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湘南理工学舎
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2021/06/12

 楽しく学ぶ…微分積分

合成関数の偏微分・高階偏微分

(composite and higher partial derivative) 
 --目 次--
偏微微分の公式
例題1:\(z=tan^{-1}\frac{y}{ax}\)
合成関数の微分(連鎖法則)
例題2:\(z=f(x,y)=x^2y+y^2\), \(\ (x(t)=cos t\),  \(y(t)=sin t)\)
例題3:\(z=f(x,y)=e^{xy}\), \(\ (x=uv\),  \(y=u+v\)\)
連鎖則1の証明
連鎖則2の証明
高階の偏微分
例題4:\(z=f(x,y)=log(x^2+xy)\)
偏微分の順序交換 (シュワルツの定理)
   
 はじめに前回学んだ偏微分についての公式を記載します。 1変数の微分とよく似ています。
偏微分の公式  
\(f(x,y),\ g(x,y),\ u(x,y) \)は偏導関数をもつとする。
また以下は変数\((x,y)\)の表記と yに関する偏微分を省略しています。
・\(\ (cf)_x=c\cdot f_x\)
・\(\ (f \pm g)_x=f_x \pm g_x\)
・\(\ (f \cdot g)_x=f_x \cdot g +f \cdot g_x\)
・\(\ (\frac{y}{g})_x=\frac{f_x \cdot g - f \cdot g_x}{g^2}\)
\(z=f(u),\ u=u(x,y)\)の合成関数\(,z=f(u(x,y)) \)について
・\(\ f_x=f_u u_x\) ( \(\pder{f}{\color{red}{x}}=\frac{df}{du} \pder{u}{ \color{red}{x} }\) )

 例題1 次の関数の偏導関数 \(f_x,f_y\)を求めよ。
\(z=f(x,y)=tan^{-1} \frac{y}{ax}\)
合成関数の公式を使う:\(u=\frac{y}{ax}\)とおく。

\(z=tan^{-1}u\) \(\quad u=tan z\)
\(f_x=(tan^{-1}u)' \pder{}{x}(\frac{y}{ax})\)
\(=\frac{1}{1+tan^2 z} (\frac{-y}{ax^2})\) \(=\frac{1}{ 1+(\frac{y}{ax})^2 }(\frac{-y}{ax^2})\) \(=\frac{(ax)^2}{(ax)^2+y^2 }(\frac{-y}{ax^2})\) \(=\frac{ax}{y^2+(ax)^2}\)
三角関数の逆関数の微分【参照先】

\(f_y=(tan^{-1}u)' \pder{}{y}(\frac{y}{ax})\)
\(=\frac{1}{ 1+(\frac{y}{ax})^2 } \frac{1}{ax}\) \(=\frac{ax}{y^2+(ax)^2}\)


  合成関数の微分(連鎖法則)  
1変数の合成関数の微分(復習):
関数\(y=f(t)\) と \( t=g(x)\)の 合成関数 \(y=f(g(x))=f(t)\) について:
 (\(y\)は\(t\)の関数、\(t\)は\(x\)の関数の関係)
関数 f, g がそれぞれ微分可能として

\( y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} \)

の合成関数の導関数が得られる。

 1変数の合成関数の微分の拡張として、2変数の合成関数の微分は その関数の形により様々である。
以下に挙げるのは 2変数の合成関数の微分の 2つの「連鎖律の定理」です。
先に定理を示し、例題を行い、その後に証明をします。

\(z=f(x,y)\)で x, y が t の関数の場合
連鎖律1(chain rule)  
\(z=f(x,y)\) 全微分可能
\(x,y\) は t の関数で、\(x=x(t), y=y(t)\) は t に関して微分可能。
\(z(t)=f(x(t),y(t))\) はt に関して微分可能であり、その導関数は次式である。
\(\dera{z}{t}=\pder{z}{x}\ \dera{x}{t}\)\(+\pder{z}{y}\ \dera{y}{t}\) :(1)
   

