有界・開区間・最大値・上限
　　閉区間・最小値・下限

∗有界（上界・下界）
∗開区間
∗閉区間
∗最大値
∗最小値
∗上限
∗下限
∗例題

 集合 A は実数 ℝの部分集合\( (A \subset ℝ) \)として、実数 a が集合 A の上界とは A の任意の x に対して \( x ≤ a \) が成り立つとき：
 A は上に有界という。また実数 a を A の上界という。
また、実数 b が集合 A の下界とは\( x ≥ b \)が成り立つとき、 A は下に有界という。また実数 b を A の下界という。
上に有界な集合 A の上界は無数に存在します。
（a 以上の全ての実数が A の上界です）
上限はその上界のうち最小のものをいいます。
\(sup A = a \) で表す。 （「スープ A」と呼ぶ ）

下限も同様の考え方です。
下限はその下界のうち最大のものをいいます。
\(inf A = b \) で表す。 （「インフ A」と呼ぶ ）

開区間では上（下）に有界であるが、最大(小)値は存在しない。
（max A と min A は存在しない）
詳細は「上限と最大値の定義」の項で説明します。

A は 実数 R の部分集合 （空集合ではない）。
数直線（数のモデル）を用いて説明しますのでイメージを捉えて下さい。

開区間は「（ b , a ）」と表わし、数直線上には「〇丸」で表わす。
A には端点 a、b は含んでいない
開区間の集合 A は次式で表せる。
\( A＝\underline{(\ b,\ a )} = \{ \ A\ |\ \underline{ b < A < a }\ ,　 x ⊂ ℝ \}　\)

閉区間は「[ b , a　]」と表し　数直線上には「●丸」で表す。
A には端点 a、b を含んでいる。
閉区間の集合 A は次式で表せる。
\( A＝\underline{[\ b,\ a ]} = \{\ A\ |\ \underline{\ b ≤ A ≤ a\ }\ ,　 x ⊂ ℝ \}　\)

開区間との相違点は：
閉区間では上（下）に有界であり、最大(小)値が存在すること。
なぜなら max A と min A を与える a と b が 集合 A に含まれています。
( 以下の最大値の定義の「条件②のa ∈ A」を満足している。)

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 ( max A = a , min A = b )　
・A は 実数 R の部分集合 A （空集合ではない）。
・x はA の中で任意。勝手な、あらゆる値がとれる）
として以下の最大値と最小値が定義される。

① x ∈ A （任意のx は集合A の要素）に対して　\(x ≤a\)　が成り立つ。 （a は A の上界）
（これだけでは a はA の領域外でもよくなるので次の ② がある）
② a ∈ A （a が集合 A の要素）である。
このとき max A = a　であり sup A =a （上限）でもある。

① x ∈ A （任意x は集合A の要素）に対して\(x ≥b\)　が成り立つ。 （b は A の下界）
② b ∈ A （b が集合 A の要素）である。
このとき min A = b であり inf A =b（下限）でもある。
　

上限と最大値の定義の相違点は②項です。
・A は 実数 R の部分集合 A （空集合ではない）。
・A の定義域は開区間 ( a, b) です。
・x は A の中で任意（勝手な、あらゆる値がとれる）
として以下の上限と下限が定義される。

① x ∈ A （任意 x は集合A の要素である）に対して \(x ≤a\) が成り立つ。
・まず「a は A の上界」と言っている。
・なので最大値の定義の①と同じ
② a より小さい任意のλ （実数）に対し λ < x となる x ∈ A が存在すること。（※1）
・a はA の上界であるが、A には属していない

①②を満足する\( a \) を A の上限 \(sup A =a\) という。

上記（※1）②　説明：
・λ がa にどんどん近づいても、λ より大きい x （a より小さい）がある。
・λ（a より小さい）がさらにa にどんどん近づいても 「\( λ < x\)」 なる A に属する x が存在する。
 ➡この a は上界　
 ➡また、a は上界の最小値となる
 ➡また、a は集合A の要素でない
☞ λ はいつまでも a には到達しないイメージ

大雑把にいうと、最大値は定義域の中の最大値、上限は定義域の外の上界の最小値ということ。
A=(0,5)：開区間 とは 0 < A < 5 であり、5 が一番大きいが　定義外にいる。
これを上限といっている。

上限と同様な考えで下限は以下で定義される。
① x ∈ A　（任意 x は 集合 A の要素である）に対して　\(x ≥b\)　が成り立つ。
② b より大きい任意の λ（実数）に対し　λ　> x となる x ∈ A が存在すること。
☞ λ はいつまでも b には到達しないイメージ

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\( 2 < x ≤ 5 \)
inf A = 2 （ 最小値はない）
sup A = 5 （ max A =5　）　

数列を変形：
\(a_n= 1+\frac{1}{n} \)

n=1 で \(a_n=2\)…\(a_n\) は最大値。

n が増加すると　 \(a_n　\rightarrow　1\) 、すなわち 1 に近ずく。（下界へ）
しかしこの数列 1 にはならない。

これより
inf A = 1 （ 最小値はない）
sup A = 2 （ max A =2　）

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[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした