac{-y}{ax^2})\)
\(=\frac{1}{ 1+(\frac{y}{ax})^2 }(\frac{-y}{ax^2})\)
\(=\frac{(ax)^2}{(ax)^2+y^2 }(\frac{-y}{ax^2})\)
\(=\frac{ax}{y^2+(ax)^2}\)
三角関数の逆関数の微分【参照先】
\(f_y=(tan^{-1}u)' \pder{}{y}(\frac{y}{ax})\)
\(=\frac{1}{ 1+(\frac{y}{ax})^2 } \frac{1}{ax}\)
\(=\frac{ax}{y^2+(ax)^2}\)
\( y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} \)
の合成関数の導関数が得られる。 1変数の合成関数の微分の拡張として、2変数の合成関数の微分は その関数の形により様々である。
\(z=f(x,y)=x^2y+y^2\), \(x(t)=cos t\), \(y(t)=sin t\) とする。
\(\color{blue}{z(t)=f(x(t),y(t))}\)と\(\color{red}{z'(t)=\dera{z}{t}}\)
を求めよ。
\(\pder{z}{x}=2xy=2cos t sin t \), \(\pder{z}{y}=x^2+2y=cos^2 t+2sin t\)
\(\dera{x}{t}=-sin\ t\), \(\dera{y}{t}=cos\ t\)
\(=2cost sint (-sint)+(cos^2 t\)\(+2sint)cost\)
\(=-2cost sin^2 t+ cos^3t\)\(+2sint cost\)
\(\color{red}{z'(t)=\dera{z}{t}}\)
\(=2cost(-sint)sint+cos^2t cost\)\(+2 sint cost\)
\(=-2cost sin^2 t+cos^3t\)\(+2sint cost \)
\(z=f(x,y)=e^{xy}\), \(x=uv\), \(y=u+v\) とする。
\(\pder{z}{x}=ye^{xy}\), \(\pder{z}{y}=xe^{xy}\)
\(\pder{x}{u}=v\), \(\pder{y}{u}=1\), \(\pder{x}{v}=u\), \(\pder{y}{v}=1\)
\(f→z\) \(h=(x-a)\) \(k=(y-b)\) として
また上式のz(x,y)をパラメータ t の z(t) に換える。
\((x,y)=(x(t),y(t))\) \( \to \) \(((x(t_0),y(t_0)) = (x_0,y_0) = (a,b)\)
\(z(t)=f(x(t),y(t))\) \( \to \) \(z(t_0)=f(x(t_0),y(t_0))=z(a,b)\)
\(h=x-a=x(t)-x_0=\Delta x\) \(k=y-b=y(t)-y_0=\Delta y\)
\(f_{x0}=\pder{z}{x}(a,b)=f_x(a,b)\) \(f_{y0}=\pder{z}{y}(a,b)=f_y(a,b)\)
(ここでの定義)
\(\Delta t →0\) とは「\(t →t_0\)」、「\((x,y) →(a,b)\)」「\((h,k) →(a,b)\)」 と同じであることに留意しよう。
\(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{z(t)-z(t_0)}{\Delta t}\)
\(=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f_{x0}h+f_{y0}k+r(h,k)}{\Delta t} \)
\(=f_{x0} \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x-a}{\Delta t} \)
\(+f_{y0} \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\frac{y-b}{\Delta t} \)
\(+\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(h,k)}{\Delta t}\)
\(=f_{x0} \dera{x}{t}\)\(+f_{y0} \dera{y}{t}\)
\(+\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(h,k)}{\Delta t}\)
\(\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(h,k)}{\Delta t}\)
\(=\displaystyle\lim_{\Delta (h,k) \to (a,b)} \color{red}{ \frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} } \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{\Delta t}\)
\(=0 \)
\( \because (h,k)→(a,b)\)のとき \(\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\)
これは前回学んだ【参照先】
\(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{z(t)-z(t_0)}{\Delta t}\)
\(=f_{x0} \dera{x}{t}\)\(+f_{y0} \dera{y}{t}\)
\(=\pder{z}{x} \dera{x}{t}\)\(+\pder{z}{y} \dera{y}{t}\)
\(\therefore \dera{z}{t}(a,b) =\pder{z}{x}(a,b)\dera{x}{t}\)\(+\pder{z}{y}(a,b)\ \dera{y}{t}\)
例:\((f_x)_y(x,y)=f_{\underline{x,y}}\)
\(=\frac{ \partial }{ \partial y } ( \pder{f}{x})\) \(=\pder{f_x}{y}\)
\(=\frac{\partial^2 f}{\underline{\partial y \partial x}}\)
xで偏微分し、それをy で偏微分を意味する、以後変数\((x,y)\)を省略する。
微分の順番に注意しよう!
\(f_{xx}=\pder{f_x}{x}=\pdera{f}{x}\)
\(f_{xy}=\pder{f_x}{y}\)\(=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
\(f_{yx}=\pder{f_y}{x}\)\(=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
\(f_{yy}=\pder{f_y}{y}=\pdera{f}{y}\)
\( f_x(a,b)=\displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\)
(x が変数)
\( f_y(a,b)=\displaystyle \lim_{ y \to b} \frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\)
(y が変数)
\( f_{xy}(a,b)=\displaystyle \lim_{ y \to b} \frac{f_x(a,y)-f_x(a,b)}{y-b}\)
(y が変数)
\( f_{yx}(a,b)=\displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f_y(x,b)-f_y(a,b)}{x-a}\)
(x が変数)
\(f_x=\frac{2x+y}{x^2+xy}\)
\(f_y=\frac{x}{x^2+xy}\)
\(f_{xx}=\frac{2(x^2+xy)-(2x+y)(2x+y)}{(x^2+xy)^2}\)\(=\frac{-(2x^2+2xy+y^2)}{(x^2+xy)^2}\)
\(f_\color{red}{{xy}}=\frac{(x^2+xy)-(2x+y)x}{(x^2+xy)^2}\)\(=\color{red}{ \frac{-x^2}{(x^2+xy)^2} }\)
\(f_\color{red}{{yx}}=\frac{(x^2+xy)-x(2x+y)}{(x^2+xy)^2}\)\(=\color{red}{ \frac{-x^2}{(x^2+xy)^2} }\)
\(f_{yy}=\frac{0-x(0+x)}{(x^2+xy)^2}\)\(=\frac{-x^2}{(x^2+xy)^2}\)
\(\color{red}{ f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx} }\)
\(\color{blue}{ f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy} }\)