\(z=f(x,y)\)で x, y が u, v の関数の場合
連鎖律2(chain rule)  
\(z=f(x,y)\) 全微分可能
\(x,y\) は \(u,v\) の関数で、\(x=x(u,v), y=y(u,v)\) は u,v に関して偏微分可能。
\(z(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))\) はu,v に関して偏微分可能であり、その偏導関数は次式である。
\(\pder{z}{u}=\pder{z}{x}\ \pder{x}{u}\)\(+\pder{z}{y}\ \pder{y}{u}\) :(2)
\(\pder{z}{v}=\pder{z}{x}\ \pder{x}{v}\)\(+\pder{z}{y}\ \pder{y}{v}\) :(3)
   

 例題2 次の関数の偏微分を求めよ。

\(z=f(x,y)=x^2y+y^2\),  \(x(t)=cos t\),  \(y(t)=sin t\) とする。
\(\color{blue}{z(t)=f(x(t),y(t))}\)と\(\color{red}{z'(t)=\dera{z}{t}}\) を求めよ。

連鎖律1の公式を使う。
\(\color{red}{z'(t)=\dera{z}{t}} =\pder{z}{x}\ \dera{x}{t}\)\(+\pder{z}{y}\ \dera{y}{t}\)

\(\pder{z}{x}=2xy=2cos t sin t \),  \(\pder{z}{y}=x^2+2y=cos^2 t+2sin t\)
\(\dera{x}{t}=-sin\ t\),  \(\dera{y}{t}=cos\ t\)

\(=2cost sint (-sint)+(cos^2 t\)\(+2sint)cost\)
\(=-2cost sin^2 t+ cos^3t\)\(+2sint cost\)

連鎖律1の公式を使わず解いてみる。
(積の微分 \(f'=(gh)'=g'h+gh'\) を使い解く)
\(\color{blue}{z(t)}=x^2y+y^2\)\(=cos^2t sint+sin^2t\)

\(\color{red}{z'(t)=\dera{z}{t}}\)
\(=2cost(-sint)sint+cos^2t cost\)\(+2 sint cost\)
\(=-2cost sin^2 t+cos^3t\)\(+2sint cost \)

 例題3 次の関数の\(z_u=\pder{z}{u}\) と \(z_v=\pder{z}{v}\) を求めよ。

\(z=f(x,y)=e^{xy}\),  \(x=uv\),  \(y=u+v\) とする。

連鎖律2の公式を使う。

\(\pder{z}{x}=ye^{xy}\),  \(\pder{z}{y}=xe^{xy}\)
\(\pder{x}{u}=v\),  \(\pder{y}{u}=1\), \(\pder{x}{v}=u\),  \(\pder{y}{v}=1\)

\(\pder{z}{u}=\pder{z}{x}\ \pder{x}{u}\)\(+\pder{z}{y}\ \pder{y}{u}\)
\( =ye^{xy}\cdot v+xe^{xy}\cdot1\)
\( =(yv+x)e^{xy}\)

\(\pder{z}{v}=\pder{z}{x}\ \pder{x}{v}\)\(+\pder{z}{y}\ \pder{y}{v}\)
\( =ye^{xy}\cdot u+xe^{xy}\cdot1\)
\( =(yu+x)e^{xy}\)

連鎖律1の証明  
f(x,y) が 点(a,b) において全微分可能とは、前回の式(f'')の
\(f(x,y)-f(a,b) = m_x (x-a)\)\(+ m_y(y-b)+\color{red}{(h,k))}\)  :(f'') 
\(\color{red}{r(h,k)}\)\(=f(x,y)-f(a,b)\)\(-m_x(x-a)-m_y(y-b)\))
\(m_x,m_y\) は 点(a,b) での接平面の傾きである。
従い、\(m_x=f_x(a,b), \ m_y=f_y(a,b)\) である。すなわち
\(f(x,y)-f(a,b) = f_x (x-a)\)\(+ f_y(y-b)+\color{red}{(h,k))}\)   
となる。 ここで上式を次のように書き換える。

\(f→z\)   \(h=(x-a)\)   \(k=(y-b)\) として
また上式のz(x,y)をパラメータ t の z(t) に換える。

\(z(x,y)-z(a,b)=f_x(a,b)h\)\(+ f_y(a,b)k+r(h,k)\)  (a) 
\(z(t)-z(t_0)=f_x(a,b)h\)\(+ f_y(a,b)k+r(h,k)\)   (a')

変数・係数・記号 の関係が複雑なのでここでまとめておく。

\((x,y)=(x(t),y(t))\) \( \to \) \(((x(t_0),y(t_0)) = (x_0,y_0) = (a,b)\)
\(z(t)=f(x(t),y(t))\) \( \to \) \(z(t_0)=f(x(t_0),y(t_0))=z(a,b)\)
\(h=x-a=x(t)-x_0=\Delta x\)   \(k=y-b=y(t)-y_0=\Delta y\)
\(f_{x0}=\pder{z}{x}(a,b)=f_x(a,b)\)  \(f_{y0}=\pder{z}{y}(a,b)=f_y(a,b)\) (ここでの定義)

準備が整いました。
これから\(t=t_0\) で\(z(t)\) を微分することを考える。
全微分可能式の式(a')は次式となる。
\(z(t)-z(t_0)=f_{x0}h\)\(+ f_{y0}k+r(h,k)\)
これを\(\Delta t\)で微分する。

\(\Delta t →0\) とは「\(t →t_0\)」、「\((x,y) →(a,b)\)」「\((h,k) →(a,b)\)」 と同じであることに留意しよう。

\(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{z(t)-z(t_0)}{\Delta t}\) \(=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f_{x0}h+f_{y0}k+r(h,k)}{\Delta t} \)
\(=f_{x0} \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x-a}{\Delta t} \) \(+f_{y0} \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\frac{y-b}{\Delta t} \) \(+\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(h,k)}{\Delta t}\)
\(=f_{x0} \dera{x}{t}\)\(+f_{y0} \dera{y}{t}\) \(+\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(h,k)}{\Delta t}\)

ここで最右項は全微分可能性から

\(\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(h,k)}{\Delta t}\) \(=\displaystyle\lim_{\Delta (h,k) \to (a,b)} \color{red}{ \frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} } \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{\Delta t}\) \(=0 \)
\( \because (h,k)→(a,b)\)のとき \(\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\)
これは前回学んだ【参照先】

\(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{z(t)-z(t_0)}{\Delta t}\) \(=f_{x0} \dera{x}{t}\)\(+f_{y0} \dera{y}{t}\) \(=\pder{z}{x} \dera{x}{t}\)\(+\pder{z}{y} \dera{y}{t}\)

\(\therefore \dera{z}{t}(a,b) =\pder{z}{x}(a,b)\dera{x}{t}\)\(+\pder{z}{y}(a,b)\ \dera{y}{t}\)

---連鎖律1の証明終わり
連鎖律2の証明  
連鎖律1では z の1変数 t に関する微分であった。
そのz の関数は:
 \(z(t)=f(x(t), y(t))\)

しかし、ここでの z は変数 x,y の関数、また変数 x,y は 2変数の u,y の関数である。
従って、x,y とz も2変数の u,y の関数である。
 \(z=z(u,v)=f(x(u,v), y(u,v)\)
(\(z=f(x,y)\) \(\ \) \(x=x(u,v),\ y=y(u,v) \))
である。

連鎖律1を z の2変数に拡張して 連鎖律2がある。
連鎖律2では z の u,v の2変数に関する偏微分であるから、v を固定した、また u を固定した2つ偏導関数が導かれる。
連鎖律1の式(1)を2変数に拡張すると:
\(\pder{z}{u}=\pder{z}{x}\ \pder{x}{u}\)\(+\pder{z}{y}\ \pder{y}{u}\) :(2)
\(\pder{z}{v}=\pder{z}{x}\ \pder{x}{v}\)\(+\pder{z}{y}\ \pder{y}{v}\) :(3)
---連鎖律2の証明終わり
高階の偏微分  
 2変数関数が偏導関数をもち、それがまた偏微分可能で偏導関数をもつとする。
これを2階の偏導関数(または2次の導関数)といい、表し方を示す。

例:\((f_x)_y(x,y)=f_{\underline{x,y}}\) \(=\frac{ \partial }{ \partial y } ( \pder{f}{x})\) \(=\pder{f_x}{y}\) \(=\frac{\partial^2 f}{\underline{\partial y \partial x}}\)
xで偏微分し、それをy で偏微分を意味する、以後変数\((x,y)\)を省略する。
微分の順番に注意しよう!

2階の偏導関数  

\(f_{xx}=\pder{f_x}{x}=\pdera{f}{x}\)
\(f_{xy}=\pder{f_x}{y}\)\(=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)   \(f_{yx}=\pder{f_y}{x}\)\(=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
\(f_{yy}=\pder{f_y}{y}=\pdera{f}{y}\)

3階以上も同様な書き方である。
n 階偏微分可能で、その偏導関数が連続であれば、関数 f は \(C^n\) 級という。 2変数のn階の偏導関数の数は \(2^n\) 個である。

2階の偏導係数の定義式  
まず1階の偏導関数の定義式(前回の復習)
\(h=x-a,\ k=y-b\) として

\( f_x(a,b)=\displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\) (x が変数)
\( f_y(a,b)=\displaystyle \lim_{ y \to b} \frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\) (y が変数)

上式からおのずと、2階の偏導関数の定義式が導かれる:

\( f_{xy}(a,b)=\displaystyle \lim_{ y \to b} \frac{f_x(a,y)-f_x(a,b)}{y-b}\) (y が変数)
\( f_{yx}(a,b)=\displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f_y(x,b)-f_y(a,b)}{x-a}\) (x が変数)


 例題4 次の関数の1階、2階の偏導関数を求めよ。
\(z=f(x,y)=log(x^2+xy)\)

\(f_x=\frac{2x+y}{x^2+xy}\)
\(f_y=\frac{x}{x^2+xy}\)

\(f_{xx}=\frac{2(x^2+xy)-(2x+y)(2x+y)}{(x^2+xy)^2}\)\(=\frac{-(2x^2+2xy+y^2)}{(x^2+xy)^2}\)
\(f_\color{red}{{xy}}=\frac{(x^2+xy)-(2x+y)x}{(x^2+xy)^2}\)\(=\color{red}{ \frac{-x^2}{(x^2+xy)^2} }\)
\(f_\color{red}{{yx}}=\frac{(x^2+xy)-x(2x+y)}{(x^2+xy)^2}\)\(=\color{red}{ \frac{-x^2}{(x^2+xy)^2} }\)
\(f_{yy}=\frac{0-x(0+x)}{(x^2+xy)^2}\)\(=\frac{-x^2}{(x^2+xy)^2}\)


今の例題では \(f_\color{red}{{xy}}=f_\color{red}{{yx}}\) の結果を得た。これは偶然ではなく以下の定理によるものです。
数学以外の分野でも大変便利なツールになる定理です。
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)  
定義域 D 上の関数 \(z=f(x,y)\) が 2階の偏導関数 \(f_{x,y},f_{yx}\) をもち、両方が連続であるとき
\(f_{x,y}=f_{yx}\)   :(4)
2階の偏微分の場合、関数\(f(x,y)\) が \(C^2\)級ならばこの定理が使える。

関数が\(C^3\)級ならば、3階の偏導関数は\(2^3=8\)個 存在するが、定理より 次4種類の計算ですむ。
\(f_{xxx},\color{red}{f_{xxy}},\color{blue}{f_{xyy}},f_{yyy}\)
なぜなら

\(\color{red}{ f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx} }\)
\(\color{blue}{ f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy} }\)

であるから。


coffe

[コーヒーブレイク/閑話]…お疲れさまでした